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复动量表象方法对奇特核中晕现象的研究

戴华名 曹雪能 刘泉 郭建友

戴华名, 曹雪能, 刘泉, 郭建友. 复动量表象方法对奇特核中晕现象的研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
引用本文: 戴华名, 曹雪能, 刘泉, 郭建友. 复动量表象方法对奇特核中晕现象的研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
Huaming Dai, Xueneng Cao, Quan Liu, Jianyou Guo. Study on Halo Phenomenon in Exotic Nuclei by Complex Momentum Representation Method[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
Citation: Huaming Dai, Xueneng Cao, Quan Liu, Jianyou Guo. Study on Halo Phenomenon in Exotic Nuclei by Complex Momentum Representation Method[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07

复动量表象方法对奇特核中晕现象的研究

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11935001);安徽省自然科学基金资助项目(2008085MA26);安徽省高等学校自然科学研究项目(KJ2018A0028)
详细信息
    作者简介:

    戴华名(1995–),男,安徽芜湖人,硕士研究生,从事原子核物理研究;E-mail:1075092911@qq.com

    通讯作者: 刘泉,E-mail:quanliu@ahu.edu.cn
  • 中图分类号: O571.20+1

Study on Halo Phenomenon in Exotic Nuclei by Complex Momentum Representation Method

Funds: National Natural Science Foundation of China (11935001); Natural Science Foundation of Anhui Province (2008085MA26); Key Research Foundation of Education Ministry of Anhui Province under Grant(KJ2018A0028)
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-11
  • 修回日期:  2020-03-23

复动量表象方法对奇特核中晕现象的研究

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
    基金项目:  国家自然科学基金资助项目(11935001);安徽省自然科学基金资助项目(2008085MA26);安徽省高等学校自然科学研究项目(KJ2018A0028)
    作者简介:

    戴华名(1995–),男,安徽芜湖人,硕士研究生,从事原子核物理研究;E-mail:1075092911@qq.com

    通讯作者: 刘泉,E-mail:quanliu@ahu.edu.cn
  • 中图分类号: O571.20+1

摘要: 晕现象的研究使人们对核结构有了新的认识。连续谱,尤其是连续谱中的共振态在其中扮演着重要角色。复动量表象(CMR)方法不仅能够统一描述束缚态、共振态和连续谱,而且能够很好地描述窄共振和宽共振。本文介绍了CMR方法对原子核共振态的研究。给出了31Ne和19C等核的束缚态和共振态的单粒子能量随形变参数β2的变化规律,分析了19C和31Ne中单中子晕形成的物理机制和在中子数N=20附近能级反转的原因,并预测了比37Mg重的核中的单中子晕现象,这一预测结果对在实验中寻找较重的晕核具有一定的参考价值。这些研究表明CMR 方法不仅适用于描述稳定核,也适用于描述具有弥散物质分布的奇特核。

English Abstract

戴华名, 曹雪能, 刘泉, 郭建友. 复动量表象方法对奇特核中晕现象的研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
引用本文: 戴华名, 曹雪能, 刘泉, 郭建友. 复动量表象方法对奇特核中晕现象的研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
Huaming Dai, Xueneng Cao, Quan Liu, Jianyou Guo. Study on Halo Phenomenon in Exotic Nuclei by Complex Momentum Representation Method[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
Citation: Huaming Dai, Xueneng Cao, Quan Liu, Jianyou Guo. Study on Halo Phenomenon in Exotic Nuclei by Complex Momentum Representation Method[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC07
    • 近年来,随着放射性核束技术的快速发展,远离β稳定线的奇特原子核的结构引起了人们的普遍关注。在这些奇特原子核中,呈现出许多新的现象,如晕(皮)、集团自组织、非线性多中子关联、连续态耦合、能级反转、幻数移动等新物理现象。自从1985年Tanihata等[1]第一次发现11Li中的晕现象以来,奇特核的研究引起了广泛关注,核实验及理论工作者就此做了大量的研究[2-6]。近期,文献[7]利用形变的相对论Hartree-Bogoliubov模型探讨了22C中晕的形成、形变效应、能级反转以及壳层的演化。

      由于奇特核的中子或质子费米面非常接近零势能面,连续阈附近弱束缚和非束缚态的贡献变得十分重要。恰当地处理连续阈附近弱束缚和非束缚态的贡献,尤其是连续谱中共振态的贡献,是一个理论能否成功描述奇特核的关键[8]。因此,物理学家们已经发展了很多研究单粒子共振态的方法,包括散射相移方法[9]、Jost 函数方法[10-11]、格林函数方法[12-13]、耦合常数解析延拓方法[14-16]、实稳定化方法[17-18]以及复标度方法[19-20]。这些理论方法在描述奇特核方面取得了一定成功,但仍存在缺陷。因此,我们建立了复动量 (CMR) 表象方法[21],采用CMR方法,不仅能够统一描述束缚态、共振态和连续谱,而且能够很好地描述窄共振和宽共振[22]。最近,我们进一步发展了复动量表象(CMR)方法,获得了其它方法难以获得的连续阈附近低轨道角动量宽共振的信息。并且在非相对论框架下采用CMR方法计算得到单粒子能量、单粒子态的主要组分占比随四极形变系数β2变化的关系以及径向密度分布等,解释了实验上已经发现的31Ne[23]19C[24]中的晕现象,还预测了几个比37Mg[25]更重的核(77Fe、75Cr和53Ar)中也存在不同的晕结构。

    • 为了研究晕核的单粒子共振态,我们首先将哈密顿量表示为

      $$H = T + V,$$ (1)

      这里动量算符$T = {{{{{p}}^2}} / {2m}}$,其中,${{p}} = \hbar {{k}}$(${{k}}$是波矢),根据文献[26],相互作用势V由中心势、形变势以及自旋轨道耦合势三部分组成:

      $$\begin{split} &{V_{{\rm{cent}}}}(r) = {V_0}f(r), \\ & {V_{{\rm{def}}}}(r) = - {\beta _2}k(r){Y_{20}}(\vartheta ,\varphi ), \\ & {V_{sl}}(r) = - 4{V_0}{\Lambda ^2}\frac{1}{r}\frac{{{\rm{d}}f(r)}}{{{\rm{d}}r}}(s \cdot l), \\ \end{split} $$ (2)

      上式中$\Lambda $是核子的约化康普顿波长${\hbar / {{m_r}}}c$,

      $${\text{且}}\qquad\qquad\qquad\begin{array}{l} f(r) = \dfrac{1}{{1 + {{\rm e}^{\frac{{r - R}}{a}}}}}, \\ k(r) = {V_0}r\dfrac{{{\rm{d}}f(r)}}{{{\rm{d}}r}}{\text{。}} \\ \end{array} \qquad\qquad\qquad\qquad$$

      和文献[27]类似,参数$a\!=\!0.67\;{\rm{fm}}$$R\!=\!{r_0}{A^{{1 / 3}}}$${r_0}\!=\! $$1.27\;{\rm{fm}}$

      为了获得共振态,我们将薛定谔方程转到动量空间,可以同时得到束缚态、共振态和连续谱:

      $$\int {\rm{d}} {{k}}'\left\langle {{{k}}\left| H \right|{{k}}'} \right\rangle \psi ({{k}}') = E\psi ({{k}}),$$ (3)

      对于轴对称形变核,宇称$\pi $以及总角动量的第三个分量是个好量子数,动量波函数$\psi ({{k}})$用径向和角向部分来表达,故

      $$\psi ({{k}}) = {\psi _{{m_j}}}({{k}}) = \sum\limits_{lj} {{f^{lj}}(k)} {\phi _{lj{m_j}}}({\Omega _k}),$$ (4)

      这里${f^{lj}}(k)$是波函数的径向分量。波函数的角向部分表示为

      $${\phi _{lj{m_j}}}({\Omega _k}) = \sum\limits_{{m_s}} {\left\langle {\left. {lm\frac{1}{2}{m_s}} \right|} \right.} \left. {j{m_j}} \right\rangle {Y_{lm}}({\Omega _k}){\chi _{{m_s}}},$$ (5)

      将上述的波函数代入薛定谔方程,我们可以得到:

      $$\begin{split} & \frac{{{\hbar ^2}k_a^2}}{{2M}}{f^{lj}}({k_a}) + \sum\limits_b {{w_b}} k_b^2{V_s}(l,j,{k_a},{k_b}){f^{lj}}({k_b}) - \\ & {\beta _2}\sum\limits_{l'j'} {\sum\limits_b {{w_b}} k_b^2{V_d}(l,j,l',j',{k_a},{k_b}){f^{l'j'}}({k_b})} = E{f^{lj}}({k_a}), \\ \end{split} $$ (6)

      式(6)中的矩阵是不对称的,为了简便计算,我们变为对称矩阵

      $$\begin{split} &\frac{{{\hbar ^2}k_a^2}}{{2M}}{F^{lj}}({k_a}) + \sum\limits_b {\sqrt {{w_a}{w_b}} {k_a}{k_b}} {V_s}(l,j,{k_a},{k_b}){F^{lj}}({k_b}) - \\ &{\beta _2}\sum\limits_b {\sum\limits_{l'j'} {\sqrt {{w_a}{w_b}} {k_a}{k_b}} } {V_d}(l,j,l',j',{m_j},{k_a},{k_b}){F^{l'j'}}({k_b}) =\\ &E{F^{lj}}({k_a}) {\text{。}} \\[-12pt] \end{split} $$ (7)

      至此,通过求解对称矩阵的本征解就可以解出薛定谔方程,获得束缚态和共振态的能量,为了获得坐标空间波函数,做如下变换:

      $$\psi (r) = {\psi _{{m_j}}}(r) = \frac{1}{{{{(2\pi )}^{3/2}}}}\displaystyle\int {{\rm{d}}{{k}}{{\rm e}^{{\rm{i}}{{k}} \cdot {{r}}}}} {\psi _{{m_j}}}({{k}}){\text{。}}$$ (8)

      假设${\psi _{{m_j}}}({{k}})$具有如下形式

      $${\psi _{{m_j}}}(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {r} ) = \sum\limits_{lj} {{f^{lj}}} (r){\phi _{lj{m_j}}}({\Omega _r}),$$ (9)

      则得到波函数的径向部分

      $${f^{lj}}(r) = {i^l}\sqrt {\frac{2}{p}} \sum\limits_{a = 1}^N {\sqrt {{w_a}} } {k_a}{j_l}({k_a}r){F^{lj}}({k_a}),$$ (10)

      和径向密度分布

      $$ {\rho _{{m_j}}}(r) = \sum\limits_{lj} {{f^{lj*}}} (r){f^{lj}}(r)\text{。} $$ (11)
    • 基于上面的理论公式,我们对31Ne进行了计算[23]。值得指出的是,2012年文献[28]采用复标度方法对31Ne进行过研究,2014年文献[29]在相对论平均场框架下采用耦合常数的解析延拓方法亦对31Ne中的晕现象进行了深入的研究。在图1中我们展示了采用CMR方法计算得到的31Ne单粒子能量随四极形变参数β2的变化情况,在该Nilsson能级图中共振态和束缚态分别用虚线和实线标记,β2=0代表球形核。

      图  1  (在线彩图)计算得到的随四极形变系数β2变化的单粒子能量,本图取自文献[23]

      我们可以看到所有的束缚态和文献[27]完全相同。对于共振态,在散射相移计算[27]中只得到1f7/2能级,在复标度计算[28]中得到了1f7/2, 1f5/2和1g9/2等共振能级,却仍未得到能级2p3/2, 2p1/2和2d5/2。在CMR模型的计算结果下,我们可以看到,当β2=0时,共振能级2p3/2,2p1/2和2d5/2的顺序排列与我们所熟知的壳模型结构顺序不同,即产生了p-f反转。核的能级次序与晕态的形成有关,晕态的形成使弱束缚态核子的低轨道角动量降低,形成能级反转。遗憾的是,1/2[301]和5/2[402]轨道由于计算数值的不收敛导致轨道反常增高。由于能级发生了反转,使得31Ne的最后一个中子占据在p轨道上,满足了晕形成的必要条件之一。当β2不等于0的时候,可以看到31Ne的第21个中子在不同的形变范围下分别占据不同的能级。考虑到单中子分离能的实验值,我们发现,31Ne的第21个中子在0.20$\leqslant $β2$\leqslant $0.29和0.40$\leqslant $β2$\leqslant $0.59时分别占据在3/2[321]以及1/2[310]能级。

      为了进一步确定31Ne是否为晕核,我们画出了单粒子态1/2[310]和3/2[321]的主要组分占比与形变参数的关系。由图2可知,1/2[310]能级的波函数主要是由p3/2轨道贡献的,其占据几率高达64%。在图3中可以明显地观察到能级3/2[321]主要是由f7/2p3/2轨道构成,p3/2轨道贡献依然很大。晕结构是由于具有较低分离能的价核子占据在l=0或l=1的轨道形成的,所以当价核子占据在能级1/2[310]和3/2[321]可能会形成晕。

      图  2  (在线彩图)单粒子态1/2[310]的主要组分的占比与形变参数的变化关系,本图取自文献[23]

      图  3  (在线彩图)单粒子态3/2[321]的主要组分的占比与形变参数的变化关系,本图取自文献[23]

      图4中我们还展示了坐标空间内不同积分路径下单粒子态1/2[310]的径向密度分布随半径的变化曲线。路径1代表k=0.0 fm–1k=0.5-i0.2 fm–1k=1.0 fm–1k=3.0 fm–1四点构成的三角形路径。路径2代表k=0.0 fm–1k=0.2-i0.6 fm–1k=1.0 fm–1k=3.0 fm–1四点构成的三角形路径。路径3代表k=0.0 fm–1k=0.5-i0.6 fm–1k=1.0 fm–1k=3.0 fm–1四点构成的三角形路径。路径4代表k=0.0 fm–1k=0.8-i0.6 fm–1k=1.0 fm–1k=3.0 fm–1四点构成的三角形路径。我们观察到,径向密度分布并不依赖于计算过程中的积分路径。考虑到31Ne的第21个中子在0.40$\leqslant $β2$\leqslant $0.59时占据1/2[310]能级,因此,单粒子态1/2[310]的形变参数β2定为0.25。我们发现此时的1/2[310]的径向密度分布较为弥散,这说明当最后一个粒子占据1/2[310]时,晕现象的出现是合理的。而单粒子态3/2[321]的径向密度也有类似的性质,详情可参看文献[23]。综上所得,31Ne可能是0.20$\leqslant $β2$\leqslant $0.29或0.40$\leqslant $β2$\leqslant $0.59的形变p波晕核。

      图  4  (在线彩图)单粒态1/2 [110]和1/2 [310]的径向密度随$r$的变化曲线,本图取自文献[23]

      采用上述分析方法,我们也研究了丰中子核19C,得到束缚态及共振态的能量随形变参数的变化关系、单粒子态主要组分的占比、密度分布及单中子分离能,结果表明19C的最后一个中子最有可能占据在0.20$\leqslant $β2$\leqslant $0.40时的1/2 [211]能级。另外我们还在图5中展示了19C 中1/2 [211], 5/2[202], 1/2[220]能级的均方根半径随形变参数β2的变化情况。从图5我们发现1/2 [211]的方均根半径随着形变参数β2的变大略有降低,但在0.20$\leqslant $β2$\leqslant $0.40形变范围内,其值均超过6.49 fm,远大于相邻能级方均根半径。综合考虑,19C最有可能是个β2介于0.2与0.4之间的长椭形变s波晕核,这与实验结果以及其它理论方法计算的结果相吻合。详细分析过程参考文献[24]。

      图  5  (在线彩图)19C中1/2 [211], 5/2[202], 1/2[220]能级的均方根半径随形变参数β2的变化

    • 目前,37Mg是实验上发现的最重的晕核,预测比37Mg更重的晕核得到了很多核理论工作者的关注。文献[30] 将坐标空间的对关联引入到相对论Hartree-Bogoliubov (RHB)计算,在计算中考虑连续谱的贡献,预言在Zr同位素中子滴线附近存在巨晕现象。文献[31]利用Woods-Saxon基发展了考虑连续谱贡献的形变RHB模型,很好地描述了形变晕等奇特现象,并预言了晕与核芯的形状退耦现象[31-32]。和稳定核相比,我们知道晕核具有一些特点,如:较大的物质均方根半径,较弥散的密度分布,离心势垒较低,价核子具有较小的分离能,反应总截面较大等。结合单中子分离能的实验结果进行分析,可以在核素图上寻找单中子分离能较小的丰中子核。然后通过详尽分析寻找可能存在的中子晕核。通过初步分析,我们发现77Fe、75Cr和53Ar这三个原子核具备晕核的一些特征。

      为了确定77Fe到底是不是晕核?我们经过计算得到了77Fe的Nillison能级图、单粒子态主要组分的占比和能级密度分布。从实验数据推测,77Fe的单中子分离能较小。另外根据图6,最后一个(第51个)中子占据在N=50(幻数)的壳的上方。这些让我们判定77Fe是个较好的候选晕核。而通过详尽分析,我们发现当-0.06$\leqslant $β2$\leqslant $0.13时,最后一个中子占据1/2[400],单中子分离能小于1.0 MeV,满足晕形成的条件。另外从图7中可以看见,与相邻束缚态9/2[404]和7/2 [413]比较,1/2[400]的径向密度更为弥散。这表明当价核子占据弱束缚能级1/2[400]时,晕的形成是很有可能的。而在其它形变区间,由于各种各样的原因,譬如说:分离能过大,单粒子能级主要组分轨道角动量较大,单粒子态的密度分布收敛较快等,不能满足晕的形成条件。

      图  6  (在线彩图)计算得到77Fe的单粒子能量随四极形变参数β2变化的曲线

      图  7  (在线彩图)单粒态1/2 [440], 9/2[404]和7/2 [413]的径向密度随$r$的变化曲线

      75Cr和77Fe相比只是少了两个质子,它们之间的能级结构很相似。75Cr的最后一个中子在–0.12$\leqslant $β2$\leqslant $0.12范围内是占据在能级1/2[400]上的。我们分析75Cr可能是一个s波晕核。对于53Ar而言,在0$\leqslant $β2$\leqslant $0.13时,最后一个中子占据1/2[321],单中子分离能小于1.0 MeV,满足晕形成的条件。而在其它形变区间,因为种种原因,不能满足晕的形成条件。更为细节的分析过程,可以参考文献[25]。

    • 本文概述了采用复动量表象方法(CMR)方法对共振态的研究。给出了详细理论公式,计算获得了31Ne、19C以及比37Mg更重的核(77Fe、75Cr和53Ar)的单粒子能级图,以及单粒子态主要组分的占比随形变参数β2变化的曲线以及径向密度分布。揭示了31Ne和19C晕形成的物理机制,预测了比37Mg更重的核(77Fe、75Cr和53Ar)可能形成的晕结构。31Ne最后一个中子在0.20$\leqslant $β2$\leqslant $0.29或0.40$\leqslant $β2$\leqslant $0.59区间内是占据在1/2[310]能级或3/2 [321]能级上,支持p波晕的形成。在19C最后一个中子在0.2$\leqslant $β2$\leqslant $0.4形变范围内是占据在1/2[211]能级上的,从能级成分占比可以判定其为s波晕。接下来,还预测77Fe、75Cr和53Ar可能存在的晕结构。得到77Fe(75Cr)可能是在–0.06$\leqslant $β2$\leqslant $0.13(–0.12$\leqslant $β2$\leqslant $0.12)的s波晕核,而53Ar可能是0.09$\leqslant $β2$\leqslant $0.13的p波晕核。这一预测对在实验中寻找较重的晕核具有一定的参考价值。

      下一步,我们计划发展原子核中的协变密度泛函理论(CDFT),将CMR和CDFT结合,建立统一描述束缚态、共振态和连续谱的CDFT-CMR理论,研究原子核的单粒子运动,获得单粒子共振态的信息,揭示奇特核的壳层结构及其演化规律;进一步考虑对关联,考虑束缚态和共振态的耦合,探索形变、对关联、共振态及其与束缚态的耦合在奇特现象的形成中所扮演的角色,弄清晕、能级反转、幻数移动等奇特现象的物理机制。

参考文献 (32)

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