Effects of Sequential Decay on Collective Flows and Nuclear Stopping Power in Heavy-ion Collisions at Intermediate Energies

致密核物质性质的研究是当前核物理领域的重要课题之一，而重离子碰撞(HICs)实验是地面实验室中产生致密核物质的唯一有效手段^[1-6]。但是离子碰撞的时间尺度非常短，中能重离子碰撞的持续过程大约只有几十到几百fm/$ c $，因此以现有的技术和手段暂时无法实现对致密核物质的直接测量。为了研究重离子碰撞的动力学行为，实验上只能利用探测器来捕捉核反应末态产物的信息，例如自由核子和碎片的动量分布，以此来反推反应产物的速度、能量和轨迹等性质，从而分析碰撞动力学演化过程。一般来说我们可以借助输运模型模拟重离子碰撞，并将模拟结果与实验数据对比，从而提取核物质状态方程的信息^[7-11]。目前被广泛应用于中能重离子碰撞的输运模型可以大致分为两类，即玻尔兹曼输运模型(BUU)^[2]和量子分子动力学输运模型(QMD)^{[3, 12]}，经过几十年的不断发展和完善，它们已经被广泛地用于模拟重离子碰撞以提取核结构和致密核物质的性质，如核物质状态方程、对称能和两体散射截面^[13-20]。

在采用输运模型模拟重离子碰撞的过程中，大多数模型本身并不能直接产生碎片，需要首先利用聚合模型来进行末态碎片的构建，然后进一步分析轻粒子的一些观测量，并与相应的实验值进行比较来提取核物质性质。然而，输运模型结合聚合模型得到的预碎片通常处于激发态，而真实重离子碰撞过程中碎片在到达探测器的过程中会经历时间尺度较长的退激发。因此，在相对较低的碰撞能量下，理论模拟得到的预碎片的激发能与束流能量相当，我们需要重视这种预碎片的退激对最终的观测量的影响^[21-25]。

另一方面，对轻碎片产额的低估是输运模型模拟中能重离子碰撞中一个长期存在的问题^[26]，理论上已经提出了多种方法来解决。如采用统计衰变模型来处理末态碎片的构建与退激发，如统计多重碎裂模型(SMM)^[27-28]、统计蒸发模型(HIVAP)^[29]、统计模型GEMINI^[30]以及模拟退火算法(SACA)^[31-32]。在我们之前的研究中^[33-35]，基于极端相对论量子分子动力学(UrQMD)模型，通过采用相空间聚合模型并忽略预激发碎片的衰变，虽然对α粒子的描述存在较大差异，但是能够合理地再现INDRA和FOPI实验组得到的自由质子和氘核的集体流的结果。为了更好地给出轻粒子的集体流分布以及探究衰变对中能重离子碰撞过程中轻粒子观测量的影响，本文采用统计模型GEMINI++用来描述预激发碎片的衰变。

本文采用动力学输运模型——UrQMD模型来模拟中能重离子碰撞，并使用统计模型——GEMINI++来处理预激发碎片的衰变，研究预碎片的衰变对轻粒子产额分布、集体流和核阻止的影响。文章结构安排如下：在第1节中对使用的理论模型和观测量进行阐述，第2节为结果与讨论，最后在第3节给出总结。

UrQMD模型是一种处理微观非平衡动力学过程的输运模型^[36-40]，在模型中每个核子由一个具有确定宽度的高斯型波包表示。在Au+Au碰撞中，波包宽度参数取$ \sigma_{\rm{rr}}^{2} $= 2 fm²，每个核子的坐标和动量的时间演化遵循哈密顿正则方程。系统的总哈密顿量$ \langle H \rangle $包括动能$ T $和核子-核子有效相互作用势$ U $，其中$ U $又包含Skyrme势能项$ U_{\rho}^{} $、库仑能$ U_\text{Coul}^{} $以及动量依赖势能项$ U_\text{md}^{} $：

为了较好地模拟中能区重离子碰撞，本文采用改进的量子分子动力学模型(ImQMD)中所使用的Skyrme能量密度泛函^[41-42]的方法来构造平均场。局域项和动量相关项表达为：$U_{\rho,\; \text{md}}^{} = \displaystyle\int{u_{\rho, \; \text{md}}^{}{\rm{d}}{\boldsymbol{r}}}$，

其中：$ \delta = \left(\rho_\text{n}^{}-\rho_\text{p}^{}\right) /\left(\rho_\text{n}^{}+\rho_\text{p}^{}\right) $为同位旋不对称度；$ \,\rho_\text{p}^{} $为质子密度；$ \,\rho_\text{n}^{} $为中子密度。在本工作中，核物质的饱和密度为$ \,\rho_{0}^{} $= 0.16 fm⁻³，势能参数分别为$ \alpha = - $393 MeV，$ \beta = 320 \;{\rm{MeV}} $，$ \gamma $= 1.14，$ g_{\text{sur}}^{} $= 19.5 MeV fm²，$g_{\text{sur, iso}}^{} = $−11.3 MeV fm²，$ A_{\text{sym}}^{} $= 20.4 MeV，$ B_{\text{sym}}^{} $= 10.8 MeV，$ C_{\text{sym}}^{} = - $9.3 MeV，$ \eta $= 1.3，$ t_\text{md}^{} $= 1.57 MeV，$ a_\text{md}^{} $= 500 (GeV/$ c $)⁻²和c = 0。这些参数设置对应一个软的动量依赖的状态方程(SM-EoS)，相应的核物质不可压缩系数为K₀ = 200 MeV、对称能斜率参数为L = 80.95 MeV。

对于核子-核子弹性截面，我们对其考虑了介质修正效应。通过一个密度和动量依赖的参数化修正因子$ {\cal{F}}(\rho, p) $与自由核子-核子截面$ \sigma_{\rm{NN}}^{\text{free}} $之积得到介质内的核子-核子弹性截面^{[40, 43-44]}。

参数设置为f₀ = 1，λ = 1/6，ζ = 1/3，p₀ = 0.3 GeV/c和κ = 8，其中$ p_\text{NN}^{} $是两核子质心系内的相对动量。

此外，由于核子为费米子，满足泡利不相容原理，因此在碰撞过程必须考虑Pauli阻塞效应^{[22, 43]}。散射过程中，末态相空间如果没有被占据，则该散射为成功的散射，成功的概率是 (1-$ f $)，否则该散射被阻止。核子-核子碰撞过程中出射粒子的相空间密度分别为$ f_i^{} $和$ f_j^{} $：

这里$ k $表示出射粒子周围相同类型的核子。在同时满足以下两个条件时核子-核子碰撞才会发生：

这里：$ r_{ik}^{} $和$ p_{ik}^{} $是核子$ i $和$ k $的相对距离和相对动量，对于核子$ j $也满足上述条件，$ \xi $是一个0到1的随机数。

对于末态碎片的构建这里我们采用的是同位旋依赖的最小生成树算法(iso-MST)^[45-48]。当核子对之间的相对距离小于$ R_{0}^{} $及相对动量小于P₀ = 0.25 GeV/$ c $时，这两个核子就属于同一个结团。考虑到在中子-中子，中子-质子间没有库仑作用，它们之间的距离即便比质子-质子间的大，也有可能由于吸引的作用处于同一个碎片。故而质子对之间的距离阈值小于其他核子对的值，取$R_{0}^{{\rm{pp}}} = 2.8$ fm，$R_{0} ^{{\rm{np}}} = R_{0} ^{{\rm{nn}}} = 3.8$ fm。虽然这样的改进不能完全解决轻碎片产额的问题，但通过采用上述参数，可以相对较好地描述重离子碰撞过程中的集体流数据、两粒子关联效应等^{[35, 40, 49-51]}。

由于GEMINI模型存在低估低能粒子产额的问题，Charity等^{[30, 52]}通过完善激发碎片的衰变道以及修正透射系数，进一步发展了GEMINI++模型。该模型是一种基于Monte Carlo理论的统计衰变模型，常被用于模拟激发碎片退激过程中发生的衰变，包括轻粒子的蒸发、对称和不对称裂变以及其它可能的两体衰变模式。该模型已被广泛地用于描述中低能^[53-62]以及高能^[63-65]重离子碰撞过程中的预碎片的退激发。本文中GEMINI++模型中使用的参数为默认值^{[52, 61, 66]}，其中壳平滑能级密度参数为：$ k_{0}^{} = 7.3 $ MeV，$ k_{\infty}^{} = 12 $ MeV。

模型中包含4个基本的输入量：激发核的质量数A，电荷数Z，激发能E^*，以及角动量L。其中激发能可以由预碎片的结合能和实验上测量得到的基态结合能相减得到：

其中$ E_{\text{bind}}^{\text{ground}} $可以从国际原子质量评估AME2020数据表^[67-68]中得到，对于数据表之外的未知核素可以利用液滴模型^[69-71]计算其基态结合能。当激发能小于等于0时，预碎片将被视为处于基态，不对其考虑衰变。预碎片的角动量则可以通过经典力学得到^[56]：

$ {\boldsymbol{r}}_{i}^{} $和$ {\boldsymbol{p}}_{i}^{} $分别是预碎片中第$ i $个核子的坐标和动量矢量。经验证，模型中是否考虑角动量的贡献并不会对结果产生明显的影响。

在本文中，我们主要讨论预碎片的衰变对轻粒子的集体流和核阻止本领的影响。集体流中常用的直接流$ v_{1}^{} $和椭圆流$ v_{2}^{} $分别定义为^[72]

其中：$ p_{x}^{} $和$ p_{y}^{} $分别是粒子沿$ x $方向(碰撞参数)和$ y $方向的动量；$ p_{{\textit{z}}}^{} $则是沿束流方向$ z $的动量，同时可以得到横动量$p_{{\rm{t}}}^{} = \sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}$，尖括号表示对所有事件中观测粒子求平均值。核阻止本领通常使用INDRA实验组提出的$ R_{E}^{} $^[73]和FOPI实验组提出的$ vartl $^[74]表征：

其中：$ E_{\perp}^{} $($ E_{\|}^{} $)是质心系内横向(纵向)能量，求和涵盖所有考虑的粒子。粒子在$ x $和$ z $方向分别具有快度$ y_{x}^{} $和$ y_{{\textit{z}}}^{} $，其对应的方差分别为$ \left\langle y_{x}^{2}\right\rangle $和$ \left\langle y_{{\textit{z}}}^{2}\right\rangle $。

入射弹核的快度大小为$y_{{\rm{pro}}}^{} = \frac{1}{2}{\rm{ln}}\frac{E+p_{{\rm{pro}}}^{}}{E-p_{{\rm{pro}}}^{}}$，定义粒子在$ x $和z方向的约化快度为$y_{x0} = y_{x}^{}/y_{{\rm{pro}}}^{}$，$y_0^{} = y_{{\textit{z}}}^{}/y_{{\rm{pro}}}^{}$，以上均指质心系。

首先，图1给出了束流能量为150 MeV/nucleon时的Au+Au中心碰撞考虑衰变前后的电荷多重数分布，并与INDRA实验值进行了对比，这里采用的演化停止时间为200 fm/$ c $。图中蓝色空心圆圈为不考虑衰变的结果，绿色实心三角为考虑衰变后的结果，红色五角星为实验测量值。可以看出，在考虑激发预碎片的衰变后，由于重质量碎片的衰变，$ Z>2 $的碎片的产额被整体压低并且更加靠近实验值，同时$ Z = 1 $和$ Z = 2 $粒子的产额得到了提升并且可以较好地描述$ Z = 2 $粒子产额的实验数据。

进一步地，图2展示了入射能量为150 MeV/nucleon，碰撞参数为b = 0~2 fm的Au+Au碰撞过程中氢同位素($ {\rm{p}} $, $ {\rm{d}} $, $ {\rm{t}} $)和氦同位素(³He和⁴He)产额的快度分布，其中蓝色虚线为不考虑衰变的结果，绿色实线为考虑衰变后的结果，左中右部分分别表示在t = 200，250和300 fm/$ c $时是否考虑衰变后的结果。当考虑预激发碎片的次级衰变后$ {\rm{p}} $, $ {\rm{d}} $的产额稍有增加，氦同位素的产额增益尤其明显。然而对${\rm{t}}$的产额快度分布几乎没有影响，这是因为${\rm{t}}$的比结合能较大，本身不容易发生衰变，以及大质量的预激发碎片在蒸发相同质量轻核时相比于发射$ {\rm{t}} $更倾向于发射比结合能较小的³He。由图1可知，由于发生衰变，大质量碎片将衰变为轻质量碎片，导致轻粒子产额分布的提升。因此，考虑衰变后³He和⁴He的产额分别提升为之前的1.4倍和4.9倍(t = 200 fm/$ c $)。在QMD类输运模型计算中，轻粒子产额(尤其是³He和⁴He)通常低于实验值，在我们之前的研究中^[42]，UrQMD模型计算给出的³He的产额大约比实验值低3倍。在图2中可以看出，随着GEMINI++的加入(考虑衰变)，在一定程度上改善了对轻粒子(³He和⁴He)产额的描述。但是这些轻碎片的产额还是低于相关的实验值；此外，GEMINI++的加入也导致了自由核子产率的高估。为了解决这些问题，可以进一步在输运模型中考虑粒子的自旋自由度和动力学产生过程^[7]，如：将轻碎片的动力学产生机制引入到玻尔兹曼类输运模型中^[75]；将轻碎片的直接产生道引入到QMD类输运模型中^[76-77]。这些研究表明，轻碎片的动力学产生机制对合理描述轻碎片的实验数据十分重要。

集体流作为常用的核物质状态方程的敏感观测量，其信息将对精确提取核物质状态方程的信息有着关键影响^[78-79]。接下来我们将探究次级衰变对轻粒子的集体流分布的影响及其作用机制。图3给出了入射能量为$ 40\; {\rm{MeV/nucleon}} $时Au+Au碰撞中⁴He粒子的直接流$ v_{1}^{} $($ b = 2 \sim 5.5 $ fm)和椭圆流$ v_{2}^{} $($b = 5.5 \sim 7.5$ fm)的约化快度分布，演化停止时间为$ t $ = 200 fm/$ c $。当考虑了预碎片的退激之后，新产生的⁴He粒子主要来源于大质量碎片的衰变，并继承了母核的部分动力学性质，导致⁴He粒子的集体流$ v_1^{} $和$ v_2^{} $的值均有显著的改变，$ v_1^{} $在中心快度的斜率变小及$ v_2^{} $的值增加。由图2可知，考虑预碎片的衰变之后，⁴He粒子的产额有着明显的提升，并且分布出现了双峰结构，相应地，预碎片的衰变也将对轻粒子集体流的分布产生一定的影响。有研究^{[40, 80-81]}表明，轻碎片的集体流随着其质量的增加而增大，因为大质量碎片具有更强的流效应，所以考虑它们的衰变后中心快度区域得到的⁴He粒子的集体流绝对值明显比原来的结果更高。文献[62]的研究显示，在中能区考虑衰变效应后得到的⁴He粒子的直接流分布较好地再现了FOPI实验组的结果。

为了定量地评估预碎片的衰变对集体流的影响及其随束流能量的变化，图4给出了$ E_{\rm{lab}}^{} $= 50，400 MeV/nucleon时不同中心度下$Z = 1$粒子和自由质子的集体流参数($ v_{11}^{} $和$ v_{20}^{} $)随时间的演化。这里$ v_{11}^{} $和$ v_{20}^{} $通过拟合得到，假设$v_{1}^{}(y_{0}^{}) = v_{10}^{}+v_{11}^{} \boldsymbol\cdot y_{0}^{}+v_{13}^{} \boldsymbol\cdot y_{0}^{3}$和$v_{2}^{}(y_{0}^{}) = v_{20}^{}+v_{22}^{} \boldsymbol\cdot y_{0}^{2}+ v_{24}^{} \boldsymbol\cdot y_{0}^{4}$(拟合区间为$ |y_{0}^{}| $ < 0.4，与实验组中使用的一致^{[74, 82-83]})。首先，可以看到在$ E_{\rm{lab}}^{} $= 50 MeV/nucleon时，预碎片的衰变对$ v_{11}^{} $和$ v_{20}^{} $的影响比在$ E_{\rm{lab}}^{} $= 400 MeV/nucleon下的影响更加明显。其次，考虑预碎片的衰变后，提高(压低)了$ v_{11}^{} $($ v_{20}^{} $)的值，并且得到的结果更接近实验测量值。因为重离子碰撞过程中的记忆效应及预碎片衰变出的子核继承了部分母核的动力学性质，而大质量碎片通常具有更强的集体流效应^{[33, 74, 82]}，即质量数越大，$ v_{11}^{} $($ v_{20}^{} $)的值越小(越大)。此外，在GEMINI++模型中，衰变得到的粒子在预碎片质心系内是各向同性出射的，因此得到的次级粒子能够保留部分原来预碎片中的集体流信息。

最后，在$ E_{\rm{lab}}^{} $= 50 MeV/nucleon时，在不考虑(考虑)次级衰变后，$ v_{11}^{} $的值是先随时间减小而后趋于饱和(增加)。这是因为在$ t $ = 150 fm/$ c $附近，核子处于反应末态的低密环境中，此时核子之间的末态相互作用是吸引的，所以可以观察到下降的$ v_{11}^{} $。随着时间的演化，尤其是在t = 300 fm/$ c $时，由于只有少量能够发射氢同位素的大质量碎片存在，对于GEMINI++的加入，发生的预碎片衰变对$ v_{11}^{} $的影响较弱。通过对比这两个能量下衰变对轻粒子集体流的影响，可以发现在碰撞能量相对较低时预碎片的退激效应更明显，这是因为在较低的碰撞能量下较大质量的碎片更容易形成，而这些碎片将导致轻结团产额的升高。

根据轻粒子产额、集体流和核阻止随时间的演化情况，发现$ t = 200 $ fm/$ c $之后继续演化所带来的轻粒子观测量的改变相对较小，故而我们将模拟的时刻停在$ t = 200 $ fm/$ c $。这里需要指出的是，虽然不同能量下反应的动力学阶段所经历的时间是不一样的，但在本文研究的能量范围内，只有在低能区，由于受到相互作用影响的时间较长、产生的大碎块质量较大等因素的影响，相较于在200 fm/c时停止输运模拟接入GEMINI++的结果，在300 fm/c时考虑预碎片衰变的轻粒子的集体流改变量大约为20%；在高能区，集体流的变化仅为0.2%。

图5给出了束流能量$ E_{\rm{lab}}^{} $= 40~400 MeV/nucleon范围内集体流参数$ v_{11}^{} $和$ v_{20}^{} $的激发函数并与实验值进行了对比。在不考虑预碎片的衰变时，较低能量下的$ v_{11}^{} $明显高于实验值；然而，一旦考虑衰变$ v_{11}^{} $($ v_{20}^{} $)的值，则明显地被压低(提高)，这与图4的结果相一致。此外，所研究能区范围内，GEMINI++的加入使得模拟计算结果$ v_{11}^{} $和$ v_{20}^{} $更加接近实验值。同时，随着束流能量的增加，预碎片的衰变对集体流的影响逐渐减小。原因是随着能量的升高，反应变得更加剧烈，大质量预碎片的多重数降低，GEMINI++处理的激发核也相应变少。

核阻止本领通常可以用来表征碰撞核的透明度，反映了碰撞系统原始纵向束流能量在反应中转化为内部自由度的程度。研究表明，核阻止本领敏感于核物质状态方程和两体散射截面，常被用于核物质状态方程的约束以及两体散射截面的研究中^{[34-35, 44]}。因此，研究衰变对核阻止本领的影响将会对状态方程以及两体散射截面等相关研究有着积极的作用。图6展示了在束流能量为40 MeV/nucleon的Au+Au中心碰撞($ b $= 0~2 fm)中考虑(短划线/实线)和不考虑(点虚线/点线)衰变前后³He和⁴He粒子在$ x $(蓝色线)和z(绿色线)方向的快度分布以及相应的$ R_E^{} $的值。可以看到，衰变对³He和⁴He粒子的快度分布有着明显的差异，但是相应的$ R_E^{} $值的差别却很小。结合图2的结果可以看出，预碎片的衰变确实会影响轻粒子的产额分布，但是，由于GEMINI++中的衰变在预碎片质心系内是各向同性的，因此对于各向异性参量的核阻止本领影响较小。

与图5相同，图7给出了Au+Au中心碰撞中考虑衰变前后自由质子(a)和$ Z $= 1粒子(b)的核阻止本领$ R_E^{} $和$ vartl $的束流能量激发函数。很明显，考虑衰变后，$ R_E^{} $和$ vartl $的数值均被拉低，并且能更好地描述实验数据。此外，衰变对核阻止本领的影响随着束流能量的增加而逐渐减弱。原因是在相同的碰撞参数下，随着入射能量的升高，反应程度加剧，产生的大质量激发态预碎片多重数逐渐降低，故而预碎片的退激效应逐渐减弱。与产生的预轻碎片和自由粒子不同，由大质量的激发态预碎片衰变产生的轻碎片和自由粒子的出射是各向同性的，这些较大质量的预碎片通常具有较弱的核阻止本领($ R_E^{} $和$ vartl $较小)^[84-85]，因此衰变产生的轻碎片和自由粒子将会继承大质量的预碎片的动力学性质。因此，通过使用GEMINI++考虑衰变后，整体的轻碎片和自由粒子的核阻止本领略有降低，并且能够更好地描述实验结果。

综上所述，本文研究了在中能Au+Au碰撞中，激发态预碎片的衰变对末态轻粒子的产额分布、集体流和核阻止本领的影响。预碎片由动力学模型UrQMD得到，而这些预碎片的衰变则由GEMINI++进行处理。结果表明，在相对较低的入射能量下预碎片的衰变对轻粒子的产额分布和集体流有着较为明显的影响，但对核阻止本领的影响相对较弱。这是因为由较大质量的激发态预碎片通过衰变产生的轻粒子继承了激发态预碎片的部分动力学信息。此外，随着束流能量的增加，预碎片的退激逐渐减弱，这是由于束流能量越高，产生的激发态大质量预碎片越少所致。研究结果表明，在所研究的能量范围内利用集体流和核阻止本领提取相关核物质信息和动力学信息时需要考虑衰变的效应。