Overview of Recent Intermittency Analysis in Relativistic Heavy-ion Collisions

量子色动力学(Quantum Chromodynamics, QCD)相图结构和相变临界点是高能物理领域研究的热点之一^[1−5]。物质的相结构可用相图描述，例如，由电磁相互作用主导的水，其相结构由压强和温度的二维图描述。水的相图中有三种不同的形态：液态、气态和固态，在气-液相变线上存在一个特殊的终点，称为临界点。类似地，强相互作用物质的相图(QCD相图)，通常用温度(T)与重子化学势(μ_B)的二维图来描述^{[1, 4, 6]}。基于第一性原理出发的格点QCD计算表明，在低重子化学势和高温度时，夸克-胶子等离子体(Quark-Gluon Plasma, QGP)相到强子物质相的转变是平滑过渡^[7]。同时，基于QCD理论的模型预测，在高重子化学势和低温条件下，QGP相到强子相的转变属于一级相变^[8],而在一级相变边界存着一个终点，称为QCD临界点^[8−10]。目前，理论预言的QCD临界点在相图中的位置存在很大差异和不确定性，需要实验来确定。为此，世界多个重大科学实验装置都在寻找QCD临界点的位置，主要有美国布鲁克海文国家实验室(BNL)的RHIC-STAR实验^{[1, 11]}、欧洲核子中心(CERN)的SPS-NA61/SHINE实验^{[12, 13]}。在RHIC-STAR第一阶段能量扫描(BES-I)实验中，已经观察到实验探针-净质子数的峰度($\kappa\sigma^{2}$)^{[3, 5, 14]}和轻核的产额比($N_{{\mathrm{t}}}\times N_{{\mathrm{p}}}/N_{{\mathrm{d}}}^{2}$)^{[5, 15]}，表现出非单调的能量依赖，揭示QCD临界点存在的迹象。

临界点的一个显著特征是系统关联长度和密度涨落的发散^[16−18]。当系统热力学状态接近临界点时，系统的关联长度发散，导致序参量的密度涨落明显增大，系统将演化出临界现象。比如，二氧化碳物质处于临界温度时，演化出临界乳光现象。三维Ising-QCD理论^[19−22]认为，重离子碰撞体系达到临界条件时，其动量空间中的密度-密度函数将具有幂律，或者自相似的结构，这使得物质在动量空间里的分布出现很强的密度涨落。这种密度涨落表现为一种明显的间歇现象，即在相空间小区域(单元)内，物质的密度分布出现大的起伏。由于间歇是QCD相变的密度涨落所引起的一种现象，因此我们可以通过测量重离子碰撞体系的间歇来探索QCD相变和寻找临界点^{[19−21, 23−25]}。在实验上，我们可以通过粒子多重数在相空间分布的阶乘矩(Scaled Factorial Moment, SFM)或$F_{q}(M)$来测量碰撞系统产生的间歇。阶乘矩计算公式如下^{[19, 22, 23, 26−28]}：

这里：q是阶乘矩的阶数；D维相空间的各个维度都均分成M个格子；$M^{D}$则是整个相空间被均分的格子数。$n_{i}$是位于第i个格子的粒子多重数，$\langle \rangle$表示对所有事件的平均。

如果碰撞体系存在间歇，$F_{q}(M)$和$M^{D}$之间将满足幂律(标度)关系，称为$F_{q}(M)/M$标度^{[19−21, 24, 26]}：

$\phi_{q}$是间歇指数，它的值越大，说明体系的间歇就越强。Ising-QCD理论预言，对于处于临界点的体系，质子(p)的临界间歇指数为$\phi_{q}=\frac{5(q-1)}{6}$^[19]，π介子的临界间歇指数为$\phi_{q}=\frac{2(q-1)}{3}$^[21−22]。

如果碰撞体系存在间歇，阶乘矩也满足另外一种标度行为，即高阶的$F_{q}(M)$和二阶的$F_{2}(M)$之间满足幂律关系，称为$F_{q}(M)/F_{2}(M)$标度^{[23, 29−33]}：

其中$\beta_{q}=\phi_{q}/\phi_{2}$称为标度系数。根据金兹堡-朗道(Ginzburg-Landau)理论对对相变体系的描述^{[23, 29]}，由于$\phi_{q}$依赖于特定的临界参数，而这些参数在碰撞系统演化过程中是未知的，并且会随着体系的温度改变而不断变化。因此，$F_{q}(M)/M$标度行为[式(2)]，会在体系的演化过程中被减弱，甚至被稀释掉。然而，$\beta_{q}$不依赖于特定的临界参数，$F_{q}(M)/F_{2}(M)$标度行为[式(3)]从而能在体系的演化过程中保留下来，最后在实验上测量得到。

最重要的是，标度指数可衡量各阶的$F_{q}(M)/F_{2}(M)$标度行为，表示间歇的强度大小^{[23, 29−30, 33−34]}：

金兹堡-朗道理论预测，当体系处于QCD临界点时，标度指数的临界值等于1.30^[23]，而二维Ising 理论预测的临界值为1.0^{[29, 35]}。值得注意的是，这个数值是对整个相空间而言，然而，在实验中只能测量得到有限空间内的粒子多重数分布。由于间歇指数($\phi_{q}$)和标度指数(ν)能反映重离子碰撞体系中间歇的强弱，它们和碰撞能量之间的依赖关系可能用来确定QCD临界点的位置。

重离子碰撞产生的系统会存在大量的背景，即存在与临界点无关的非临界背景涨落^{[24, 26, 36−37]}。这些背景来自于重子数守恒、非平衡效应、体积涨落、末态强子衰变和强子散射、接收度等非相变物理机制。在分析中，一定要扣除背景对阶乘矩的贡献。目前扣除背景的方法有两种，分别为混合事件方法和累积变量方法。

混合事件方法是先打乱真实事件的粒子分布，再从不同的真实事件中挑选粒子，人工构建新的事件，称为混合事件。之后，计算出混合事件的$F_{q}^{{\mathrm{mix}}}(M)$。然后，扣除背景后的阶乘矩($\varDelta F_{q}(M)$)为真实事件的$F_{q}^{{\mathrm{data}}}(M)$减去混合事件的$F_{q}^{{\mathrm{mix}}}(M)$，即为^{[22, 24, 26, 38]}

该方法已经在NA49，NA61/SHINE和STAR实验分析中使用。

另外一种扣除背景的方法是累积变量。累积变量(X)是对概率密度函数[$\rho(x)$] 进行积分，得到一个描述随机变量$x$概率分布的变量，即

比如，原先的变量为动量$p_{x}$，通过它的密度分布函数对其进行积分，得到新的变量$X(p_{x})$。通过该变换，原先的二维横动量空间($p_{x},\,p_{y}$)变为新的二维累积空间($X(p_{x}),\,X(p_{y})$)。理论和模型证明^{[36, 39−40]}，累积变量可以消除背景对粒子密度分布谱的影响，从而消除间歇指数对粒子密度分布的依赖。该方法已经使用在NA61/SHINE实验Ar+Sc的间歇分析中。

在高能物理实验中，探测器的效率是有限的，这导致探测到的粒子多重数要比真实的要少。因为SFMs的值是根据带电粒子的多重数在动量空间中的分布计算而来，所以粒子多重数的丢失会导致实验上测量到的SFMs不同于真实的SFMs。因此，在实验测量中，我们需要使用适当的效率修正方法，对测量得到的SFMs进行修正，从而得到SFMs的真实值。通常认为，探测器的效率(ε)服从二项式分布，那么矩(f_q)的效率修正的公式为^{[36, 41−43]}：$f_{q}^{{\mathrm{corrected}}} = f_{q}^{{\mathrm{measured}}}/\epsilon^{q} = \langle n(n - 1) \cdots (n-q+1)\rangle/ \epsilon^{q}$。将该公式运用到阶乘矩的计算中，即得到阶乘矩对效率的修正公式^[36]：

式(7)的有效性已经通过UrQMD模型来检验^[36]，并且已经运用到RHIC-STAR实验的间歇分析中。

相对论重离子对撞机(Relativistic Heavy Ion Collider, RHIC)位于美国长岛的布鲁克海文国家实验室(BNL)。从2010到2017年，RHIC-STAR 实验已经采集第一期Au+Au对撞的实验数据。这些实验数据的对撞质心能量点$ (\sqrt{S_{\rm{NN}}}) $有9个，分别是7.7，11.5，14.5，19.6，27，39，54.4，62.4和200 GeV。RHIC-STAR实验计算了横动量空间($p_{x},\,p_{y}$)中, 中心赝快度区间($|\eta|<0.5$)下的带电强子的阶乘矩，其中，带电强子包括质子(p)，反质子($\bar{{\mathrm{p}}}$)和K介子(${\mathrm{K}}^{\pm}$)，$\pi$介子($\pi^{\pm}$)，并且横动量空间的范围为$[-2<p_{x}<2 \; {\rm{GeV/}}c] \otimes [-2<p_{y}<2 \; {\rm{GeV/}}c]$^[44]。

图1(a)~(d)显示的是，STAR实验Au+Au最中心碰撞(0~5%)中的，经过效率修正的$F_{q}^{\rm data}(M)$和$F_{q}^{\rm mix}(M)$，以及它们随着$M^{2}$变化的函数关系。STAR实验结果显示，当$M^{2} > 1\,000$时，$F_{q}^{\rm data}(M)$明显大于$F_{q}^{\rm mix}(M)$，这说明Au+Au碰撞体系中存在着密度涨落。图1(e)~(h) 显示扣除背景后的$F_{q}(M)$，即：$\varDelta F_{q}(M)= F_{q}^{\rm data}(M)- F_{q}^{\rm mix}(M)$和$M^{2}$的函数关系。在最中心Au+Au碰撞(0~5%)中，虽然$\varDelta F_{q}(M)$随着$M^{2}$的增大而增大，但是，当$M^{2} > 4\,000$时，$\varDelta F_{q}$逐渐趋于饱和。所以，STAR实验Au+Au碰撞体系中，体现间歇的幂律：$\varDelta F_{q}(M) \propto (M^{2})^{\phi_{q}}$没有在整个$M^{2}(1 \sim 100^{2})$区间内严格满足，即体系不显示$\varDelta F_{q}(M)/M$标度行为。

图2显示了扣除背景后，RHIC-STAR实验中高阶的$\varDelta F_{q}(M)$和二阶的$\varDelta F_{2}(M)$的函数关系^[44]。实验结果显示$\varDelta F_{q}(M)$和$\varDelta F_{2}(M)$之间满足严格的幂律关系：$\varDelta F_{q}(M) \propto F_{2}(M)^{\beta_{q}}$，即所期待的$\varDelta F_{q}(M)/\varDelta F_{2}(M)$标度，说明Au+Au碰撞体系存在和密度涨落相关的间歇。由于Au+Au体系的SFM表现出了$\varDelta F_{q}(M)/\varDelta F_{2}(M)$标度，则可以通过式(3)计算得到$\beta_{q}$，然后通过式(4)来拟合$\beta_{q}$。

图3显示了STAR Au+Au碰撞实验中，两个中心度(0~5%，10%~40%)下，标度指数(ν)和碰撞能量$ (\sqrt{S_{\rm{NN}}}) $之间的依赖关系^[44]。在最中心(0~5%)Au+Au碰撞中，标度指数表现出明显的非单调的能量依赖，并且在$\sqrt{S_{\rm{NN}}}$= 27 GeV左右可能存在最小值。而在半中心(10%~40%)碰撞中，ν并没有随着能量的增大而变化，即没有表现出非单调的能量依赖^[44]。这一结果说明能量在$\sqrt{S_{\rm{NN}}}$= 20~30 GeV之间的Au+Au碰撞体系经历了特殊的物理机制，有可能是经历了QCD临界区，但是需要更多理论方面的计算来证明。实验测量到的ν值要比理论预言的临界值要小，比如来自2D Ising模型的1.0和金兹堡-朗道理论预测的1.3。这是因为这些理论计算是相对于整个相空间、所有粒子的ν，而STAR实验上只能测量到有限空间中的ν，比如，现在测量到的二维横动量空间中，接受度为$|\eta|<0.5$，$0.2<p_{{\mathrm{T}}}<2.0$下的，带电强子的ν。为此，我们需要更多的理论来指出ν的临界点是否依赖所选取的相空间和带电粒子的种类，以及二维横动量空间中带电粒子的ν的临界值。同时，由于超相对论量子动力学 (UrMQD)不能计算得到扣除背景后的ν值^[45]，我们还需要一个具有密度涨落的模型来计算出一个基准线(baseline)，用来和STAR实验的结果做比较^[44]。

2010年以来，位于CERN的NA49和NA61/SHINE合作组已经开展了不同能量以及不同种类的重离子碰撞实验，通过间歇分析的方法来寻找QCD临界点^{[12−13, 24, 26, 46]}。2016年，NA49实验在$\sqrt{S_{\rm{NN}}}$= 17.3 GeV的Si+Si碰撞体系中，观察到质子的$F_{2}(M)$和M之间满足标度行为，并且$\phi_{2}=0.96\pm 0.16$，说明Si+Si体系产生了很强的间歇现象^[26]。

图4显示NA61/SHINE实验Ar+Sc碰撞中质子(p)的结果。图中红色的符号表示经过累积变换(式(6))后的$F_{2}(M)$。研究发现，质子的$F_{2}(M)$和$M^{2}$之间是平坦的变化关系，不存在任何的幂律，而混合事件和EPOS模型的结果也如同，这说明Ar+Sr体系中不存在任何和QCD相变相关的密度涨落^[13]。此结果和NA49实验中Pb+Pb和C+C体系^{[24, 26]}的结果相似，即都没有观察到质子的间歇现象。

图5显示了NA61/SHINE实验Xe+La碰撞中，带负电荷的强子(h⁻)的二阶阶乘矩$\varDelta F_{2}(M)$的结果。Xe+La体系中h⁻的结果显示，当$M^{2} < 10\,000$时，$\varDelta F_{2}(M)$随着$M^{2}$增大而明显增大，$\varDelta F_{2}(M)$表现出明显的幂律行为：$\varDelta F_{2}(M) \propto (M^{2})^{\phi_{2}}$。同时，当$M^{2} > 10\,000$，$\varDelta F_{2}(M)$逐渐趋于饱和，这一结果非常类似于STAR实验Au+Au中带电强子(h^±)的结果。NA61/SHINE实验Xe+La碰撞中，如去除两粒子横动量差($\varDelta p_{{\mathrm{T}}}=|p_{{\mathrm{T}},1}-p_{{\mathrm{T}},2}|$)为100 MeV/c区域内的带电粒子，Xe+La体系中观察到的$\varDelta F_{2}(M)$幂律行为将消失，这解析了该体系的幂律行为是由于短程关联(HBT correlation)所导致^[47]。

超相对论量子动力学(Ultra relativistic Quantum Molecular Dynamics, UrMQD)模型是一个广泛地用于模拟高能p+p、p+A和A+A碰撞的强子输运模型，它可以很好模拟SIS($\sqrt{S_{\rm{NN}}}\approx 2 \; {\mathrm{GeV}}$)到RHIC最高能量($\sqrt{S_{\rm{NN}}}$= 200 GeV)范围内的重离子碰撞。然而，由于UrQMD模型没有包含QGP相到强子相的相变，它并不能用来研究由QCD相变引起的间歇现象。UrQMD模型的结果显示^[45]，带电强子的$F_{q}(M)^{\rm data}$和$F_{q}(M)^{\rm mix}$基本重合，并且$\varDelta F_{q}(M)$的值约等于0，证明UrQMD模型确实不存在体现间歇的标度行为，也说明UrQMD模型没有包含任何引起间歇的密度涨落机制^[45]。然而，临界蒙特卡洛(Critical Monte-Carlo, CMC)模型很好地模拟了由QCD相变引起的间歇的动量分布，即给出具有临界涨落的事件的粒子动量信息^[25]。为了研究STAR实验中观察到的间歇现象，我们把CMC模型的临界密度涨落加入到UrQMD模型，即用CMC事件的粒子随机替换UrQMD事件的粒子，产生一个混合的UrQMD+CMC模型。

图6显示了往UrQMD模型加入CMC模型的密度涨落后，混合模型的高阶$\varDelta F_{q}(M)$(q=3~6)和$\varDelta F_{2}(M)$的变化关系。UrQMD+CMC模型表现出了明显的$\varDelta F_{q}(M)/ M$和$\varDelta F_{q}(M)/\varDelta F_{2}(M)$标度行为，即复现了STAR Au+Au碰撞实验中观察到的标度行为。图7显示UrQMD+CMC模型中不同信号比例条件下，最中心碰撞中(0~5%)，ν和碰撞能量之间的依赖关系。通过比较UrQMD+CMC模型的结果和STAR实验数据的结果能够发现，当UrQMD事件样本加入1%~2%的CMC临界信号时，UrQMD+CMC模型的标度指数范围和STAR实验测量到的范围相符合。该结果说明STAR实验中的Au+Au碰撞系统可能存在1%~2%的临界间歇信号，此结果和NA49实验给出的Si+Si体系的1%信号比例^[26]相符合。

本文简要报告了近年来重离子碰撞实验中间歇的研究进展。RHIC-STAR实验对Au+Au碰撞中带电强子的间歇进行了系统测量，发现扣除背景后的阶乘矩存在幂律行为。在最中心Au+Au碰撞(0~5%)中，标度指数表现出非单调的能量依赖，并且在$\sqrt{S_{\rm{NN}}}$= 19.6~27 GeV范围内出现最小值。该结果说明能量区域为$\sqrt{S_{\rm{NN}}}$=19.6~27 GeV的碰撞体系经历了特殊的物理机制，有可能是受到QCD临界点的涨落所影响，但是需要更多理论方面的研究来证明。SPS-NA61/SHINE实验测量了Ar+Sc碰撞中质子的间歇，研究发现质子的阶乘矩没有表现出任何的幂律行为，说明Ar+Sc体系不存在任何的临界涨落。Ar+Sc碰撞的结果明显不同于早期NA49实验中Si+Si的结果，这需要理论上的解释。在NA61/SHINE Xe+La碰撞体系中，扣除背景后，带负电荷的强子的二阶阶乘矩随着格子数的增大而变大，此结果类似于STAR Au+Au实验中带电强子的结果。在模型研究方面，混合UrQMD+CMC模型可以复现STAR实验中观察到的阶乘矩的幂律行为，成功解释STAR实验得到的标度指数的范围，并且给出了与NA49实验组相符合的信号比例。但是，UrQMD+CMC模型尚未能提供一个明确的研究基线，也未能解释STAR实验中观察到的标度指数的非单调能量依赖。在2019—2021年，RHIC-STAR实验完成了第二阶段能量扫描实验，已经采集更高精度和更大统计量的实验数据，这使得我们能在更宽广的能量范围对带电粒子的间歇进行更好的测量与分析，确定标度指数和碰撞能量之间的依赖关系。NA61/SHINE实验组将对Ar+Sc、Pb+Pb、Xe+La等碰撞体系中带电粒子的间歇进行更精确的测量^{[47, 48]}。我们期待，相对论重离子碰撞中间歇的实验测量(STAR二期能量扫描实验，NA61/SHINE下阶段实验)和理论研究，可为研究强相互作用相结构、确认QCD临界点的位置提供重要的依据。