Heavy Quark Potential in the Relativistic Heavy-ion Collisions

在相对论重离子碰撞中，会产生由夸克和胶子构成的高温物质，称为“夸克胶子等离子体” (QGP)^[1]。与强子气体不同，QGP是由部分子之间的强相互作用主导的。研究高温下的强相互作用和夸克胶子等离子体的输运性质，是高能核物理的研究热点之一。在QGP中，部分子带色荷，会屏蔽一部分重夸克偶素的相互作用势，使得束缚能变小。当色屏蔽效应足够强时，重夸克偶素的束缚态会被溶解。同时，部分子的非弹性散射过程，如胶子散射或渐近自由粒子散射过程，也会解离重夸克偶素。重夸克偶素还可能与QGP介质的整体相互作用，被解离，这个过程称为朗道阻尼。这些QGP效应会明显减少相对论重离子碰撞中的重夸克偶素产额。因此，1986年，粲偶素$ J/\psi $的产额反常压低现象，被提出作为QGP产生的信号之一^[2]。目前，在美国的相对论重离子对撞机(RHIC)^[3]和欧洲的大型强子对撞机(LHC)^[4]进行原子核-原子核对撞，看到了粲偶素和底夸克偶素的产额压低现象，被认为是QGP存在的强烈信号之一。

目前有很多理论模型研究重夸克偶素在高温介质中的演化过程。例如，清华大学开发的玻尔兹曼输运模型^[5]系统考虑了重夸克偶素的解离过程和重产生过程，并对粲偶素和底夸克偶素的产额、动量分布和集体流做了很好的研究。美国TAMU研究组的输运方程^[6]，MIT研究组开发的半经典输运方程^[7]，也对重夸克偶素的各个实验观测量做了大量研究。美国相关研究组开发的薛定谔方程模型^[8]以及天津大学合作组^[9]开发的薛定谔方程模型，也研究了高温环境中的重夸克偶素波函数演化。它们考虑了高温介质对有限温度下重夸克势的实部和虚部的影响，研究了重夸克偶素的波函数演化。

在实验中，已经观测到不同底夸克偶素态$ \varUpsilon(1S,2S,3S) $的核修正因子有一个连续压低的现象，即更高的束缚态由于具有更小的束缚能，会受到QGP更强的解离效应。核修正因子是衡量原子核效应对重夸克偶素影响大小的一个观测量。当QGP温度较高的时候，重夸克偶素的相互作用势会被改变，进而使得重夸克偶素在高温介质中发生解离。且这种解离效应与有限温度下的重夸克势直接关联。此研究将通过重夸克偶素的产额压低现象，来研究有限温度下的重夸克相互作用势。

本文的内容包含以下几部分：在第1节，将介绍含时薛定谔方程，以及有限温度下的重夸克势选取，并介绍重离子对撞中重夸克偶素的初始条件；QGP的温度演化也将做简单的介绍；第2节，计算原子核对撞中的底夸克核修正因子，并将其与相应的实验数据进行对比。最后给出总结。

实验通常通过双轻子衰变过程来测量底夸克偶素$ \varUpsilon $。这些$ \varUpsilon $态可以被视为真空康奈尔势的本征态。然而，在有限温度下，底夸克偶素的相互作用势会发生改变。因此，在有限温度下考虑重夸克势，$ b\bar b $波函数中各个态的比例会随时间而变化。当$ b\bar b $波包离开QGP介质后，其中各个本征态的比例也会发生改变，这种改变的程度反映了QGP介质对重夸克势的影响程度。由于底夸克的质量很大，因此在底夸克偶素的质心系下，束缚态中的$ b $夸克和$ \bar b $夸克的运动可以被视为非相对论过程。因此，可以使用经典的薛定谔方程来描述底夸克偶素波函数的演化。

如果不考虑QGP介质的黏滞系数，而是认为QGP是理想流体，则在理想流体中，重夸克势依然是一个屏蔽的康奈尔势。如果相互作用势是球对称的，则波函数中不同本征态只能在相同角量子数的本征态之间跃迁，比如$ \varUpsilon(1S,2S,3S) $ 几个态之间可以由于有限温度势的影响而发生跃迁，但它们不能跃迁到P-态。这样，薛定谔方程可以分离成径向部分和角向部分。径向含时薛定谔方程可以写成^[10]

方程中$ \psi(r,t) $是$ b\bar b $的波函数；$ L $ 是角量子数；$ T $ 是介质的温度。$m_\mu = m_{\rm{b}}/2$是在重夸克偶素质心系下的重夸克约化质量。底夸克的质量取为$m_{\rm{b}} = 4.5$ GeV。$ V(r,T) $ 是有限温度下的重夸克势，它包含实部和虚部。一般，实部的重夸克势是介于重夸克偶素的自由能$ F(r,T) $ 和内能$ U(r,T) $之间。自由能已经由格点量子色动力学(QCD)理论计算出来，可以采用以下的形式对数据点拟合：

方程中$m_{\rm{D}} = T\sqrt{{4{\rm{\pi}} N_{\rm c}\over 3}\alpha \left(1+{N_f\over 6}\right)}$是屏蔽质量；$ N_{\rm{c}} = 3 $和$ N_{\rm{f}} = 3 $是色荷和味的数量。$\alpha = {\pi}/12$, $\sigma = 0.2\ {\rm{GeV}}^2$这两个参数来自真空康奈尔势，它们的取值可以通过拟合真空底夸克偶素不同本征态的质量来确定下来。而重夸克偶素的内能可以通过自由能和熵来确定下来，$U(r,T) = F+T (-{\rm{\partial}} F/\partial T)$。在下面的计算中，我们将把相互作用势的实部取成F和U，或者它们的组合，这样分别带入到薛定谔方程中进行计算，得到最终的$ \varUpsilon(1S,2S,3S) $的核修正因子，并且与实验数据进行比较。在QGP介质中，重夸克偶素束缚态受到色屏蔽效应而使得重夸克势的实部发生改变。除此以外，由于受到部分子的碰撞过程以及介质的朗道阻尼效应，重夸克偶素束缚态在介质中会发生衰变或者解离。这使得重夸克势包含虚部。格点QCD理论对相互作用势的虚部进行了一些计算。我们基于格点QCD的计算结果，采用以下的形式拟合重夸克势的虚部^[11]。采用两个曲线来考虑虚部势的不确定性，

其中$ \bar r = r/{\rm fm} $是无量纲的变量。方程中的参数取值为 $a_1 = 0.209 6，\; a_2 = 0.148 6，\; a_3 = 0.08 54$，$b_1 = 0.3605， \; b_2 = 0.2536，\; b_3 = 0.0909$。这里i是虚数。这两条曲线对应图1的条带1(Band 1)的上限和下限。为了更多的考虑数据点的误差，更大的条带(Band 2)也将带入到薛定谔程序中进行计算。

在相对论重离子对撞中，会产生高温的夸克胶子等离子体物质和重夸克偶素。底夸克偶素在QGP物质中运动时，它的波函数演化就会受到高温介质的影响。一个$ b\bar b $波包中，不同底夸克偶素束缚态的比例会随着时间变化，比如当中的径向和角向量子数为$ n $和$ l $的本征态的比例定义为$ |c_{nl}(t)|^2 $,其中系数可以通过波包往相应的本征态波函数$ |R_{nl}(r)\rangle $上投影得到，$ c_{nl} = \langle R_{nl}|\psi\rangle $。而在原子核-原子核对撞中，可能会在空间不同的地方产生多个底夸克偶素，这些底夸克偶素会从不同点出发，向四周运动最终跑出火球。所以，我们需要考虑多个底夸克偶素的演化，每一个底夸克偶素沿着运动轨迹感受到不同的QGP局域温度，因此也会带入不同的重夸克势进行演化。当把大量的底夸克偶素在QGP中演化后，我们可以通过系综平均，得到平均一个$ b\bar b $波包在QGP中演化的结果：

当一个$ b\bar b $波包在初始位置$ {\boldsymbol{x}}_\varUpsilon $、初始动量$ {\boldsymbol{p}}_\varUpsilon $产生，它在QGP中运动，并且波函数演化由薛定谔方程来描述，在$ t $时刻，此波包中含有的本征态(径向和角向量子数为$ n $,$ l $)的比例为$ |c_{nl}(t, {\boldsymbol{x}}_{\varUpsilon}, {\boldsymbol{p}}_{\varUpsilon})|^2 $. 在核核碰撞中，在各个相空间点($ {\boldsymbol{x}}_\varUpsilon,{\boldsymbol{p}}_\varUpsilon) $都可能产生一定数量$ {\rm{d}}N_{{\rm{AA}}}^{\varUpsilon}/({\rm{d}}{\boldsymbol{x}}_\varUpsilon {\rm{d}}{\boldsymbol{p}}_\varUpsilon) $的$ b \bar b $波包。$ \langle |c_{nl}(t)|^2\rangle_{\rm{en}} $表示系综平均后的结果，即平均一个底夸克偶素本征态($ n,l $)从QGP中产生之后,跑出火球时产额还剩余$ \langle |c_{nl}(t)|^2\rangle_{\rm{en}} $。

重夸克偶素主要是部分子的硬散射过程产生的，它的初始空间密度正比于两个原子核的厚度函数的乘积，

表达式中$T_A = \int {\rm{d}}{\textit{z}}_A \rho_A({\boldsymbol{x}}_T,{\textit{z}}_A)$是原子核的厚度函数；$ \rho_A $是原子核的密度，这里取为Woods-Saxon分布。$ {\boldsymbol{b}} $是碰撞参数，代表着两个对撞的原子核的球心运动轨迹的垂直距离。原子核的碰撞被看成是多个核子碰撞的有效叠加，但同时原子核的冷核效应会影响重夸克偶素的产生。比如，核遮蔽效应中，周围核子的分布会影响某核子中的部分子分布，进而影响到硬过程产生的重夸克偶素。我们可以通过EPS09程序^[12]计算出核遮蔽效应对底夸克偶素的影响，用一个比值$ {\cal{R}}_S $表示。且核遮蔽效应在核子密度较大时会更强，所以$ {\cal{R}}_S $依赖于具体的坐标位置。

在动量空间中，底夸克偶素$ \varUpsilon(1S) $的分布已经被一些实验测量了。通过质子-质子碰撞的实验数据，我们可以拟合出$ \varUpsilon(1S) $的初始动量分布情况。它的归一化分布，可以拟合成以下形式：

其中$ \phi $是横平面中的角度(定义原子核加速方向为纵向z)。$\langle p_{\rm{T}}^2\rangle_{{\rm{pp}}} = (80,55,28)\ {\rm{(GeV}}/c)^2$ 是在5.02 TeV, 2.76 TeV, 200 GeV碰撞能量下$ \varUpsilon(1S) $态的平均横动量平方，$ n = 2.5 $。这两个参数的值是通过拟合质子-质子碰撞中$ \varUpsilon(1S) $的横动量分布来确定的。而底夸克偶素的产生截面，也在表1中给出了。$ \sigma_{\rm{exp}} $是底夸克偶素的产生截面，里面包含了不同态之间的衰变过程对底夸克偶素产额的修正，比如$\chi_{\rm{b}}(1P) \rightarrow \varUpsilon(1S)，\varUpsilon(2S) \rightarrow \varUpsilon(1S)，\chi_{\rm{b}}(2P) \rightarrow \varUpsilon(1S)， \varUpsilon(3S) \rightarrow \varUpsilon(1S)$。这些过程会增大$ \varUpsilon(1S) $的产额并减小激发态的产额。由于这个衰变过程一般是底夸克偶素跑出火球之后才发生的，即是在薛定谔方程演化结束之后进行的，在薛定谔方程开始演化时，不同底夸克偶素态的产额之比满足表格1中的$\sigma_{{\rm{direct}}}$比值,这个截面去除了以上衰变过程的影响。不同态之间的衰变比例比如(n,l)态向1S态衰变的比例$ {\cal{B}}_{nl\rightarrow 1S} $可以通过查粒子表(particle data group)得到。这样，在重离子碰撞早期，在QGP介质中将产生不同的底夸克偶素态，它们的产额满足$ \sigma_{\rm{exp}} $的比值。这些底夸克偶素态的内部演化就可以通过含时薛定谔方程描述。

一个底夸克偶素在QGP中演化结果，可以通过$\langle | c_{nl}(t)|^2\rangle_{{\rm{en}}}$表达式给出。当大量的底夸克偶素在QGP中演化时，它们的运动路线不同，感受到的QGP局域温度也不同，这使得它们跑出QGP之后的末态波函数也不一样。对大量底夸克偶素做平均，并且考虑不同底夸克偶素本征态之间的衰变贡献，原子核-原子核碰撞中$ \varUpsilon(1S) $的核修正因子可以写为

其中：$f_{{\rm{pp}}}^{nl}$是质子-质子碰撞中底夸克本征态(n,l)的分布；$ {\cal{B}} $是不同本征态之间的衰变分之比。这个核修正因子的含义与实验测量的数据一致，可以和实验数据进行对比。

薛定谔方程中，重夸克势还依赖于介质的温度。QGP的温度演化可以通过求解流体力学方程来得到。清华大学研究组建立了(2+1)维的理想流体力学方程，其中在纵向方向采用Bjorken膨胀来描述流体演化，而横平面的加速膨胀可以由流体力学方程给出。随着QGP的膨胀，温度降低，并在某个温度$T_{\rm{c}} \sim 165$ MeV发生相变，变成强子气体。QGP的初始能量密度可以通过分析实验测量的末态强子密度来确定。实验测量的末态轻强子越多，则表示QGP的初始能量密度越高。QGP初始能量密度在坐标空间的分布可以认为是正比于二元碰撞数$N_{{\rm{coll}}}({\boldsymbol{x}}_T)$和参与碰撞核子数$N_{\rm{p}}({\boldsymbol{x}}_T)$。在5.02 TeV Pb-Pb碰撞中，QGP经过$ \tau_0 = 0.6 $ fm/c的时间达到预平衡状态，此时QGP中心点的最高温度约为510 MeV。在2.76 TeV Pb-Pb和200 GeV Au-Au碰撞中，$ \tau_0 $时刻火球中心的最高温度分别为484 MeV和390 MeV。流体力学方程从$\tau \geqslant \tau_0$时刻开始演化。

重夸克偶素的波函数演化和热密介质的演化分别由薛定谔方程和流体力学方程描述。在$\sqrt{s_{{\rm{NN}}}} = 5.02$ TeV Pb-Pb碰撞中，底夸克偶素的核修正因子$R_{{\rm{AA}}}$随着参与碰撞核子数$N_{\rm{p}}$的分布如图2所示。图中的三个条带是理论计算得出的$ \varUpsilon(1S,2S,3S) $的结果，条带宽度反映了重夸克势虚部的不确定性。两个子图分别对应实部的势取成$V_{\rm{R}} = U$和$V_{\rm{R}} = F$。值得注意的是，当采用较强的相互作用势($V_{\rm{R}} = U$)时，理论计算结果满足$R_{{\rm{AA}}}(1S) > R_{{\rm{AA}}}(2S)> R_{{\rm{AA}}}(3S)$这种关系。这表明在有限温度下，重夸克势更接近内能。而当$V_{\rm{R}} = F$时，重夸克势偏弱，使得波函数倾向于向外扩散，这在物理上表示基态向高激发态转变。这最终会增加$R_{{\rm{AA}}}(3S)$的值，明显降低$R_{{\rm{AA}}}(1S)$的值，这些都与实验结果不吻合。当重夸克势的实部取介于F和U之间的形式时，$R_{{\rm{AA}}}$的计算结果介于图2的两种情形之间。

在横动量分布的核修正因子中，当重夸克势的实部取成$V_{\rm{R}} = U$时，同样能够观察到不同底夸克偶素的连续压低现象，即$R_{{\rm{AA}}}^{1S}(p_{\rm{T}}) > R_{{\rm{AA}}}^{2S}(p_{\rm{T}})> R_{{\rm{AA}}}^{3S}(p_{\rm{T}})$。这种理论计算能够很好地吻合实验数据。当采用自由能时，这种连续压低的现象就消失了。因此，理论研究表明，不同底夸克偶素的连续压低现象可以用来测量有限温度下的重夸克势的实部。这种现象在不同的碰撞能量下都能够观测到。例如，在图3中，薛定谔模型计算了2.76 TeV Pb-Pb和200 GeV Au-Au碰撞下，底夸克偶素不同态的核修正因子。可以发现，在不同碰撞能量下，环境的温度变化较大，但理论计算依然能够反映出$ V_{\rm R} = U $的情形能够较好地解释底夸克偶素不同态的连续压低现象。因此，我们可以根据底夸克偶素的连续压低现象来确定有限温度下的重夸克势的实部。但由于核修正因子还依赖于重夸克势的虚部，而虚部势存在非常大的不确定性，为了研究不同的虚部势对结果的影响，验证它是否会改变“连续压低”现象，我们采用不确定度更大的$ V_I $(图1的band 2)，带入薛定谔方程进行计算，相关结果展示在图4中。

在图4中，两个图分别把重夸克势的实部取成内能U和自由能F。而重夸克势的虚部取成图1的band 2情形，即$ V_I $具有更大的不确定性，这会使得计算得到的$R_{{\rm{AA}}}$也具有很大的不确定性，如图4所示。值得一提的是，即使在图4中，计算结果依然没有把图1中数据点的全部误差都考虑进来，只是考虑了一部分误差。所以，可以发现，底夸克偶素的核修正因子对$ V_I $的取值较为敏感。由于实验的底夸克偶素实验点的误差远比我们理论计算的误差小，这也使得我们可以通过底夸克偶素的核修正因子来拟合有限温度下的重夸克势的虚部，给出误差较小的$ V_I $表达式。而在图4中，采用$V_{\rm{R}} = U$的理论计算依然体现底夸克偶素$ \varUpsilon(1S,2S,3S) $连续压低的现象，在取不同$ V_I $时依然存在。所以，我们可以认为，连续压低的现象主要由重夸克势的实部来决定；而重夸克势的虚部主要影响核修正因子的大小。

本研究采用含时薛定谔方程来研究底夸克偶素在高温高密的夸克胶子等离子体中的波函数演化。通过采用不同的有限温度下的重夸克势，我们计算出5.02 TeV Pb-Pb, 2.76 TeV Pb-Pb, 200 GeV Au-Au碰撞下，底夸克偶素的核修正因子。理论计算与实验数据对比表明，不同底夸克偶素$ \varUpsilon(1S,2S,3S) $的连续压低现象，主要受到重夸克势的实部影响，且支持重夸克势的实部接近内能,$V_{\rm{R}} = U$。当取较弱的重夸克势时，重夸克偶素的波函数会向外明显扩散，这使得基态向激发态发生转变并增加末态激发态的产额和核修正因子。这种$ \varUpsilon(1S,2S,3S) $连续压低的现象，不会因为采用不同的虚部势而发生改变。重夸克势的虚部存在较大的不确定性，当采用较大不确定性的$ V_I $时，底夸克偶素的核修正因子变化很大。这表明底夸克偶素的$R_{{\rm{AA}}}$对$ V_I $的取值较为敏感。考虑到实验上测量的$R_{{\rm{AA}}}$误差较小，因此可以从此出发来给出误差较小的$ V_I $表达式。