Hadron Structure by Quantum Computing

量子色动力学(QCD)是描述夸克和胶子相互作用的基本理论。在相互作用能标较低时，QCD跑动耦合常数较大，呈现出QCD基本理论的非微扰特征。这一特征的体现是色禁闭——带有颜色的夸克和胶子被禁闭在强子中而无法单独存在。因此，夸克和胶子如何在强子中分布自然地成为研究强相互作用基本理论的一个根本问题。20世纪60年代末，斯坦福直线加速器中心(SLAC)跨出了研究强子部分子结构问题的第一步——他们发现质子里内部有更深层次的结构，而非一个点状粒子^[1]。在本世纪，位于美国布鲁克海文的相对论重离子对撞机(RHIC)进一步揭示了质子自旋的部分子来源^[2]。未来，下一代电子离子对撞机EIC和EicC将进一步探索核子内部的夸克胶子深层次结构^[3−4]。可见，强子结构的研究一直都是粒子物理和核物理领域大科学实验装置的主要目标之一。

由于QCD的非微扰特性，强子结构无法通过费曼图展开进行微扰计算。得益于QCD因子化定理^[5]，入射粒子包含强子过程的硬散射截面被因子化成可微扰计算的部分子硬散射系数和非微扰的部分子分布函数(PDFs)，记作$ f_{i/h}(x, \,\mu) $。PDFs描述了强子内部的部分子一维纵向动量分布，其物理意义是于能标μ下，在强子h内部寻找到占强子动量份额为x的部分子i的概率密度。目前，人们主要通过实验数据整体拟合和格点QCD第一性原理计算两种方法来得到部分子分布函数。致力于从实验数据中提取PDFs的合作组主要有CTEQ^[6]，MMHT^[7]，NNPDF^[8]，AMBP^[9]，HERAPDF^[10]和JAM^[11−12]。在第一性原理计算方面，直接计算部分子分布函数要涉及光锥关联函数这一含时量，而传统格点QCD方法计算含时量时会遇到符号问题^[13]。为此，人们提出了多种方案来巧妙地规避掉符号问题从而通过格点QCD方法来间接计算得到PDFs^[14−29]。然而，受限于目前的格点计算算力，上述这些方案均未能精确地复现出实验数据分析给出的PDFs。因此，为了提高第一性原理计算的精确程度，人们有必要尝试发展传统格点QCD之外的第一性原理计算方法。

近年来，随着量子计算机的快速发展，量子计算模拟这一非微扰方法逐渐进入人们的视野。相比于传统格点QCD，量子计算具有高效、无符号问题等优点。量子计算机的概念最先由费曼在1982年提出^[30]，根据费曼的建议，量子系统可被量子计算机高效地模拟。2014年，Jordan等^[31]首次在量子场论问题上印证了费曼的这一论断——他们发现量子计算方法能以多项式复杂度模拟标量场散射问题，而这一问题对于经典计算机来说具有指数复杂度。此后，文献[32]中首次提出可通过量子计算的方法来计算PDFs。具体做法是，先计算强子张量，再通过QCD因子化定理在强子张量中提取出部分子分布函数。在这之后，文献[33]中提出可通过直接计算光锥关联函数的方法来获得PDFs。此外，关于量子计算模拟PDFs还有其他的一些工作^[34−35]。

本文将对文献[32]和[33]中提到的量子计算研究强子结构的方法进行讨论，并展示相关结果。在第1节中，我们将简要地回顾文献[33]中提出的直接计算光锥关联函数的方法。文献[32]中普遍地讨论了量子计算模拟强子张量的方案而未进行具体的量子算法实现。因此，我们将在第2节中具体地实现强子张量的量子模拟。为此，先简要地回顾如何通过QCD因子化定理从强子张量中提取出PDFs。考虑到近期量子计算机计算资源的限制，我们讨论了1+1维Schwinger模型强子张量的量子计算，但我们的量子算法具有一般性。根据量子计算模拟场论的一般性步骤，先讨论了Schwinger模型的离散化以及量子比特映射。然后讨论了Schwinger模型强子态的制备以及流-流关联函数在量子计算机上的测量。最后，进行了总结和展望。

文献[33]指出，可根据PDFs的算符定义在量子计算机上直接计算PDFs。PDFs的算符定义为^[5]

其中：x为部分子i占据强子h的纵向动量分数；$ y^-=t-{\textit{z}} $为光锥坐标；$ \gamma^+ $可写成狄拉克矩阵$ \gamma^0 $和$ \gamma^1 $的组合：$ \gamma^+=\gamma^0+\gamma^1 $，$ {\cal{W}}(y^-, \,0) $是威尔逊链，它是一个非局域算符，其存在保证了PDFs算符定义的规范不变性。$ D(y^-) $为坐标空间的光锥关联函数，是需要在量子计算机上被计算的量。

如图1所示，在不考虑威尔逊链的情况下，文献[33]提出了一般性的通过光锥关联函数$ D(y^-) $来计算PDFs的量子算法。这一量子算法包含了制备强子态$ |h\rangle $和计算强子态下的光锥两点关联函数$ S_{mn}(t) $两个部分。

相比于绝热演化等态制备方法，变分法(VQE)是一种经典-量子混合算法，它把一部分计算任务转移到量子计算机当中，从而显著地减少了制备态所需的量子线路深度^[36]。变分法先是被广泛应用于量子化学的态制备当中，如文献[37]。之后文献[33]把变分法的应用拓展到了高能物理中强子态的制备。特别地，文献[33]中提出了可通过子空间变分法(SSVQE)来制备强子态，对应的量子线路如图1虚线左侧所示。对于拥有除能量外量子数l的第k-1激发态强子h来说。SSVQE要求：(a) 初始参考态$\left|\psi_{l,\, i}\right\rangle_{\rm{ref}},\; i=0,\, 1,\, \cdots ,\, k-1$与强子态$ |h\rangle $有一样的除能量外的量子数l且$\left\langle\psi_{l,\, i} \mid \psi_{l,\, j}\right\rangle=\delta_{ij}$。(b) 生成试探波函数$\left|\psi_{l,\, i}(\theta)\right\rangle\equiv U(\theta)\left|\psi_{l,\, i}\right\rangle$的量子线路拟设$ U(\theta) $要保护理论的所有对称性，即$ [U(\theta),Q]=0 $，其中Q为理论的任一守恒量。上述两个要求保证了线路生成的试探波函数都位于量子数l的子空间，从而大大提高了变分法寻找到目标强子态的概率。构造满足要求(b)的$ U(\theta) $有很多种方法，文献[33]中采用的是QAOA拟设^[38]，其操作步骤如下：①把哈密顿量拆分成n份：$ H=H_1+ \cdots + H_n $；②要求$[H_i,H_{i+1}]\not=0$；③$ [H_i,Q]=0 $对所有i和系统任意的守恒量Q成立；④在不违反②、③的情况下取尽量大的n。此后，$ U(\theta) $可以写成

其中p是哈密顿量交替演化的层数，p越大，$ U(\theta) $的自由参数数目越多从而其表达能力越强。下面我们来阐明上述步骤的理由：如果上述步骤②不被满足，则有${\rm{e}}^{{\rm{i}} \theta_i H_i} {\rm{e}}^{{\rm{i}} \theta_{i+1} H_{i+1}}={\rm{e}}^{{\rm{i}}\left(\theta_i H_i+\theta_{i+1} H_{i+1}\right)}$，这表明该拆分方式对改进VQE线路的表达能力无效。步骤③是为了满足SSVQE的要求(b)而设置。步骤④的作用在于提高VQE线路的表达能力。为了在众多试探波函数$ \left|\psi_{l, \, i}(\theta)\right\rangle $中挑出目标强子态，我们需要最小化一个损失函数$ E_l(\theta) $^[39]

其中$ w_{l, \,i} $是在满足条件$ w_{l, \,0}>w_{l, \,1}> \cdots >w_{l, \,k-1} $条件下可任意选取的参数。上述条件是为了保证量子数为l的能量最低态一定在试探波函数簇$ \left|\psi_{l, \, 0}(\theta)\right\rangle $中产生，以此类推，身为第k-1激发态的目标强子态$ |h\rangle $一定在试探波函数簇$ \left|\psi_{l, \, k-1}(\theta)\right\rangle $中产生。因此，在得到最优参数$ \theta^* $之后，$ U(\theta^*)\left|\psi_{l, \, i}\right\rangle_{\rm{ref}} $是量子数为l，能量从低到高排列的k个能量本征态，其中，强子态可写为

最后，值得注意的是，损失函数的测量在量子计算机上进行，而参数$ \theta $的迭代以及优化在经典计算机上进行。

图1虚线右边的量子线路用于计算强子外态$ |h\rangle $下的含时两点关联函数$ S_{mn}(t) $^[40]

其中：$ \varXi^3_m \sigma^i_m $为一串连乘的泡利算符，$ \varXi^3_m $的定义在下一节的式(16)给出；$ \sigma^i_m $表示作用在第m个量子比特上的泡利算符且i = 1, 2, 3。在线路输出端，我们仅需测量辅助量子比特“QUBIT N”的$ \sigma^1 $和$ \sigma^2 $即可获得$ S_{mn}(t) $的实部和虚部。线路里的时间演化算符$ e^{-iHt} $，可通过Trotter分解的方法被分解成基本量子门^[41]，对于N量子比特系统且哈密顿量只有局域相互作用的情况下，Trotter分解的时间复杂度为$ O(N^2) $。图1量子线路复杂度最高的部分为时间演化的Trotter分解。总的来说，计算PDFs需要N个光锥点上的关联函数，因此，PDFs量子线路的总复杂度是$ O(N^3) $，这一多项式复杂度展示了量子计算的优越性。

完成上述制备强子态和测量光锥两点关联函数两个步骤后，文献[33]给出了部分子分布函数的最终结果。以Nambu–Jona-Lasinio(NJL)模型为例，图2展示的是18个量子比特模拟出正负夸克束缚态的PDFs结果。可以看出，由空心点表示的量子计算结果与曲线表示的精确对角化结果自洽吻合，表明这一量子计算算法的有效性。对部分子分布函数作电荷共轭变换，可得到关系$ f_q(x)=-f_{\bar{q}}(-x) $，因此，在$ x<0 $处的$ f_q(x) $可理解为是反夸克的部分子分布函数。由于有限体积效应的存在，$ f_q(x) $在非物理区间$ x>1 $具有非零值。此现象在格点QCD方法计算PDFs时也会出现^[42]。

对于一般的有规范场下的情况，威尔逊链$ {\cal{W}}(y^-, \,0) $需要被模拟。$ {\cal{W}}(y^-, \,0) $的具体表达式为

其中$ {\cal{P}} $表示的是路径排序，$ A^+_a = A^0_a+A^1_a $，$ T^a $是规范群的生成元。从上式可见，量子计算模拟威尔逊链的关键在于模拟规范场$ A^+_a $。一般来说，规范场模拟包括两个步骤，分别是：①对规范场做离散化。②将规范场映射成量子比特形式。

目前，在哈密顿量形式下最为流行的规范场离散化方法为Kogut和Susskind在1975年提出的Kogut-Susskind (K-S)方法^[43]。该方法选取了规范$ A^0=0 $，在这一规范下，规范场的冗余自由度不能被完全消除，因此，理论的哈密顿量H以及系统的物理状态$\left| {{\rm {Phys}}} \right\rangle $都需在剩余规范变换下保持不变。规范变换由高斯定理算符G生成，于是上面规范不变的要求对应于$ [H, \,G]=0 $，以及$ G \left| {}{\rm {Phys}} \right\rangle =0 $。上述K-S方案的特点致使该方案下的费米子场被放在格点上，同时，规范场以规范链$ {\cal{U}}_i({{{\boldsymbol{n}}}})= \exp[{\mathrm{i}}g A^a_i({{{\boldsymbol{n}}}}) T^a] $的形式被放置在连接两个格点的链之中。

虽然K-S方案具有一般性，但是，将K-S方案下离散化后的规范场映射到量子计算机时会有一些不理想之处。K-S方案下希尔伯特空间有一定的冗余度，这导致我们要消耗一部分量子比特来模拟非物理的自由度。对连续的规范对称群SU(N)来说，其规范链$ {\cal{U}}_i({{{\boldsymbol{n}}}}) $上有着一个维数无穷大的希尔伯特空间。这意味着我们还需要对该希尔伯特空间进行截断^[44−53]。无论是何种截断方案，都会破坏对易关系$ [H, \,G]=0 $。这将使得哈密顿量不再与高斯定理算符G具有相同的本征态，而QCD里的强子态正是H与G的共同本征态。以离散子群代替连续群的方法^[54−59](如通过$ Z_N $群代替$ U(1) $群)可保持对易关系$ [H, \,G]=0 $，然而，寻找以任意精度逼近复杂连续群[如SU(3)]的离散子群具有一定挑战性。此外，规范链$ {\cal{U}}_i({{{\boldsymbol{n}}}}) $与色电场算符之间复杂的对易关系增加了把规范场映射到量子计算机的难度。

K-S方案对量子计算的不理想之处来源于非物理规范$ A^0=0 $的选取。为此，我们提出可以从一开始就选取库仑规范$ \partial_i A^i_a = 0 $。在不考虑Gribov歧义^[60]的情况下，库仑规范消除了所有冗余自由度，这意味着我们不需要消耗额外的量子比特来编码冗余自由度，同时库仑规范下的哈密顿量无需具有规范不变性。上述讨论引出一个方便之处——库仑规范下的规范场可通过差分代换微分的方法被直接离散化。为了方便起见，我们提出可把规范场写成动量空间产生湮灭算符$ a^{\dagger}_{{{\boldsymbol{p}}}} $和$ a_{{{\boldsymbol{p}}}} $的形式后再进行量子比特映射。这一做法的好处在于库仑规范和高斯定理可通过解格点规范场的极化矢量来实现。同时，为了降低哈密顿量的非局域性，我们建议直接把坐标空间的费米子场$ \psi({{{\boldsymbol{n}}}}) $映射成量子比特。

在我们提出的规范场模拟方案下，我们尝试计算了2+1维纯U(1)规范场理论的威尔逊圈，最终给出的结果如图3所示。与式(6)中的威尔逊链相比，威尔逊圈走的是时空上的闭合路径。在空间方向走出距离r以及在时间方向走出距离t的威尔逊圈被记作$ {\cal{W}}_l(r, \,t) $，在大t极限下，正负电子之间的相互作用势$ V(r) $可由威尔逊圈的真空期望值计算出^[61]：

从上式可看出，在给定r时的大t极限下，$\frac{1}{{\rm -i} t} \ln \left\langle{\cal{W}}_l(r, \, t)\right\rangle$的实部将会趋于一个确定的数$ V(r) $，同时虚部将会趋于零。这两个特点都可在图3中体现出。

深度非弹性散射(DIS)$ l+h\rightarrow l^\prime+X $通过高能轻子探针l来探测强子h的内部结构。该过程的末态只对出射轻子l'进行测量而忽略强子h被轻子撞碎后的碎片粒子X。从DIS过程费曼图(图4)可看出，DIS过程的微分散射截面可以写为轻子张量和强子张量收缩的形式：

这里我们只讨论非极化的散射。其中E和$ E' $分别为初态轻子和末态轻子的能量；$ \alpha $是精细结构常数；q为轻子与强子之间交换的虚光子的四动量。$ L_{\mu\nu} $是轻子张量，其表达式为

其中l和$ l^\prime $分别是初态轻子和末态轻子的四动量，$ g_{\mu\nu} $是闵氏度规$ g_{\mu\nu}={\rm{diag}}(1, \,-1, \,-1, \,-1) $。d维时空下强子张量的表达式为

其中$ |h(p)\rangle $表示四动量为p的强子态，不失一般性，我们取零空间动量强子态$ |h\rangle $，$ J^\mu $为电流算符，即$ J^\mu=\bar{\psi}\gamma^\mu\psi $，矩阵元的下角标c表示此矩阵元只包含了连通部分的贡献，即需要减去非连通部分$\langle h \mid h\rangle\langle\varOmega|[J^{\mu}(x), \, J^\nu(0)] |\varOmega\rangle$，其中$ \langle\varOmega| $为真空态。根据洛伦兹对称性，强子张量可进一步分解：

其中$x=\frac{Q^2}{2p\boldsymbol\cdot q}$是无量纲量，$ Q^2=-q^2>0 $，$\bar{p}^\mu = p^\mu -\frac{p\boldsymbol\cdot q}{q^2}q^\mu$。$ F_1 $和$ F_2 $被称为结构函数，在QCD领头阶近似下存在关系$ F_2=2xF_1 $。根据QCD因子化定理，结构函数可被因子化成$ F(x) = \sum\nolimits_i c^i \otimes f_{i/h}(x) $，其中$ \otimes $表示卷积，$ c^i $是可微扰计算的系数。

根据上述讨论，我们可以通过在量子计算机上模拟式(10)来得到强子张量，再进一步得到部分子分布函数$ f_{i/h}(x) $。考虑到近期量子计算机计算能力的局限性，我们将计算Schwinger模型的强子张量。值得指出的是，我们提出的量子算法具有一般性。

Schwinger模型是1+1维时空下的量子电动力学(QED)模型，它可被近期量子计算机模拟。同时，Schwinger模型具有与QCD相似的一些特点，如禁闭效应^[62−63]和手征凝聚^[64−65]等。最近，人们通过Schwinger模型在量子计算机上探索了真空正负电子对产生^[66]、禁闭-退禁闭相变^[67−68]、喷注^[69−70]等物理现象。

从QED的拉格朗日量出发，在选取时间规范$ (A_0=0) $下，经过勒让德变换，1+1维连续时空下Schwinger模型的哈密顿量表示为

其中：$ \psi $是两分量的费米子场算符$ \psi = ({\psi}_1, \, {\psi}_2)^T $；$ \bar{\psi}= \psi^{\dagger} \gamma^0 $；$ D_1 $是协变导数$ D_1=\partial_1 + {\rm{i}}g{A}_1(x) $；g是耦合常数；m为裸电子质量。电场$ {E} $是矢势$ {A}_1 $的共轭变量，它们之间满足对易关系$ [A_1({\boldsymbol{x}}), \,E({\boldsymbol{y}})]=i\delta({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{y}}) $。相似地，$ \psi^{\dagger} $是$ \psi $的共轭变量，它们之间满足反对易关系$ \left\{\psi_{\alpha}({\boldsymbol{x}}), \,\psi^{\dagger}_{\beta}({\boldsymbol{y}})\right\}=\delta_{\alpha\beta}\delta({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{y}}) $。1+1维时空里的狄拉克矩阵可选为$ \gamma^0=\sigma^3 $，$ \gamma^1={\rm{i}}\sigma^2 $以及$ \gamma^5=\gamma^0\gamma^1=\sigma^1 $，不难验证它们之间满足狄拉克代数$ \{\gamma^\mu, \,\gamma^\nu \}=2g^{\mu\nu} $。

为了在有限希尔伯特空间的量子计算机上模拟无限自由度的场论问题，量子场需要被离散化。费米子场的直接离散化会导致费米子加倍问题^[71]，该问题可通过交错费米子方案进行离散化^[72]予以解决。在该方案下，费米子场的两个分量交错安置在格距为a的奇偶格点上

离散化后的费米子场依旧满足反对易关系$ \{{\phi}(n), \,{\phi}^{\dagger}(m)\}=\delta_{nm} $和$ \{{\phi}(n), \,{\phi}(m)\}=0 $。为了确保理论的规范不变性，离散化后的规范场$ {A}_1 $则以威尔逊链的形式安置在每一对相邻的格点中间，表示为$ {\cal{U}}(n)= \exp({\mathrm{ig}}aA_1(n)) $。$ {\cal{U}}(n) $与重新定义后的电场$ L(n) $有对易关系

其中$ L(n)=E(n)/g $。离散化后的哈密顿量表示为^[43]

其中N为总格点数。哈密顿量中第一项为费米子动能项和相互作用项之和，第二项为费米子质量项，第三项为电场能量项。

量子计算机只能理解泡利算符而不能理解场算符，因此，上述离散化后的场需被映射成泡利算符形式。对于费米子场$ \phi(n) $来说，Jordan-Wigner变换是标准的映射方法^[73]：

其中$ {\sigma}^\pm = ({\sigma}^1\pm {\rm{i}}{\sigma}^2)/2 $。这一变换保持费米子场算符的反对易关系。对于1+1维的特殊情况，规范场自由度可通过解高斯定理从而被表示成费米子场。格点上的高斯定理$ G(n) $的表达式为^[74]

在交错费米子语言下，$ J^0(n) $可被写成

同时，$ G(n) $是希尔伯特空间上$ U(1) $规范变换的生成元。物理态的规范不变性要求$ G(n) |{\rm {Phys}}〉 = 0 $。因此，解高斯定理可理解为把希尔伯特空间里的非物理态消除去。在周期性边界条件下以及约定$ \sum\nolimits_n L(n)=0 $的前提下，式(17)的解为

至此，$ L(n) $完全由费米子自由度表示。在消除掉$ L(n) $后，其共轭的变量$ {\cal{U}}(n) $也应被消去。这一目标可通过以下规范变换实现：

经过离散化，Jordan-Wigner变换和消除规范场后，我们得到了泡利算符语言下的Schwinger模型哈密顿量：

其中哈密顿量中第二项来源于周期性边界条件，$ \hat{J}^\mu(m) $为Jordan-Wigner变换后的电流算符：

从式(21)可知，N同时也是模拟Schwinger模型所需量子比特数。同样地，强子张量里的流-流关联函数也被映射成量子比特形式：

可见，要计算流-流关联函数(坐标空间强子张量)$ \tilde{W}^{\mu\nu} $，我们需要在量子计算机上：①制备强子态$ |h\rangle $；②测量强子态下的流-流关联函数。

强子态的制备方法可参考第1节中提及的VQE变分法。对于Schwinger模型来说，具体需要实现的是初始参考态$ \left|\psi_{l, \, i}\right\rangle_{\rm{ref}} $的选取以及哈密顿量的拆分。这两个步骤都将依赖于Schwinger模型的对称性。对于质量非零、周期性边界条件下的格点Schwinger模型，其守恒量为动量以及电荷。

在本文关于Schwinger模型的讨论中，我们关心的“强子态”是零空间动量的正负电子对束缚态$ \left|e^{+} e^{-}\right\rangle$，该束缚态是与真空量子数一样的第一激发态。因此，我们需要两个与真空态量子数一样的初始参考态：

其中$ |\psi_{\varOmega, \,1}\rangle_{\rm{ref}} $是Dicke态，其最一般的制备方法可在文献[75]中找到。式(24)中形如$|010101 \cdots 01\rangle$的态是计算基矢，其最一般的定义为

这里$ \otimes $表示直积，$ \left|i_n\right\rangle $是$ \sigma^3_n $的本征态且$ \sigma^3_n\left|i_n\right\rangle = (-1)^{i_n}\left|i_n\right\rangle $。为了验证$ \left|\psi_{\varOmega, \, i}\right\rangle_{\rm{ref}} $是零动量、零电荷的态，我们需要先定义平移算符T：

因此，不难验证

这表明$ \left|\psi_{\varOmega, \, i}\right\rangle_{\rm{ref}} $的确是符合要求的参考态。

为了从初始参考态出发制备试探波函数，Schwinger模型的哈密顿量需根据对称性被拆分。我们发现，Schwinger模型的哈密顿量在满足第二章所提的条件下最多可被拆分成四份：

其中

它们满足

因此，这一哈密顿量分解是满足要求的。对于制备$ \left|e^{+} e^{-}\right\rangle $态，可取式(2)中$ p=N $。最后，我们取损失函数的$ w_{l, \,i} $为$ w_{\varOmega, \,0}=1 $，$ w_{\varOmega, \,1}=0.5 $，并优化得到可制备Schwinger模型真空态和正负电子束缚态的$ U_S(\theta^*) $，

对于流-流关联函数的测量，可参考图1虚线右边部分，唯一需要改变的是把$ \varXi^3_n \sigma^j_n $换成如式(22)所示的$ \hat{J}^0 $以及$ \hat{J^1} $。至此，我们已获得了量子计算模拟坐标空间强子张量$ \tilde{W}^{\mu\nu}(x) $的方法。最后，在经典计算机上对$ \tilde{W}^{\mu\nu} $做傅里叶变换即可得到$ W^{\mu\nu}(q) $。

受量子计算硬件技术限制，我们将使用经典计算机模拟量子线路进行计算。因此，在本小节中，“量子计算”指的是量子计算的经典模拟。在量子计算机上，强子质量可通过在强子态下测量哈密顿量的期望值获得

我们选取量子比特数N=10以及格距a=1。同时我们将固定裸电子质量$ ma=0.5 $并改变耦合常数g使得强子质量满足条件$ 2\pi/N<m_{e^+e^-} a<\pi $。首先，我们通过对比量子计算的结果$ m_{e^+e^-, \,{\rm{QC}}} $和精确对角化的结果$ m_{e^+e^-, \,{\rm{NUM}}} $验证使用量子变分算法制备强子态的可靠性，对比结果见表1，可见不同耦合常数下强子质量的误差都在可以接受的范围以内。

其次，我们使用N = 10计算1+1维Schwinger模型下坐标空间强子张量的00分量$ (\mu=\nu=0) $，结果见图5。图中的空心蓝点是量子计算给出的结果，曲面是精确对角化给出的结果，可看出量子计算模拟结果与数值计算结果相符合，这展示出了我们量子算法的可靠性。其次在坐标空间中，强子张量在空间反演变化和时间反演变化下满足：$ \hat{{\cal{P}}}\tilde{W}^{\mu\nu}(x^0, \,x^1)\hat{{\cal{P}}}^{-1}=(-1)^{\mu+\nu}\tilde{W}^{\mu\nu}(x^0, \,-x^1) $以及$ \hat{{\cal{T}}}\tilde{W}^{\mu\nu}(x^0, \,x^1)\hat{{\cal{T}}}^{-1}=(-1)^{\mu+\nu}[\tilde{W}^{\mu\nu}(-x^0, \,x^1)]^* $，故在给定$ x^0 $下$ \tilde{W}^{00}(x^1) $应是偶函数且在给定$ x^1 $下 $ \tilde{W}^{00}(x^0) $是奇函数。不难从图5中看出，我们的计算结果符合上面提及的奇偶性要求。

目前，我们还未能通过强子张量提取出PDFs。这是由于因子化定理成立的前提条件是$ Q^2 \gg m_{e^+ e^-}^2 $。这表明格点上的各个能标应满足$ 2\pi/N < m_{e^+ e^-} a \ll Q a < \pi $。假设$ Qa = 3 m_{e^+ e^-}a $，我们将需要大概3倍于目前的量子比特数即30个量子比特来计算强子张量。用经典计算机模拟30比特量子计算机有一定的挑战性，这将留到我们未来的工作中进行计算。

本文主要介绍了两种在量子计算机上计算PDFs的方法。第一种方法通过光锥关联函数来直接计算PDFs，第二种则通过强子张量的计算结合QCD因子化定理来得到PDFs。两种方法所需用到的量子算法相似，都分为强子态制备以及两点关联函数测量两个部分。不同的是，第一种方法计算的是费米子场的光锥两点关联函数，且还要考虑威尔逊链的模拟；第二种方法则无需考虑威尔逊链但需要计算所有时空点上流-流关联函数的值。通过第二种方法，我们计算了Schwinger模型的强子张量，其中，我们详细地讨论了该模型中正负电子束缚态的制备。最后，我们通过量子计算机的经典模拟和精确对角化两种方法给出了Schwinger模型强子张量的结果。这两种结果自洽吻合，表明了我们发展的量子算法的有效性。

由于强子张量包含了PDFs和硬散射截面的信息，因此，通过强子张量来提取PDFs比直接计算PDFs要消耗更多的量子比特数，这一困难将留到未来的工作中被解决。一旦实现了通过强子张量提取PDFs,我们可将结果与光锥关联函数给出的结果作对比，这为我们提供了一个检验QCD因子化定理的途径。我们期待看到，随着$ Q^2 $的增大，领头阶扭度近似将会越来越好。更进一步，我们可以通过两种方法给出结果的不一致来提取出高扭度算符的贡献。