-
Markov模型有离散时间模型和连续时间模型这两种基本类型[12]。一个Markov模型由状态和状态的转移这两种元素组成,可以用转移概率
${X_{ij}}$ 来定义系统从状态$i$ 转移到状态$j$ 的概率。齐次马尔可夫链的齐次转移概率矩阵$P$ 中所有元素由${X_{ij}}$ 组成,则转移率矩阵$A$ 如式(1)[6]所示:$$ A = P - U, $$ (1) 其中
$U$ 为$P$ 的同阶数的单位矩阵。由此可以得到状态方程为$$ X(t + \Delta t) = X(t) \times A{\text{,}} $$ (2) 式中,
$X(t)$ 代表在$t$ 时刻时各个状态概率的行向量;而$X(t + \Delta t)$ 为过了$\Delta t$ 时刻后各状态的概率的行向量[13]。求解上述方程即可得到设备的故障概率。 -
大部分复杂系统的部件在理想情况下都被认为服从指数分布,假设部件失效率为常数
$\lambda $ 。即部件的可靠度[14]为$$ R(t) = {{{\rm{e}}}^{ - \lambda t}}, $$ (3) 不可靠度为
$$ P(t) = 1 - {{{\rm{e}}}^{ - \lambda t}}{\text{。}} $$ (4) 对整个SGWLCS的动态故障树进行模块化分析,对于动态部分采用Markov模型求解。主处理器和备用处理器的失效率分别为
${\lambda _1}$ 和${\lambda _2}$ ,则可得到含热备用门的动态故障树可以转化为Markov模型如图6所示。图中的圆表示的是系统当前所处的状态,状态与状态之间的有向线段代表着状态的转移方向,有向线段上面的值表示的是状态的转移概率。表 1 系统状态转移表
状态 X(0) X(1) X(2) X(3) X(0) $1 - {\lambda _1} - {\lambda _2}$ ${\lambda _2}$ ${\lambda _1}$ 0 X(1) 0 $1 - {\lambda _1}$ 0 ${\lambda _1}$ X(2) 0 0 $1 - {\lambda _2}$ ${\lambda _2}$ X(3) 0 0 0 1 由表1可以列出如下微分方程组的矩阵形式为
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {X_0'(t)} \\ {X_1'(t)} \\ {X_2'(t)} \\ {X_3'(t)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\lambda _1} - {\lambda _2}}&0&0&0 \\ {{\lambda _2}}&{ - {\lambda _1}}&0&0 \\ {{\lambda _1}}&0&{ - {\lambda _2}}&0 \\ 0&{{\lambda _1}}&{{\lambda _2}}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_0}(t)} \\ {{X_1}(t)} \\ {{X_2}(t)} \\ {{X_3}(t)} \end{array}} \right]{\text{。}} $$ (5) 设系统初始工作条件为
$$ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_0}(0)}&{{X_1}(0)}&{{X_2}(0)}&{{X_3}(0)} \end{array}} \right]^T} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \end{array}} \right]^T}{\text{。}} $$ (6) 由式(5)所示微分方程组与式(6)推导得到处理器模块故障的概率为
$$ {P_{\rm G1}} = 1 + {{{\rm{e}}}^{ - ({\lambda _1} + {\lambda _2})t}} - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _1}t}} - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _2}t}}{\text{。}} $$ (7) 同理采用上述相同的方法,可以计算得出给水阀门控制器模块故障的概率为
$$ {P_{\rm G10}} = 1 + {{{\rm{e}}}^{ - 2{\lambda _{10}}t}} - 2{{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _{10}}t}}{\text{。}} $$ (8) -
电源模块、测量信号输入模块、控制信号输出模块采用的是与门,利用式(9)进行计算:
$$ {P_s}(t) = \prod\limits_{i = 1}^n {{P_i}(t)} {\text{。}} $$ (9) 蒸汽流量测量模块、主给水阀控制模块、给水泵控制模块采用的是或门,利用式(10)进行计算:
$$ {P_s}(t) = 1 - \prod\limits_{i = 1}^n {[1 - {P_i}(t)]} {\text{。}} $$ (10) 给水测量模块与液位测量模块采用的是表决门,利用式(11)进行计算。
$$ {P}_{s}(t)={\displaystyle \sum _{m=r}^{n}{C}_{n}^{m}}{P}_{i}^{m}(t){[1-{P}_{i}(t)]}^{n-m}(n{\text{中取}}r) {\text{。}} $$ (11) 具体计算结果如下:
电源模块故障概率为
$$ {P_{\rm G2}} = {P_{\rm X3}} \times {P_{\rm X4}} = (1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _3}t}})(1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _4}t}}){\text{;}} $$ (12) 给水流量测量模块故障概率为
$$ {P_{\rm G7}} = 3{(1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _5}t}})^2} - 2{(1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _5}t}})^3}{\text{;}} $$ (13) 蒸汽流量测量模块故障概率为
$$ {P_{\rm G8}} = 1 - (1 - {P_{\rm X8}})(1 - {P_{\rm X9}}) = 1 - {{{\rm{e}}}^{ - 2{\lambda _6}t}}{\text{;}} $$ (14) 液位测量模块故障概率为
$$ {P_{\rm G9}} = 6{(1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _7}t}})^2} - 8{(1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _7}t}})^3} + 3{(1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _7}t}})^4}{\text{;}}$$ (15) 测量信号输入模块故障概率为
$$ {P_{\rm G3}} = {P_{\rm G7}} \times {P_{\rm G8}} \times {P_{\rm G9}}{\text{;}} $$ (16) 控制信号输出模块故障概率为
$$ {P_{\rm G4}} = {P_{\rm X14}} \times {P_{\rm X15}} = {(1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _8}t}})^2}{\text{。}} $$ (17) 根据式(8)中求出的主给水阀控制器故障的概率,求出主给水阀控制模块G5的故障概率为
$$ {P_{\rm G5}} = 1 - {{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _9}t}} \times (2{{{\rm{e}}}^{ - {\lambda _{10}}t}} - {{{\rm{e}}}^{ - 2{\lambda _{10}}t}}){\text{;}} $$ (18) 给水泵控制模块故障概率为
$$ {P_{\rm G6}} = 1 - (1 - {P_{\rm X19}})(1 - {P_{\rm X20}}) = 1 - {{{\rm{e}}}^{ - t({\lambda _{11}} + {\lambda _{12}})}}{\text{;}} $$ (19) 最后求出整个SGWLCS的可靠度为
$$\begin{split} {P_T} =& 1 - (1 - {P_{\rm G1}})(1 - {P_{\rm G2}})(1 - {P_{\rm G3}})\times\\&(1 - {P_{\rm G4}})(1 - {P_{\rm G5}})(1 - {P_{\rm G6}}){\text{。}}\end{split} $$ (20) 本文中相关组件失效概率如表2所列。
表 2 基本事件失效概率
设备 失效率/h–1 主处理器故障 ${\lambda _1}{{\rm{ = 3}}}{{\rm{.65}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 5}}$[15] 备用处理器故障 ${\lambda _2}{{\rm{ = 3}}}{{\rm{.65}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 5}}$[15] 主电源故障 ${\lambda _3}{{\rm{ = 4}}}{{\rm{.8}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[3] 备用电源故障 ${\lambda _4}{{\rm{ = 4}}}{{\rm{.8}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[3] 给水流量变送器故障 ${\lambda _5}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.5}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 蒸汽流量变送器故障 ${\lambda _6}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.87}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 液位变送器故障 ${\lambda _7}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.0}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] AO卡件故障 ${\lambda _8}{{\rm{ = 6}}}{{\rm{.11}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 7}}$[6] 主给水阀故障 ${\lambda _9}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.2}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 给水阀主/备用控制器 ${\lambda _{10}}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.0}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 给水泵故障 ${\lambda _{11}}{{\rm{ = 3}}}{{\rm{.13}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 给水泵控制器故障 ${\lambda _{12}}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.0}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] -
针对蒸汽发生器液位控制系统中关键设备:主处理器、主给水阀控制器进行热备用冗余,当主处理器与主控制器发生故障失效时,可以切换到热备用继续维持系统正常工作,提高系统的可靠性。从定量分析的角度出发,查阅相关文献与资料获得上表2中相关设备出厂的资料。
将上述数据代入式(20)进行计算,即可得到考虑了热备用的动态故障树与传统静态故障树对系统可靠性分析的优劣。从图7可以看出,采用了热备用的动态故障树模型的可靠度更加高。
-
部件的重要度分析是可靠性分析重要的一个环节,重要度表征了基本事件发生时对于整个系统的影响,不同重要度评价指标分别从失效概率的变化、对于系统风险的影响等不同角度反映了底事件对于系统的重要度。对于系统的维护、改进、优化等方面有着重要意义。本文采用概率重要度与关键重要度进行分析。
(1)概率重要度
概率重要度[16]分析表示第i个基本事件发生的概率的变化引起系统失效概率变化的程度。具体表达式如下。
$$\begin{split} I_i^{\Pr }(t) =& \partial {P_{\rm T}}(t)/\partial {P_i}(t) =\\& I\big[{1_i},{P_i}(t)\big] - I\big[{0_i},{P_i}(t)\big] (i = 1,2,L ,n){\text{,}} \end{split}$$ (21) 式中:
${P_i}(t)$ 表示基本事件${x_i}$ 的失效概率;${P_{\rm T}}(t)$ 表示系统的失效概率;$I[{1_i},{P_i}(t)]$ 和$I[{0_i},{P_i}(t)]$ 分别表示基本事件i发生概率为1或者0时系统失效概率。各基本事件的概率重要度可以通过上式求出,可以准确地确定降低哪个基本事件的概率能有效地降低系统的失效概率。(2)关键重要度
基本事件失效概率的变化率与引起系统发生失效的概率之比为关键重要度[17]。与上述概率重要度有所区别的是,关键重要度体现了改变基本事件失效概率对系统故障概率改变的影响程度大小。具体表达式如下:
$$ I_i^{\rm Cr}(t) = \frac{{{P_i}(t)}}{{{P_{\rm T}}(t)}}\frac{{\partial {P_{\rm T}}(t)}}{{\partial {P_i}(t)}} = \frac{{{P_i}(t)}}{{{P_{\rm T}}(t)}}I_i^{\rm Pr}(t){\text{,}} $$ (22) 式中
${P_i}(t) * I_i^{\Pr }(t)$ 为基本事件影响系统失效的概率。其数值的大小代表该基本事件对于整个系统的重要程度的大小。(3)结果分析
图8、图9为基本事件的概率重要度和关键重要度随着时间变化的曲线。由图8~9可知,在概率重要度方面,给水泵控制器、给水阀、给水阀的重要度数值较高。在关键重要度方面,重要度数值排序与概率重要度有所不同,主处理器、给水泵、给水阀、给水泵控制器的数值较高。
因此,如果需要进一步提高系统的可靠性,则需要从多角度分析系统的可靠度。从设备定期维修的角度,应该优先考虑主处理器、给水泵。从整个系统的优化设计方面,应该优先考虑水泵控制器、给水泵、给水阀。
Research on Reliability of Nuclear Power Plant Steam Generator Liquid Level Control System Based on Dynamic Fault Tree
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摘要: 蒸汽发生器作为压水堆核电站一、二回路之间重要的连接设备,蒸汽发生器液位控制系统(Steam Generator Water Level Control System, SGWLCS)的可靠性直接影响核电站的安全性与发电效率。基于蒸汽发生器液位控制系统的系统构成与控制逻辑,本工作采用动态故障树对SGWLCS进行可靠性建模,故障树模型中包含动态部分与静态部分,利用齐次马尔可夫链对处理器控制模块与给水阀门控制模块的热备用动态门进行计算,再根据逻辑关系分析整体故障树模型。最后,得到系统的可靠度和设备的重要度分析结果。可靠性分析表明采用热备用可以有效提高系统可靠性,通过重要度分析结果可以改进系统的设计与给出设备的定期维修建议。
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关键词:
- 动态故障树 /
- 数字化仪控系统 /
- 蒸汽发生器 /
- 可靠性 /
- 马尔可夫(Markov)模型
Abstract: The Steam Generator(SG) is an important connecting equipment between the primary and secondary loop of PWR nuclear power plant. The reliability of the Steam Generator Water Level Control System(SGWLCS) directly affects the safety and power generation efficiency of nuclear power plant. Based on the system structure and control logic of the steam generator water level control system, this paper adopts the Dynamic Fault Tree(DFT) method to model the reliability of SGWLCS. The fault tree model includes dynamic part and static part. The homogeneous Markov chain is used to calculate the hot standby dynamic gate about the control module of the processor and the feedwater valve, and then the whole fault tree model is analyzed according to the logical relationship. Finally, the reliability analysis results of the system and the importance analysis results of the equipment are obtained. The reliability analysis shows that the use of hot spare parts can effectively improve the reliability of the system, and the results of importance analysis can improve the design of the system and give suggestions for regular maintenance of the equipment.-
Key words:
- dynamic fault tree /
- digital instrument control system /
- steam generator /
- reliability /
- markov model
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表 1 系统状态转移表
状态 X(0) X(1) X(2) X(3) X(0) $1 - {\lambda _1} - {\lambda _2}$ ${\lambda _2}$ ${\lambda _1}$ 0 X(1) 0 $1 - {\lambda _1}$ 0 ${\lambda _1}$ X(2) 0 0 $1 - {\lambda _2}$ ${\lambda _2}$ X(3) 0 0 0 1 表 2 基本事件失效概率
设备 失效率/h–1 主处理器故障 ${\lambda _1}{{\rm{ = 3}}}{{\rm{.65}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 5}}$[15] 备用处理器故障 ${\lambda _2}{{\rm{ = 3}}}{{\rm{.65}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 5}}$[15] 主电源故障 ${\lambda _3}{{\rm{ = 4}}}{{\rm{.8}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[3] 备用电源故障 ${\lambda _4}{{\rm{ = 4}}}{{\rm{.8}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[3] 给水流量变送器故障 ${\lambda _5}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.5}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 蒸汽流量变送器故障 ${\lambda _6}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.87}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 液位变送器故障 ${\lambda _7}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.0}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] AO卡件故障 ${\lambda _8}{{\rm{ = 6}}}{{\rm{.11}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 7}}$[6] 主给水阀故障 ${\lambda _9}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.2}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 给水阀主/备用控制器 ${\lambda _{10}}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.0}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 给水泵故障 ${\lambda _{11}}{{\rm{ = 3}}}{{\rm{.13}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] 给水泵控制器故障 ${\lambda _{12}}{{\rm{ = 1}}}{{\rm{.0}}} \times {{\rm{1}}}{{{\rm{0}}}^{ - 6}}$[15] -
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