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氘核削裂反应理论研究及其进展

许祎萍 庞丹阳 楼建玲

许祎萍, 庞丹阳, 楼建玲. 氘核削裂反应理论研究及其进展[J]. 原子核物理评论, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
引用本文: 许祎萍, 庞丹阳, 楼建玲. 氘核削裂反应理论研究及其进展[J]. 原子核物理评论, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
Yiping XU, Danyang PANG, Jianling LOU. A Brief Review on the Development of Theories of Deuteron Stripping Reactions[J]. Nuclear Physics Review, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
Citation: Yiping XU, Danyang PANG, Jianling LOU. A Brief Review on the Development of Theories of Deuteron Stripping Reactions[J]. Nuclear Physics Review, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046

氘核削裂反应理论研究及其进展

doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(U2067605, 11775013, 11275018, 11775004);中央高校基本科研业务费资助项目(2020MS033)
详细信息
    作者简介:

    许祎萍(1990–),女,河南新乡人,讲师,博士,从事直接核反应理论研究;E-mail:xuyp_snse@ncepu.edu.cn

    通讯作者: 庞丹阳,E-mail:dypang@buaa.edu.cn
  • 中图分类号: O571.53

A Brief Review on the Development of Theories of Deuteron Stripping Reactions

Funds: National Natural Science Foundation of China(U2067605, 11775013, 11275018, 11775004); Fundamental Research Funds for the Central Universities(2020MS033)
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图(9)
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-05-26
  • 修回日期:  2021-08-03
  • 网络出版日期:  2021-09-27
  • 刊出日期:  2021-09-20

氘核削裂反应理论研究及其进展

doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
    基金项目:  国家自然科学基金资助项目(U2067605, 11775013, 11275018, 11775004);中央高校基本科研业务费资助项目(2020MS033)
    作者简介:

    许祎萍(1990–),女,河南新乡人,讲师,博士,从事直接核反应理论研究;E-mail:xuyp_snse@ncepu.edu.cn

    通讯作者: 庞丹阳,E-mail:dypang@buaa.edu.cn
  • 中图分类号: O571.53

摘要: 氘核削裂反应作为单核子转移反应的一种,在原子核的单粒子结构研究中一直起着重要的作用。同时,作为典型的三体核反应,它也是直接核反应理论研究的一个重要研究对象。本文简述了氘核削裂反应的研究历史,侧重介绍其反应理论的演进,以及平面波玻恩近似(Plane Wave Born Approximation,PWBA)、扭曲波玻恩近似(Distorted Wave Born Approximation,DWBA)、连续态离散化耦合道理论(Continuum Discretized Coupled Channels,CDCC)、绝热波近似理论(Adiabatic Wave Approximation,ADWA)和法捷耶夫方程组(Faddeev equations)方法之间的差别与联系。本文讨论了当前及未来氘核削裂反应理论研究的若干热点问题,包括中高能条件下的氘核削裂反应、转移到剩余核连续态的理论、色散光学势以及非定域光学势在氘核削裂反应中的应用等。本文展示了我们对中高能条件下的氘核削裂反应理论计算的一些初步成果。

English Abstract

许祎萍, 庞丹阳, 楼建玲. 氘核削裂反应理论研究及其进展[J]. 原子核物理评论, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
引用本文: 许祎萍, 庞丹阳, 楼建玲. 氘核削裂反应理论研究及其进展[J]. 原子核物理评论, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
Yiping XU, Danyang PANG, Jianling LOU. A Brief Review on the Development of Theories of Deuteron Stripping Reactions[J]. Nuclear Physics Review, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
Citation: Yiping XU, Danyang PANG, Jianling LOU. A Brief Review on the Development of Theories of Deuteron Stripping Reactions[J]. Nuclear Physics Review, 2021, 38(3): 229-243. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021046
    • 原子核的单粒子结构信息包括原子核的单粒子能谱、单粒子轨道(single particle orbital)及其排列、谱幅度/谱因子(Spectroscopic Amplitude/Spectroscopic Factor,SA/SF)[1-9]、渐近归一化常数(Asymptotic Normalization Constant, ANC)等[10-11]。这些信息不仅和原子核这样有限的复杂多体系统中的核子-核子关联[12-14]等原子核物理的基础问题有关,还在确定天体核反应率等[15-17]核天体物理的研究中起到重要的作用。对这些量的准确确定,需要尽可能完善的核反应理论。从20世纪50年代以来,作为研究原子核单粒子结构的工具,氘核削裂反应[(d, p)反应]以及它的逆反应[(p, d)反应]一直在原子核的研究中发挥着重要的作用[18-24]。而作为一个典型的三体过程,氘核削裂反应也一直是少体(三体)核反应理论研究的重要对象。

      1933年,Lawrence等[25]报道了用0.6~1.33 MeV能量范围内的氘核轰击碳、金、铂、氟化锂、二氧化硅、磷酸钠、氯酸钙、硫化铜等材料的实验结果。他们观测到了大量的出射质子,并且猜测这些质子来源于氘核破裂过程。

      由于Lawrence等[25]的实验中反应体系的质心系能量低于氘核的结合能(2.226 MeV),这些质子不可能来源于氘核的破裂反应,而应该来源于氘核的削裂反应或复合核过程。1935年,Oppenheimer等[26]提出了Oppenheimer-Phillip过程的概念,来解释氘核反应中的这些现象。他们认为,由于氘核能量远低于靶核的库仑势垒,整个氘核穿透靶核表面并与靶核形成复合核的概率很小。另一方面,在(d, p)反应过程中只要求氘核中的中子穿透靶核表面被捕获,而由于库仑斥力,质子可以位于氘核直径的另一端甚至更远。削裂—或者说Oppenheimer-Phillips过程—发生的概率远大于复合核形成的概率,因此,氘核削裂反应经历的是一个直接过程,而不是复合核过程。这是对削裂反应最早的解释,该工作在早期核物理研究中有重要的意义,这意味着氘核相比其它带电粒子,更容易在较低的能量下诱发核反应。1947年,Serber[27]首次用削裂,即stripping一词,来描述此类型的反应,并沿用至今。

      在早期对氘核引起的核反应的测量(以及其它的核反应的测量)的研究中,人们主要关注的是出射粒子的能量(由此可以得到的反应产物的质量)以及对反应产物的鉴别(原子核发生了什么变化)等信息。并且,人们自然地默认出射粒子沿各个方向的发射概率是相同的,并根据这个假设来测量核反应的总截面。很显然,这个假设需要经受实验的检验。1936年,Kempton等[28]第一次报道了d+d碰撞的质子和中子随质心系角度的分布,发现这些角分布并不是各向同性的。这个工作引起了一系列实验和理论的研究[29-32]。1948年,Konopinski等[29]发现这些角分布数据意味着自旋轨道相互作用在这些反应中起到重要的作用。值得注意的是,在同一时期,Mayer[33]和Jensen[34]发表了他们著名的原子核壳模型的论文(1949年),通过引入自旋轨道相互作用成功解释了原子核的幻数。

      氘核削裂反应的进一步突破以及大规模研究始于1950年完成的16O(d, p)17O实验及相应的理论解释。Burrows等[35]利用8 MeV的氘核轰击16O,得到了对应于17O的基态和第一激发态的出射质子的角分布(注意,这个实验中氘核的入射能比以前有显著的提高)。实验表明这些角分布具有很明显的前倾特征,即微分截面的最大值出现在质心系的小角度区域。而Butler[36-37]利用平面波玻恩近似(Plane Wave Born Approximation,PWBA)理论证实(d, p) 以及(d, n) 反应微分截面角分布的形状取决于被转移粒子(中子或质子)在原子核里面的轨道角动量。该工作的意义在于,它证实了氘核削裂反应是一个研究原子核谱学的简单而优秀的工具,可以通过测量氘核削裂反应的微分截面角分布来得到原子核的单粒子结构信息。在接下来的20年左右的时间里,人们为此进行了大量的实验和理论研究,使得氘核削裂反应成为检验原子核的单粒子结构和谱信息的主要来源[38-42]

      此后,人们一直在持续不断地修改和完善氘核削裂反应理论。转移反应的一般性两体理论是在20世纪60-70年代发展起来的,而由于氘核是一个束缚能仅有2.226 MeV的两核子(n-p)系统,它在核反应中非常容易破裂,中子可以从n-p连续态及氘核基态转移到靶上,需要引入三体模型来解释这种物理现象。由于计算能力的显著提高和高性能计算的巨大进步,用于描述三体系统的理论模型也在蓬勃发展。本文在第二节中将介绍应用于氘核削裂反应的几种主要理论模型,在第三节介绍当前氘核削裂反应理论研究中待解决的若干问题和目前的研究进展。最后一节是结论与展望。

    • 氘核削裂反应是单核子转移反应的一种。图1是转移反应A(a, b)B的示意图,在这个过程中,粒子x从弹核a(a=b+x)转移到靶核A上,形成剩余核B(B=A+x)。通常我们把b和A称为a和B的核心,而把x称为价粒子(或价核子)。对氘核削裂反应A(d, p)B而言,x为被转移的中子,b为氘核中的质子。这个体系的哈密顿量可以根据不同的反应道表示为

      图  1  削裂反应$ {\rm A(a, b)B} $示意图

      $$ H = H_\alpha+T_\alpha+V_\alpha = H_\beta+T_\beta+V_\beta, $$ (1)

      其中下标$ \alpha $$ \beta $分别表示入射道和出射道,$ H_{\alpha,\beta} $为内部坐标的哈密顿量,对应于原子核a、A、b、B的内部坐标波函数,$ T_{\alpha,\beta} $为动能算符,$ V_{\alpha,\beta} $为反应道相互作用($ V_\alpha = V_{\rm bA}+V_{\rm xA} $$ V_\beta = V_{\rm bA}+V_{\rm bx} $)。对于转移反应($ \alpha\neq\beta $),其跃迁振幅(transition amplitude)为[43]

      $$ T_{\beta\alpha} = \langle \varPsi_\beta^{(-)}|V_\alpha|\phi_\alpha\rangle = \langle \phi_\beta|V_\beta|\varPsi_\alpha^{(+)}\rangle, $$ (2)

      这里前后两个表达式分别为跃迁振幅的前项(prior)和后项(post)形式,$ \varPsi_{\alpha}^{(+)} $$ \varPsi_\beta^{(-)} $分别是三体反应体系在初态({(b,x),A})和末态({b,(x,A)})的总波函数。它们的上下标表示它们的边界条件分别为出射球面波($ (+) $)和入射球面波($ (-) $)。$ \phi_\alpha $是如下方程的解:

      $$ (E-H_\alpha-T_\alpha)\phi_\alpha = 0, $$ (3)

      这里的$ E $为反应体系的质心系能量。

      $ \phi_\beta $对应的薛定谔方程可以同样写出。显然,$ \phi_\alpha $是平面波和入射道原子核的内部波函数$ \varPhi_\alpha({{\boldsymbol{A}}},{{\boldsymbol{a}}}) $的乘积:

      $$ \phi_\alpha = \exp({\rm{i}}{\boldsymbol{k}}_\alpha \boldsymbol\cdot {\boldsymbol{r}}_\alpha)\varPhi_\alpha({{\boldsymbol{A}}},{{\boldsymbol{a}}}), $$ (4)

      其中$ {\boldsymbol{k}}_\alpha = \sqrt{2\mu_\alpha E_{\rm{cm}}} $为入射粒子的动量,$ \mu_\alpha $A-a系统的约化质量,$ E_{\rm{cm}} $A-a的相对运动动能。转移反应A(a, b)B的a(= b+x)-A这个三体系统的波函数$ \varPsi_\alpha $满足薛定谔方程

      $$ (E-H_\alpha-T_\alpha)\varPsi_\alpha^{(+)} = V_\alpha\varPsi_\alpha^{(+)}{\text{。}} $$ (5)

      形式上,这个方程的解为

      $$ \begin{split} \varPsi_\alpha^{(+)} =& \phi_\alpha+ \frac{1}{E-H_\alpha-T_\alpha-V_\alpha+{\rm{i}}\varepsilon}V_\alpha\phi_\alpha \\ =& \left(1+\frac{1}{E-H+{\rm{i}}\varepsilon}\right)\phi_\alpha{\text{。}} \end{split} $$ (6)

      把式(6)代入式(2),有(后项形式):

      $$ T_{\beta\alpha} = \big\langle \phi_\beta|V_\beta+V_\beta\frac{1}{E-H+{\rm{i}}\varepsilon}V_\alpha|\phi_\alpha\big\rangle{\text{。}} $$ (7)

      我们可以在方程(5)两边同时添加一个任意的辅助势$ U_\alpha $

      $$ (E-H_\alpha-T_\alpha-U_\alpha)\varPsi_\alpha^{(+)} = (V_\alpha-U_\alpha)\varPsi_\alpha^{(+)}, $$ (8)

      则方程的解可以表示为

      $$ \begin{split} \varPsi_\alpha^{(+)} =& \chi_\alpha^{(+)}+\frac{1}{E-H_\alpha-T_\alpha-U_\alpha+{\rm{i}}\varepsilon}(V_\alpha-U_\alpha)\varPsi_\alpha^{(+)}\\ =& \chi_\alpha^{(+)}+\frac{1}{E-H+{\rm{i}}\varepsilon}(V_\alpha-U_\alpha)\chi_\alpha^{(+)}{\text{。}} \end{split} $$ (9)

      其中$ \chi_\alpha^{(+)} $是如下方程的解:

      $$ (E-H_\alpha-T_\alpha-U_\alpha)\chi_\alpha^{(+)} = 0{\text{。}} $$ (10)

      把式(9)代入式(2),我们有[43]

      $$ \begin{split} T_{\beta\alpha} =& \big\langle\phi_\beta|V_\beta-V_\alpha+U_\alpha|\chi_\alpha^{(+)}\big\rangle +\\& \big\langle \varPsi_\beta^{(-)}|V_\alpha-U_\alpha|\chi_\alpha^{(+)}\big\rangle{\text{。}} \end{split}$$ (11)

      如果对出射道也引入一个任意的势$ U_\beta $,跃迁振幅还可以表达如下:

      $$ \begin{split} T_{\beta\alpha} =& \big\langle\chi_\beta^{(-)}|V_\alpha-V_\beta+U_\beta|\phi_\alpha\big\rangle + \\&\big\langle \chi_\beta^{(-)}|V_\beta-U_\beta|\varPsi_\alpha^{(+)}\big\rangle{\text{。}}\end{split} $$ (12)
    • 原则上式(8)的辅助势$ U_\alpha $可以作用于原子核的内部坐标,从而引起原子核内部状态波函数的改变。但是如果我们进一步假定$ U_\alpha $$ \alpha $道(入射道)的光学势,即它只是a和A两个核质心之间距离的函数,那么$ \chi_\alpha^{(+)} $可以进一步分解为a和A的相对运动波函数$ \chi_\alpha^{(+)}({\boldsymbol{r}}_\alpha) $以及它们的内部运动波函数$ \varPhi_\alpha({{\boldsymbol{A}}},{{\boldsymbol{a}}}) $的乘积:

      $$ \chi_\alpha^{(+)}({{\boldsymbol{r}}_\alpha},{\boldsymbol{A}},{\boldsymbol{a}}) = \chi_{\alpha}^{(+)}({{\boldsymbol{r}}}_{\alpha})\varPhi_\alpha({\boldsymbol{A}},{\boldsymbol{a}}){\text{。}} $$ (13)

      同样地,如果把$ U_\beta $取作出射道的光学势,有:

      $$ \chi_\beta^{(-)} ({\boldsymbol{r}}_\beta, {\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}}) = \chi_\beta^{(-)} ({\boldsymbol{r}}_\beta)\varPhi_\beta({\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}}), $$ (14)

      这里$ \chi_\beta^{(-)} $是出射道核b和B的相对运动波函数,$ \varPhi_\beta({\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}}) $为b和B的内部状态波函数。

      此外,在取$ U_\alpha $$ U_\beta $为入射道和出射道的光学势的情况下,式(11)和(12)右边的第一项是对角化的。把式(9, 13, 14)代入式(12),有:

      $$ \begin{split} T_{\beta\alpha} =& \big\langle\chi_\beta^{(-)}\varPhi_\beta({\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}})|U_\alpha|\phi_\alpha\big\rangle \delta_{\alpha\beta}+ \\ &\big \langle \chi_\beta^{(-)}\varPhi_\beta({\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}})|(V_\beta-U_\beta)+\\ &(V_\beta-U_\beta)\frac{1}{E-H+{\rm{i}}\varepsilon}(V_\alpha-U_\alpha)| \chi_\alpha^{(+)}{\varPhi_\alpha}({{\boldsymbol{A}}},{{\boldsymbol{a}}})\big\rangle{\text{。}} \end{split}$$ (15)

      这就是两体反应跃迁振幅的一般形式。对于核子转移反应,由于$ \beta\neq\alpha $,其跃迁振幅就只包含等号右边的第二项,即:

      $$ \begin{split} T_{\beta\alpha} = &\big\langle \chi_\beta^{(-)}\varPhi_\beta({\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}})|(V_\beta-U_\beta)+\\ &(V_\beta-U_\beta)\frac{1}{E-H+{\rm{i}}\varepsilon}(V_\alpha-U_\alpha)| \chi_\alpha^{(+)}\varPhi_\alpha({{\boldsymbol{A}}},{{\boldsymbol{a}}})\big\rangle{\text{。}} \end{split}$$ (16)

      注意,这里除了假定引入的辅助势$ U_\alpha $$ U_\beta $为入射道和出射道的光学势以外(即这些势只是a-A以及b-B之间的两体相互作用,只能引起a-A以及b-B体系的弹散或者非弹,而不引起核子交换等过程),没有引入其它近似。

      式(7)和式(16)中的跃迁振幅看起来简单,但是其严格求解却是复杂的,因为这些式子里面的$ H $是三体体系的完整哈密顿量。人们通常需要引入各种近似来计算转移反应截面。

    • 忽略式(7)中的第二项即可得到转移反应的PWBA,即

      $$ \begin{split} T_{\beta\alpha}^{\rm{PWBA}} = &\big\langle \phi_\beta|V_\beta|\phi_\alpha\big\rangle = \big\langle \exp({\rm{i}}{\boldsymbol{k}}_\beta \cdot{\boldsymbol{r}}_\beta)\times \\&\varPhi_\beta({\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}})|V_\beta| \exp({\rm{i}}{\boldsymbol{k}}_\alpha \cdot{\boldsymbol{r}}_\alpha)\varPhi_\alpha({{\boldsymbol{A}}},{{\boldsymbol{a}}})\big\rangle{\text{。}} \end{split} $$ (17)

      式中$ V_\beta = V_{\rm bA}+V_{\rm bx} $($ V_{\rm bA} $$ V_{\rm bx} $分别是图1中b和A以及b和x之间的相互作用)。其中,$ V_{\rm bx} $对转移反应微分截面角分布形状的影响是主要的。$ V_{\rm bA} $对转移反应截面的贡献是平滑的本底,因此在PWBA计算中通常被忽略掉。

      在进一步分析PWBA之前,我们需要对转移反应跃迁振幅中原子核的内部波函数做一说明。在式(4, 13, 14)等式中,$ \varPhi_\alpha $$ \varPhi_\beta $分别是出射道和入射道原子核的内部坐标波函数,它们分别对应内部哈密顿量$ H_\alpha $$ H_\beta $。在氘核削裂反应A(d, p)B中,$ \varPhi_\alpha $是A和氘核的内部坐标波函数($ \varPhi_{\rm A} $$ \phi_{\rm d} $)的乘积:

      $$ \varPhi_\alpha({{\boldsymbol{A}}},{{\boldsymbol{a}}}) = \varPhi_{J_A}^{M_A}({\boldsymbol{A}})\phi_d({\boldsymbol{r}}), $$ (18)

      $ \varPhi_\beta $则是B的内部坐标波函数:

      $$ \varPhi_\beta({\boldsymbol{B}},{\boldsymbol{b}}) = \varPhi_{J_B}^{M_B}({\boldsymbol{A}},{\boldsymbol{r}}_n){\text{。}} $$ (19)

      这里的$ J_{A,B} $$ M_{A,B} $分别是A和B的自旋及其投影。$ {\boldsymbol{r}} $$ {\boldsymbol{r}}_n $分别对应图1中的$ {\boldsymbol{r}}_2 $$ {\boldsymbol{r}}_1 $$ \varPhi_{J_B}^{M_B}({\boldsymbol{A}},{\boldsymbol{r}}_n) $可以做如下展开:

      $$\begin{split} \varPhi_{J_B}^{M_B}({\boldsymbol{A}},{\boldsymbol{r}}_n) =& \sum\limits_{A'}\sum\limits_{\substack{nlj\\ M_j M_A}}S_{A';nlj}^{1/2}C_{jM_jJ_AM_A}^{J_BM_B} \times\\& \varPhi_{A',J_A M_A}({\boldsymbol{A}})\phi_{nlj M_j}({\boldsymbol{r}}_n){\text{。}} \end{split}$$ (20)

      这里$ A' $对应原子核A的不同的态,$ S_{A';nlj}^{1/2} $是谱幅度,它的平方即为谱因子$ S_{A';nlj} $(注意谱因子总是正的,但谱幅度则可正可负),而$ \phi_{nlj M_j} $则是被转移粒子的单粒子波函数。谱因子$ S_{A';nlj} $体现了在多大程度上可以把B核(自旋及其投影为$ J_BM_B $)看作是由A核(处于$ A' $态,自旋及其投影为$ J_AM_A $)以及一个处于量子数为$ nlj $的单粒子轨道的中子n所组成的。为了简单起见,我们忽略了这些式子中粒子n的自旋波函数。

      在数值计算中需要对式(20)中的每一对$\varPhi_{A',J_A M_A}({\boldsymbol{A}}) \phi_{nlj M_j}({\boldsymbol{r}}_n)$进行计算。下面我们取式 (20)等号右边的某一个成分,代入式(17),对氘核削裂反应A(d, p)B,有:

      $$ \begin{split} T_{\rm dp}^{\rm{PWBA}} =& S_{nlj}^{1/2}C_{jM_jJ_AM_A}^{J_BM_B} \big\langle \exp({\rm{i}}{\boldsymbol{k}}_{\rm p} \cdot{\boldsymbol{r}}_{\rm p})\phi_{nlj M_j}({\boldsymbol{r}}_n) \\& |V_{\rm np}({\boldsymbol{r}})| \exp({\rm{i}}{\boldsymbol{k}}_{\rm d} \cdot{\boldsymbol{r}}_{\rm d})\phi_{\rm d}({\boldsymbol{r}})\big\rangle{\text{。}} \end{split}$$ (21)

      这里${\boldsymbol{r}}_{\rm d}$${\boldsymbol{r}}_{\rm p}$分别对应图1中的$ {\boldsymbol{r}}_\alpha $$ {\boldsymbol{r}}_\beta $。注意,由于$V_{\rm np}$不作用在$ \varPhi_{J_A}^{M_A}({\boldsymbol{A}}) $的内部坐标上,可以利用A的内部波函数的正交性来避免对A的内部坐标的积分。

      对于(d, p)反应,利用图1中的坐标关系,有:

      $$ \begin{split} {\boldsymbol{k}}_{\rm d}\cdot{\boldsymbol{r}}_{\rm d}-{\boldsymbol{k}}_{\rm p} \cdot{\boldsymbol{r}}_{\rm p} =& ({\boldsymbol{k}}_{\rm d}-\frac{A}{A+1}{\boldsymbol{k}}_{\rm p}){\boldsymbol{r}}_n +({\boldsymbol{k}}_{\rm p}-\frac{1}{2}{\boldsymbol{k}}_{\rm d}){\boldsymbol{r}} \\[1mm]\equiv&{\boldsymbol{q}} \cdot{\boldsymbol{r}}_n+{\boldsymbol{K}} \cdot{\boldsymbol{r}} , \\[-11pt] \end{split}$$ (22)

      于是

      $$ \begin{split}T_{\rm dp}^{\rm{PWBA}} \propto & \int {\rm e}^{-{\rm{i}}{\boldsymbol{k}}_{\rm p} \boldsymbol\cdot{\boldsymbol{r}}_{\rm p}}\phi_{nlj M_j}^\ast({\boldsymbol{r}}_n) V_{\rm np}({\boldsymbol{r}}) {\rm{e}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{k}}_{\rm d} \cdot{\boldsymbol{r}}_{\rm d}}\phi_{\rm d}({\boldsymbol{r}}){\rm{d}}{\boldsymbol{r}}_{\rm p} {\rm{d}}{\boldsymbol{r}}_{\rm d}= \\ &\int {\rm{e}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{K}} \cdot{\boldsymbol{r}}}V_{\rm np}({\boldsymbol{r}})\phi_{\rm d}({\boldsymbol{r}}){\rm{d}}{\boldsymbol{r}} \int {\rm{e}}^{{\rm{i}}i{\boldsymbol{q}} \boldsymbol\cdot{\boldsymbol{r}}_n}\phi_{nlj M_j}^\ast({\boldsymbol{r}}_n){\rm{d}}{\boldsymbol{r}}_n{\text{。}} \end{split}$$ (23)

      可见在PWBA下,氘核削裂反应的跃迁振幅可写成两个傅立叶变换的乘积的形式。其中一个是对氘核波函数和n-p相互作用($V_{\rm np}$)的乘积的变换,另一个是对被转移的中子在B中的单粒子波函数的变换。我们感兴趣的是第二个变换,因为无论从核中转移哪个中子,第一个变换都是相同的。我们定义第一个变换为$ G({\boldsymbol{K}}) $。第二个傅立叶变换中的平面波可以展开成如下形式:

      $$ {\rm{e}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{q}} \cdot{\boldsymbol{r}}_n} = 4\pi\sum\limits_{LM}i^L j_L(qr_n)Y_{LM}^*({\hat{\boldsymbol{q}}})Y_{LM}({\hat{\boldsymbol{r}}}_n) , $$ (24)

      单粒子波函数可以写成径向波函数与球谐函数相乘的形式:

      $$ \varphi_{nljM_j}({\boldsymbol{r}}_n) = \frac{1}{r_n}u_{nl}(r_n)Y_{lm}({\hat{\boldsymbol{r}}}_n) {\text{。}} $$ (25)

      因此,跃迁振幅又可化为如下形式:

      $$ T_{\rm dp}^{\rm{PWBA}} \propto G({\boldsymbol{K}})Y_{lm}^*({\hat{\boldsymbol{q}}})\int j_l(qr_n)u_{nl}(r_n)r_n {\rm{d}}r_n {\text{。}} $$ (26)

      图2中展示了用PWBA计算的对应不同$ l $值的反应微分截面(正比于$ |T|^2 $)。可以看出,用PWBA计算的角分布对单粒子波函数的角动量$ l $有相当大的依赖性。PWBA假定a-A之间的相对运动由平面波描述,即忽略它们之间的相互作用在反应过程中的作用。在两个核距离很近($ r $很小)的情况下,这个图像显然是不恰当的。不过,直接核反应通常发生在核的表面。我们可以假设当$ r $小于某个半径$ R $时,原子核之间存在的强吸收作用会压低直接过程的贡献。因此可以忽略式(26)的积分中$ r<R $部分的贡献。同时,考虑到$ G({\boldsymbol{K}}) $比起$ j_l(qr) $随出射的质子角度变化较为缓慢,我们有$ T^{\rm{PWBA}}\propto\int_R^\infty j_l(qr)u_{nl}(r)r{\rm{d}}r $。此处的$ R $被称为截断半径(cutoff radius)。更进一步,若认为直接反应只发生在核的表面($ r\approx R $),则有$ T\propto j_l(qR) $。另外,随着$ l $的增加,$ j_l(qR) $的第一个也是最大的峰出现在较大的$ qR $处。可见,不同的角动量$ l $对应不同的角分布及其最大值对应的散射角度。因此,可以利用实验测得的微分截面角分布来确定单粒子波函数的轨道角动量,进而确定原子核的自旋宇称。

      图  2  (在线彩图)由PWBA计算的15O(d, p)16O微分截面角分布对被转移中子的角动量$l$的依赖性,这里$E_{\rm d}=30$ MeV。红色实线、蓝色长虚线和黑色短虚线分别对应$l=0,1,2$时的结果

      PWBA中的截断半径$ R $并没有很好的定义。它通常被当作自由参数,通过拟合转移反应截面角分布来确定。因此PWBA理论不具备良好的理论预言能力。此外,PWBA忽略了出射道和入射道的原子核之间的相互作用。这显然是不合适的。针对这些问题,在氘核削裂反应被PWBA理论证实是一个有效的研究原子核谱学的工具后,人们很快就提出了改进PWBA理论的需求[44-45]。这个过程经历了十年左右。直到20世纪60年代,扭曲波玻恩近似理论(Distorted Wave Born Approximation, DWBA)才被发展到比较完善的程度[46-49]

    • DWBA下的转移反应跃迁振幅可以通过去掉式(16)中的第二项来得到。对于氘核削裂反应A(d, p)B,有:

      $$ \begin{split} T_{\rm dp}^ {\rm{DWBA}} =& \big\langle \chi_{\rm p}^{(-)}\varPhi_{J_BM_B}({\boldsymbol{A}},{\boldsymbol{r}}_n)|V_{\rm pn}+V_{\rm pA}-U_{\rm pB}|\\ & \chi_{\rm d}^{(+)}\varPhi_{J_AM_A}({\boldsymbol{A}})\phi_{\rm d}({\boldsymbol{r}})\big\rangle{\text{。}} \end{split} $$ (27)

      这里$ \chi_{\rm d}^{(+)} $$ \chi_{\rm p}^{(-)} $分别为入射道和出射道的扭曲波(distorted waves)。它们满足的方程为(为简单起见,假定A处于基态):

      $$ \begin{split} & (E-E_{\rm d}-T_{\rm dA}-U_{\rm dA})\chi_{\rm d}^{(+)} = 0, \\& (E-E_{\rm n}-T_{\rm pB}-U_{\rm pB})\chi_{\rm p}^{(-)} = 0{\text{。}} \end{split} $$ (28)

      其中$E_{\rm d}$$E_{\rm n}$分别为中子在氘核以及在剩余核B中的束缚能。通过与式(3)中的平面波所满足的方程相比,可以看出,入射道和出射道的相对运动波函数$ \chi^{(+,-)} $由于这里引入的辅助势$ U_{\rm dA} $$ U_{\rm pB} $的存在而被“扭曲”了(distorted)。原则上,$ U_{\rm dA} $$ U_{\rm pB} $可以是任意的,但是选择它们为可以描述d-A和p-B体系的弹性散射数据的光学势是自然而方便的。式(27)中的$ V_{\rm pA}-U_{\rm pB} $被称作是剩余项(remnant term)。可见在PWBA中被忽略的$ V_{\rm pA} $项可在DWBA中被严格处理。但是,对于比较重的靶核($ {\rm B} = {\rm A+n}\approx {\rm A} $),通常可以认为$ V_{\rm pA}\approx U_{\rm pB} $,从而忽略剩余项。

      DWBA方法大大改善了对氘核削裂反应的描述能力。图3比较了12 MeV入射能条件下DWBA和PWBA理论对40Ca(d, p)41Ca反应的计算结果。可以看到,与PWBA相比,DWBA对反应截面的幅度及角分布形状的预言都有了很大的改善。同时,由于引入的光学势的内部吸收作用,DWBA理论计算中不需要像PWBA一样人为地引入截断半径。

      图  3  PWBA和DWBA对40Ca(d, p)41Ca反应预测的比较,$E_{\rm d}=12$ MeV。实线和虚线分别对应DWBA和PWBA的计算结果,实心圆点表示实验数据。此图来自文献[50]

      在前面的叙述中,我们假定反应前后原子核A、B的都处于基态。事实上,它们可以被激发到某个或某些激发态。如果这些激发态对应的反应道与基态的反应道之间的耦合效应比较强的话,则必须要考虑这些激发态之间的耦合效应。此时,转移反应可以用耦合道玻恩近似(Coupled Channel Born Approximation,CCBA)理论进行分析[43, 51]。此外,从图1可以看出,转移反应的入射道和出射道的原子核只是b, x, A 这三个集团的重新组合,它们属于同一个反应体系,因此,入射道和出射道之间也存在耦合。对于反应道之间的耦合,需要用耦合反应道(Coupled Reaction Channels,CRC)理论来进行处理[50, 52-57]。本文不对此做具体的讨论。

      DWBA的数值计算比较简单,也能够很好地描述较大的入射能及靶核质量范围内的直接核反应,因此,直到今天,这个理论仍然被广泛地应用于对转移反应实验数据的理论分析中。但是,以氘核削裂反应理论为代表的直接核反应理论一直在不断发展。1968年,Philpott等[49]详细分析了(p, d)、(d, p)等核子转移反应的DWBA理论中的问题,并列出了如下需要进一步研究的内容:

      $ (1) $ 光学势参数的不确定性,以及这些不确定性对核子转移反应截面的影响;

      $ (2) $ 对一些核来讲,入射道或出射道的光学势($ U_\alpha $$ U_\beta $)只能描述它们的弹性散射,这是不够的,需要考虑非弹散射道的耦合效应;

      $ (3) $ 光学势的非定域性及其对核子转移反应截面的影响;

      $ (4) $ 核心(B=A+n中的A核)激发的影响;

      $ (5) $ 弹核(d、3He等)中$ D $态波函数的贡献;

      $ (6) $ 用于抽取光学势的弹性散射数据通常只对光学势的表面敏感,在半径比较小的区域(比如原子核内部)的光学势应该是什么样子?

      $ (7) $ 弹核破裂(projectile breakup)的影响。

      在此后的半个多世纪的时间里,人们对氘核削裂反应的理论研究确实也集中在这些方面,并且都取得了不少的进展,简述如下:

      $ (1) $ 众所周知,拟合少量的弹性散射数据得到的光学势参数具有比较大的不确定性。因此,在理论分析中应尽可能地采用系统学光学势[58-64]。系统学光学势通过同时拟合大量的弹性散射实验数据(覆盖比较大的入射能量的范围以及比较大的靶核质量的范围),可以在很大程度上减小光学势参数的不确定性,从而在直接核反应的系统学理论分析中得到比较一致的结果[65]。近年来,Nunes等[66]还分析了由光学势的不确定性引起的转移反应截面的不确定性;

      $ (2) $ 人们发展了耦合道玻恩近似理论,以有效地处理耦合道效应比较强的情况下的(如靶核具有较大的形变,从而容易引起非弹激发等)转移反应理论计算,并取得了很大的成功[51]

      $ (3) $ 从2013年以来,Tomofeyuk、Nunes等对光学势的非定域性及其在氘核削裂反应中的应用开展了深入的研究,详情可参考文献[67-71];

      $ (4) $ 2015年,Moro等[72]发展了包含核心激发的氘核削裂反应理论。他们发现一般情况下核心激发对转移反应的影响比较小。但是,在核心有比较大形变的情况下,核心激发的影响还是应该考虑的。这对与从氘核削裂反应来抽取单中子谱因子等信息具有一定的影响。

      $ (5) $ 由于数值计算能力的提高,在转移反应理论计算中考虑d、3He等弹核的$ D $态波函数的贡献是早已成为一个简单的事情。当前公开的计算机程序,如FRESCO[73]、TWOFNR[74]等,都允许考虑这些成分。

      $ (6) $ 通常的弹性散射实验数据确实对内部光学势不敏感,因此,通过拟合弹性散射数据得到的唯象光学势的内部具有相当大的不确定性。韵小艳等[75]通过系统分析从较低(约5 MeV/nucleon)到较高(约30 MeV/nucleon)入射能条件下在14C、36S和58Ni靶上的(d, p) 反应,发现采用微观光学势[64]得到的单粒子强度比用CH89[58]等唯象的光学势更接近于(e, e′p)反应的系统学行为。因此认为微观光学势更适合于转移反应的理论计算。由于微观光学势不是通过拟合弹性散射实验数据得到的,其内部或许具有更好的微观物理基础。当然,内部光学势的不确定性对于理论计算的转移反应截面的影响仍然是一个值得研究的问题。

      $ (7) $ 氘核的结合能很低,它在与原子核碰撞过程中很容易被激发到其连续能级,从而发生破裂反应。破裂反应道会与弹性散射、非弹散射、转移反应等其它反应道耦合,改变这些反应道的扭曲波波函数,从而影响它们的截面。作为一个最简单的三体核反应,氘核削裂反应一直是核反应机制研究的重要对象,其中对氘核破裂道的理论处理一直是其中的一个关键问题。我们接下来将重点讨论这一问题。

    • 氘核削裂反应的跃迁振幅(式(12))中的$ \varPsi_\alpha $是入射道d(p+n)+A三体体系的总波函数,它满足式(5)中的薛定谔方程。对于氘核削裂反应,在忽略$ {\rm A} $核的内部坐标自由度的情况下,式(5)的具体形式为(坐标关系见图1,令$ {\boldsymbol{R}} = {\boldsymbol{r}}_\alpha $$ {\boldsymbol{r}} = {\boldsymbol{r}}_2 $)

      $$ (T_{{\boldsymbol{R}}}+H_{{\boldsymbol{r}}}+V_{\rm pA}+V_{\rm nA})\varPsi({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) = E\varPsi({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}), $$ (29)

      其中$H_{{\boldsymbol{r}}} = T_{{\boldsymbol{r}}}+V_{\rm np}$为n-p子系统的哈密顿量。对应的n-p子系统的薛定谔方程为

      $$ H_{{\boldsymbol{r}}}\phi({\boldsymbol{r}}) = (T_{{\boldsymbol{r}}}+V_{\rm np}(r))\phi({\boldsymbol{r}}) = \epsilon\phi({\boldsymbol{r}}){\text{。}} $$ (30)

      $ \phi({\boldsymbol{r}}) $既可以是n-p体系的束缚态(氘核),也可以是它的连续态。其满足的径向方程为

      $$ \left\{\frac{\hbar^2}{2\mu}\left[-\frac{{\rm{d}}^2}{{\rm{d}}r^2}+\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]+V_{\rm np}(r)\right\}\phi_\ell(r,\epsilon) = \epsilon\phi_\ell(r,\epsilon){\text{。}} $$ (31)

      其中$ \mu $是n-p体系的约化质量,$ \ell $为n-p之间的轨道角动量。氘核的束缚能很低,在与弹核的碰撞过程中很容易被激发到连续能级,因此,氘核的破裂反应道对氘核削裂反应的影响是一个不可忽略的因素。连续态离散化耦合道方法(Continuum Discretized Coupled Channels, CDCC)[76-77]是目前发展得最完善的处理氘核连续态耦合效应的方法。

    • 方程(31)中氘核的连续态波函数之间的关系为

      $$ \int \phi_\ell^{\ast}(r,k_1)\phi_\ell(r,k_2)r^2{\rm{d}}r = \delta(k_1-k_2){\text{。}} $$ (32)

      显然它们不能构成一个完备正交基。连续态离散化耦合道方法通过构造如下的连续态分段函数(continuum bins)把氘核的连续态离散化[78]

      $$ \phi_{\ell,i}(r) = \sqrt{\frac{2}{\pi N_i}}\int\nolimits_{k_{i-1}}^{k_i} g_i(k)\phi_{\ell}(r,k){\rm{d}}k, $$ (33)

      其中$ g_i(k) $是积分的权重函数,通常取为1,$ N_i = \int_{k_{i-1}}^{k_i} $$ |g_i(k)|^2{\rm{d}}k $是分段函数的归一化系数。n-p之间的相对动量$ k $和相对运动动能$ \epsilon $之间的关系为$ k = \sqrt{2\mu \epsilon/\hbar^2} $

      可以证明,在能量范围$ (\epsilon_{i-1},\epsilon_i) $$ (\epsilon_{j-1},\epsilon_j) $不重叠的情况下,如此构造的连续态分段波函数满足如下正交关系:

      $$ \langle\phi_{\ell_1,i}|\phi_{\ell_2,j}\rangle = \int \phi^\ast_{\ell_1,i}\phi_{\ell_2,j}{\rm{d}}r = \delta_{\ell_1\ell_2}\delta_{ij}{\text{。}} $$ (34)

      因此,这些分段波函数和氘核的基态波函数一起可以构成一个平方可积的基。三体波函数$ \varPsi({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) $可以在这个在基下展开为

      $$ \varPsi({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) = \varPsi^{\rm{CDCC}}({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) = \sum\limits_{\ell = 0}^{\ell_{\max}}\sum\limits_{i = 0}^{N_\ell} \phi_{\ell,i}({\boldsymbol{r}})\chi_{\ell,i}({\boldsymbol{R}}) , $$ (35)

      其中$ N_\ell $是对每一个分波$ \ell $的连续态构造的分段函数的数目,它们由每一个分波$ \ell $的连续态的最高能量$ \epsilon_{\max,\ell} $以及分段波函数的能量间隔的大小决定$ N_\ell = N_\ell(\epsilon_{\max,\ell},\varDelta\epsilon) $

      把式(35)代入式(29),即可得到扭曲波$ \chi_{\ell,i} $所满足的耦合道方程组:

      $$ \begin{split} (E-T_R-\epsilon_i)\chi_{\ell,i}({\boldsymbol{R}}) =& \sum\limits_{\ell' = 0}^{\ell'_{\max}}\sum\limits_j^{N_{\ell'}} \big\langle\phi_{\ell,i}|V_{\rm nA}+\\& V_{\rm pA}|\phi_{\ell',j}\big\rangle \chi_{\ell',j}({\boldsymbol{R}}) {\text{。}}\\[-13pt] \end{split} $$ (36)

      同样地,把式(35)代入式(12)即可在氘核削裂反应中包含氘核破裂反应道的贡献。对于氘核削裂反应,式(12)中的$ \beta\neq\alpha $,因此有:

      $$ \begin{split} T_{\rm dp}^{\rm{CDCC}} =& \sum\limits_{\ell = 0}^{\ell_{\max}}\sum\limits_{i = 0}^{N_\ell} \big\langle \chi_{\rm p}^{(-)}\varPhi_{J_BM_B}({\boldsymbol{B}})|V_\beta-U_\beta|\times \\ & \phi_{\ell,i}({\boldsymbol{r}})\chi_{\ell,i}^{(+)}({\boldsymbol{R}}) \varPhi_{J_AM_A}({\boldsymbol{A}})\big\rangle{\text{。}} \end{split} $$ (37)

      可以看到,此时n-p体系的基态和连续态都对转移反应截面有贡献。

      CDCC方法已经被广泛地应用于氘核削裂反应理论分析中[11, 14, 79]。原则上CDCC计算中$ \ell_{\max} $以及$ \epsilon_{\max,\ell} $的值要足够大,从而保证数值计算的收敛性(计算结果不再随着它们的增大而改变)。但是,目前CDCC方法在氘核削裂反应中的数值计算并不总能得到收敛的结果。对于重靶以及入射能比较高的情况下尤其如此[11]。此外,庞丹阳等[80]的研究表明,(d, p)反应的理论计算的收敛性要求$ \epsilon_{\max} $不小于20 MeV。这意味着对入射能小于20 MeV的条件下的氘核削裂反应的CDCC理论分析有必要引入闭合道(closed channel)的贡献。国内早在2008年,安海霞等[81-83]就对闭合道在氘核破裂反应中的作用进行了研究。因此,CDCC方法在氘核削裂反应上的应用仍然有待进一步改进。

      CDCC方法是处理氘核(弱束缚的入射核)连续态的有效方法。但是它的计算量比较大,并且在转移反应理论计算中不总能得到收敛的结果。因此,可近似处理连续态效应同时具有较高数值稳定性的方法,对于氘核削裂反应的分析是有利的。其中一个代表性的并且被广泛应用至今的方法是Johnson等[84]发展的绝热波近似理论 (adiabatic wave approximation, ADWA)。此外,人们还尝试用其它函数(如Weinberg state,或称Sturmian state)来展开转移反应的三体波函数[85-86]。庞丹阳等[80]发现,在氘核削裂反应中只需要取Weinberg state展开的第一项就可以得到和CDCC非常接近的结果。

    • 当入射能在几十MeV以下的条件下,氘核的s-波在氘核削裂反应中起主要作用。如果只考虑n-p子系统的s-波相互作用以及s-波波函数,d(p+n)-A系统的三体波函数可以写成如下形式[84]

      $$ \varPsi^{(+)}({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) = \phi_0({\boldsymbol{r}})\chi_0({\boldsymbol{R}}) + \int {\rm{d}}{\boldsymbol{k}}\phi^{(+)}(\epsilon_k,{\boldsymbol{r}})\chi(\epsilon_k,{\boldsymbol{R}}), $$ (38)

      其中$ \phi_0 $$ \phi^{(+)} $分别是n-p子系统的基态(氘核)和连续态波函数(连续态的能量为$ \epsilon_k $):

      $$ \begin{split} & H_r\phi_0 = -\epsilon_0\phi_0, \quad (\epsilon_0 = -2.226 \;{\rm{MeV}})\\ &H_r\phi^{(+)}(\epsilon_k) = \epsilon_k\phi^{(+)}(\epsilon_k), \quad \epsilon_k\geqslant 0{\text{。}} \end{split}$$ (39)

      $ \phi_0 $$ \phi^{(+)}(\epsilon_k) $满足如下关系

      $$ \big\langle \phi_0|\phi^{(+)}(\epsilon_k)\big\rangle = 0, \quad \big\langle \phi^{(+)}(\epsilon_k)|\phi^{(+)}(\epsilon_{k'})\big\rangle = \delta({\boldsymbol{k}}-{\boldsymbol{k}}'), $$ (40)
      $$ |\phi_0\rangle\langle\phi_0|+ \int {\rm{d}}{\boldsymbol{k}}|\phi^{(+)}(\epsilon_k)\rangle\langle\phi^{(+)}(\epsilon_{k})| = 1{\text{。}} $$ (41)

      这里,${\boldsymbol{k}}^2 = 2\mu_{\rm np}\epsilon_{k}$${\boldsymbol{k'}}^2 = 2\mu_{\rm np}\epsilon_{k'}$

      把式(38)形式的三体波函数代入三体薛定谔方程,在$ r\sim 0 $处(由于$V_{\rm np}$是短程相互作用,转移反应截面主要来自于$ r\sim 0 $附近的跃迁振幅贡献),有

      $$ \begin{split}& \big[E+\epsilon_0-T_R-\bar{V}(R)\big]\phi_0(0)\chi_0(R)+\\ &\int {\rm{d}}{\boldsymbol{k}}\big[E-\epsilon_k-T_R-\bar{V}(R)\big]\phi^{(+)}(\epsilon_k,0)\chi(\epsilon_k,R) = 0, \end{split}$$ (42)

      其中$\bar{V} = V_{\rm nA}+V_{\rm pA}$。注意到这个公式里两个中括号里面的差别在于$ \epsilon_k $$ \epsilon_0 $。Johnson和Soper[84]提出的ADWA的要点在于把所有的连续态的能量$ \epsilon_k $用氘核的束缚态能量$ \epsilon_0 $来代替,此时方程变为

      $$ [E+\epsilon_0-T_R-\bar{V}]\bar{\chi}(R) = 0, $$ (43)

      其中$ \bar{\chi}(R) $是等效的氘核的扭曲波:

      $$ \bar{\chi}(R) = \chi_0(R)+\int {\rm{d}}{\boldsymbol{k}} \phi^{(+)}(\epsilon_k,0)\chi(\epsilon_k,R)/\phi_0(0), $$ (44)

      $ \bar{V} $则是等效的d-A相互作用。从这里面可以看到,这个等效的扭曲波除了包含氘核基态所对应的扭曲波成分,还包含了氘核的连续态的贡献。用此等效氘核波函数代替式(27)中的$\chi_{\rm d}^{(+)}$,即得到绝热近似条件下的氘核削裂反应的跃迁振幅。$ \bar{\chi} $可以通过求解方程(43)得到,其中光学势$V_{\rm nA}$$V_{\rm pA}$对应的中子和质子的入射能一般取作氘核入射能的一半($E_{\rm d}/2$-rule)。Timofeyuk等[67]的研究表明,如果考虑了质子和中子光学势的非定域性,$E_{\rm d}/2$-rule将需要被修正,详见文献[67]。值得指出的是,式(43)中的氘核的有效光学势$ \bar{V} $和式(28)中的$U_{\rm dA}$不同,前者只适用于氘核削裂反应的计算,理论上不能描述氘核的弹性散射,而后者是氘核的光学势,通常要求它可以准确地描述氘核与A核的弹性散射。Johnson-Soper提出的ADWA是零程的($ r\sim 0 $),并且只包含了氘核的s-波的贡献。有限程版本的ADWA见文献[85]。

      文献[87]发现,当氘核能量在20~30 MeV/nucleon以下时,有限程效应对ADWA计算的影响较小($ < 10\% $),但随着入射能的增加,有限程效应会越来越重要。不过,对于(d, p) 和(p, d)反应的分析,Johnson-Soper势的最简形式($ \bar{V} = V_{\rm nA}+V_{\rm pA} $)迄今为止仍然得到最广泛的应用。在ADWA中,n-p体系的自由度被冻结(假定所有激发态的能量都等于氘核基态的结合能)。因此,ADWA要求束流能量应远高于对氘核削裂反应有贡献的氘核激发态的能量(式(35)中的$ \epsilon_{\max} $)。文献[88-91]的计算表明,ADWA在$ E_{\rm d}\leqslant 20 $ MeV时对氘核削裂反应的n-p破裂贡献的描述不好(详见综述[76])。因此,人们期待ADWA在束流能量$ E_{\rm d}\gg $$ 20 $ MeV时才足够精确。系统学研究[92-94]表明,ADWA在束流能量较高的(d, p)/(p, d)反应研究中优于DWBA。ADWA理论的数值计算和DWBA理论一样简单,同时又通过引入氘核与靶核的有效相互作用势在一定程度上包含了氘核破裂道的影响,因此它至今仍然被广泛地应用于(d, p)/(p, d)反应的理论分析中。

    • 氘核削裂反应(A(d, p)B)是一个典型的三体反应。其中p, n, A三个集团共有三套雅可比坐标(见图4)。前面介绍的反应模型中的三体波函数只是一个雅可比坐标下的三体薛定谔方程的解。例如,式(12)中的$ \varPsi_\alpha^{(+)} $只对应图4-(1)这一个雅可比坐标,因此,这个波函数在渐近区域只包含氘核的弹性散射和破裂反应道的成分。而完整的三体波函数应该包含所有的这三个雅可比坐标的成分:

      图  4  $\{\rm p,\; n, \;A\}$三体系统的三组雅可比坐标

      $$ \varPsi = \sum\limits_{n = 1}^3 \varPsi^{(n)}({\boldsymbol{r}}_n,{\boldsymbol{R}}_n) , $$ (45)

      基于法捷耶夫方程组(Faddeev equations)的少体核反应理论允许我们在三体反应理论分析中同时包含这三个雅可比坐标的成分[95-98]

      法捷耶夫方程组由三个方程组成,它们与波函数的三个组分通过以下方式耦合(对于图4中的三体体系):

      $$ \begin{split} (E-T_1-V_{\rm pn})\varPsi^{(1)} =& V_{\rm pn}(\varPsi^{(2)}+\varPsi^{(3)}) , \\ (E-T_2-V_{\rm pA})\varPsi^{(2)} =& V_{\rm pA}(\varPsi^{(3)}+\varPsi^{(1)}) , \\ (E-T_3-V_{\rm nA})\varPsi^{(3)} =& V_{\rm nA}(\varPsi^{(1)}+\varPsi^{(2)}){\text{。}} \end{split} $$ (46)

      其中$ T_1 $$ T_2 $$ T_3 $分别为三个雅可比坐标下的动能算符。可以看出,法捷耶夫方程能够在同一框架下对d(p+n)-A三体体系的所有反应道进行完备的描述.这些反应道包括氘核的弹性散射、破裂反应、(d, p)反应,以及(d, n)反应。

      2007年,Alt等[95]采用可分离化的光学势以及n-p相互作用,首次实现对d-12C体系的三体反应理论计算。目前,法捷耶夫方程在重核的氘核削裂反应中的应用面临的主要问题是对库仑相互作用的处理。通常的法捷耶夫方程组是在动量空间求解的,但包含长程库仑力的方程在动量空间无法直接求解。目前对库仑力的处理采用的是屏蔽势的方法[95, 97-98]。这种方法对于$ Z\lesssim 20 $的靶核大致是适用的,但是在更重的靶核上难以给出收敛的结果[99]。2012年,Mukhamedzhanov[96]提出了一个推广的法捷耶夫方程方法,采用库仑波函数基求解法捷耶夫方程,从而克服带库仑势的求解问题。但是这个理论尚没有成功的数值实现。

    • 虽然经过半个多世纪的发展,氘核削裂反应理论有了很大的进展,在很大程度上可以满足核物理实验研究的需要,但是仍存在很多问题值得进一步研究。进一步研究的动机大致来源于两个方面:(1) 新实验装置带来的新机遇,如更高能量的束流,以及更弱束缚的放射性束流,对氘核削裂反应的理论分析带来的新挑战;(2) 核反应理论发展的内生驱动力:人们总是希望得到越来越完善的理论。原子核作为一类有限多体量子系统,具有独特的复杂性。核物理学家一方面总是乐于寻找聪明而有效的近似,把复杂的问题简单化;但是在另一方面,他们也总是希望抛弃这些近似,追求更加完善而自洽的理论。

    • 在对原子核单粒子结构的研究中,(d, p)/(p, d)反应通常在几十MeV/nucleon能区。我国将要建成的强流重离子加速器装置(HIAF)提供的放射性束的能量最高可以达到GeV/nucleon能区,从而为我们提供更多新的研究机遇。为此,我们需要建立适用于中高能区的单核子转移反应理论计算工具。一些在低能区通常可以被忽略的因素,如氘核基态的质子-中子相互作用势的力程、氘核D态的贡献以及相对论效应等,在中高能区的理论计算中都变成必须要严格处理的问题。为此,需要建立一套适用于中高能区的(d, p)/(p, d)反应的理论分析工具。它必须至少具备如下功能:(1) 提供适用于几十MeV/nucleon到1 GeV/nucleon能区的核子-核及核-核光学势;(2) 包含相对论修正。

      目前常见的系统学光学势的能量适用范围基本都在200 MeV /nucleon以下。近年来,我们采用Franey-Love有效核子-核子相互作用[100](能量范围为$50\sim $1 000 MeV/nucleon),对靶核密度积分,建立了一套折叠模型核子-核光学势,这里原子核的核子密度分布由Skryme Hartree-Fock理论得到。图5显示的是用这套核子-核光学势计算得到的质子在12C、16O、56Ni和208Pb靶上的弹性散射截面与实验数据的比较,质子的入射能在50 MeV~1 GeV区间。可见,这套光学势可以令人满意地描述实验数据。在零程绝热近似下,氘核-核光学势可由质子-核光学势与中子-核光学势合成。因此,我们可以将该核子-核势应用于中高能区氘核单核子转移反应的理论计算,得到入射道与出射道所需的光学势。

      图  5  (在线彩图)不同入射能量下,质子与12C、16O、56Ni和208Pb的弹性散射微分截面角分布

      此外,我们完整推导了单核子转移反应的精确有限程DWBA理论公式,独立编写了相应的计算机程序,并对其反应运动学引入相对论修正[101]。结合前述基于Franey-Love核子-核子相互作用的系统学核子光学势,我们用该程序对中高能单中子拾取反应 16O(p, d)15O进行了初步计算。选择此反应的原因是,实验上人们观察到,16O(p, d)15O反应中剩余核的正宇称态($ \frac{5}{2}^{+} $)截面与基态($ \frac{1}{2}^{-} $)截面的比值随着入射能增加而显著升高[14],这种现象通常认为与张量力效应有关。在传统壳模型框架中,16O中的8个质子和8个中子依次排满$ 1s $$ 1p $轨道,因此从16O基态很容易直接拾取处于$ 1p_{3/2} $$ 1p_{1/2} $轨道的中子,得到15O的两个负宇称态。而要想通过一步过程得到正宇称态($ \frac{5}{2}^{+} $),则要求16O基态中的中子波函数具有$ 1d_{5/2} $轨道的成分。张量力作用可使得16O基态为$ 1p_{3/2} $$ 1p_{1/2} $$ 1d_{5/2} $的混合组态。张量力的效应主要体现在2 fm–1附近的单粒子波函数的高动量成分。为了尽量减少反应机制的复杂性,利用(p, d)反应对原子核单粒子波函数的高动量成分的实验研究应该在尽可能小的角度进行测量,这就要求入射粒子的能量要在几百个MeV/nucleon的范围。在假定(p, d)反应过程中中子主要经历一步转移过程的条件下,对中高能区16O(p, d)15O反应的正宇称态截面的描述,对于研究16O基态中是否存在来自于张量力导致的两粒子-两空穴组态的$ 1d_{5/2} $成分有很重要的意义。

      图6~8分别展示了不同质子入射能量下,剩余核15O基态($ \frac{1}{2}^{-} $,0 MeV)、正宇称激发态($ \frac{5}{2}^{+} $, 5.241 MeV) 和负宇称激发态($ \frac{3}{2}^{-} $, 6.178 MeV)微分截面角分布的理论计算与实验测量结果,并对考虑和不考虑相对论运动学修正的结果进行了比较。我们的计算结果与392 MeV能量下的实验数据符合较好,但是对800 MeV能量下的实验数据的描述仍需改善。在计算中同时考虑了氘核波函数的$ S $态和D态,这两种成分对截面的贡献如图9所示。可以观察到,随着入射能量的升高,相对论运动学修正的效应和氘核D态的贡献逐渐明显,并且有效地改善了理论计算对微分截面角分布的描述能力。需要指出的是,我们对中高能区单中子转移反应理论的工作尚未最终完成。此处展示的只是初步研究成果。除了数值计算准确度尚待进一步确证以外,还有一些进一步的理论方面的改进需要研究。例如,我们目前只对反应运动学进行了相对论修正,在更高的能量下,或许需要同时对反应动力学(相互作用势)进行相对论修正。

      图  6  (在线彩图) 入射能量分别为45.34 MeV(a)、392 MeV(b)和800 MeV(c)时,16O(p, d)15O的基态($\frac{1}{2}^{-}$,0 MeV)截面的理论计算与实验数据的比较

      图  7  (在线彩图) 入射能量分别为45.34 MeV(a)、392 MeV(b)和800 MeV(c)时,16O(${\rm p, d}$)15O的正宇称激发态($\frac{5}{2}^{+}$,5.241 MeV)截面的理论计算与实验数据的比较(图标同图6)

      图  8  (在线彩图) 入射能量分别为45.34 MeV(a)、392 MeV(b)和800 MeV(c)时,16O(${\rm p, d}$)15O的正宇称激发态($\frac{3}{2}^{-}$,6.178 MeV)截面的理论计算与实验数据的比较(图标同图6)

      图  9  (在线彩图) 入射能量分别为45.34 MeV(a)、392 MeV(b)和800 MeV(c)时,16O(${\rm p, d}$)15O的基态($\frac{1}{2}^{-}$,0 MeV)截面

    • 在弱束缚核引起的氘核削裂反应中剩余核常常处于共振态,共振的能量与宽度都是核天体物理中非常感兴趣的课题,因为在天体物理环境中发生的许多反应都是通过共振进行的。然而,相应的转移到剩余核的连续态/共振态的理论工作是目前比较缺乏的。除了1970年Vincent和Fortune[102]的工作外,转移到连续态的理论本身鲜有进展。近年来人们通过连续态离散化波函数(continuum bins)方式去做计算转移到共振态的截面,得到了一些合理的结果[79]。但是这样计算的结果受构造离散化波函数时所包含的连续态的能量范围[见式(33)]的影响,因此虽然可以用来描述转移反应微分截面角分布的形状,但是对于微分截面的大小的预言存在较大的不确定性。近年来,Kadyrov等[103]、Mukhamedzhanov等[104]、Escher等[105]提出了表面积分方法,该方法涵盖了到束缚态和共振态的转移,适用于氘核破裂。该方法理论上避免了传统计算方法的收敛性问题。文献[79]提出了基于CDCC的表面积分方法的另一种公式。但是目前,这两种公式都只做了一些初步的检验[79],相应的数值计算程序还没有完全实现。

    • 目前氘核削裂反应理论计算通常采用两种类型的核子-核相互作用:(1) 核子- 核的光学势,用于计算扭曲波;(2) 核子- 核的束缚势,用于给出核子在原子核束缚态的单粒子波函数。前者是复的,通常通过拟合弹性散射实验数据确定;而后者是实的,通常在固定势的半径和弥散参数的条件下通过调节势深度使其给出符合原子核的单粒子分离能。这里面存在着明显的不自洽性。色散光学势可以同时描述核子的弹性散射和原子核的单粒子能级等结构信息[106-110],因此,色散光学势在氘核削裂反应中的应用及其对从实验数据获得的原子核单粒子结构的影响的系统学研究是一个有意思的问题。Nguyen等[111]的研究表明,使用色散光学势的理论计算对(d, p)反应截面角分布的描述优于系统学光学势。并且,与标准分析方法相比,用色散光学势方法提供的谱因子对入射能量的依赖较小,并且大小更符合由(e, e′p)反应提取的结果。

      原子核的光学势本质上是非定域的,光学势的非定域性来源于各种反应道与弹性散射道的耦合。但是由于采用非定域势的数值计算比较复杂,长期以来人们在核反应理论分析中大多采用定域势,非定域光学势及其在核反应中的应用研究得比较少。截止到2014年,仅见三项关于非定域核子光学势的系统学研究文章,且都在1980年之前[112-114]。目前广泛使用的几种反应程序中,或是没有考虑非定域性的影响,或是仅对采用定域势的计算结果引入非定域性的修正[115]。这一问题在近些年来才有所改变。如今,物理学家们对非定域势越来越感兴趣,发展了一些新的系统学非定域核子光学势[116-118]。近年来,色散光学模型势也已扩展到明确包含非定域性。Ross等[119]使用非定域色散光学模型势研究了(p, d)反应,探究了非定域性对预测截面的影响。

      2015年,田源等[117, 120]发表了质子和中子的系统学非定域光学势并且研究了光学势的非定域性对质子辐射俘获反应的影响。文献[67-71]分析了核子的非定域光学势在氘核削裂反应中的影响。文献[68]的研究表明,采用定域势或者非定域势,对于由(p, d)反应提取的谱因子会产生大约20%的影响。此差别在对采用定域势的理论计算中引入非定域修正的情况下会缩小至大约10%,但是,如果需要理论计算的精度小于10%的话,则应寻求非定域方程的精确解。

      一些研究表明,核子光学势的能量依赖性来源于光学势的非定域性[121],因此,考虑了非定域性的光学势将与入射能无关[112, 117]。但是,文献[118, 122]认为,即使考虑非定域性,仍然需要考虑核子光学势的能量依赖性才能比较好地描述实验数据。因此,核子光学势的非定域性及其能量依赖性仍然是个有意思的问题。

      基于法捷耶夫方程的三体核反应理论是目前已知的最完善的氘核削裂反应理论。它不仅可以在同样的基础上同时描述氘核与原子核反应的所有反应道,而且可以很自然地处理光学势的非定域势等问题。但是,这个理论的复杂度也是目前为止最高的。近年来国际上已经有了不少进展[95, 97-98],但是仍然有不少问题值得研究[96]

    • 作为直接核反应的一种,转移反应在核物理的研究中占据重要的地位,在核天体物理的研究中也获得广泛的应用。人们对于转移反应的实验测量和理论研究已有80多年的历史。在此期间,实验工具和理论模型的不断进步为提取原子核的单粒子结构信息提供了强有力的工具。本文回顾了典型的单核子转移反应–氘核削裂反应–的研究历史和相关的理论演进过程,简要介绍了当前理论研究的若干热点问题,并对未来的发展做了展望。在人们向原子核未知领域进军过程中,作为研究原子核单粒子结构的基本工具,以氘核削裂反应为代表的单核子转移反应必然将持续不断地发挥作用,而转移反应的理论也将向精确度更高、适用范围更广的方向发展。

参考文献 (122)

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