在进行具体的计算前,首先通过分析该碰撞系统的一些基本特征来指导理论模型的构建。在本文的工作中,仅关注氦二聚体两个中心均因入射相对论离子的作用单电离的情形。因此,根据氦原子第一电离能的大小(24.6 eV),可以将氦原子描述为具有有效电荷$ Z_{\rm t} = 1.345 $的类氢离子。另一方面,在离子与原子碰撞电离过程中,即使入射离子的能量很高,对总截面的主要贡献依然来自低能电离电子,所以我们将使用非相对论波函数来描述电子的状态。
为了方便进行理论推导,将氦二聚体的质心选为参考系原点,并且考虑到入射离子速度可与光速比拟,可以将它的运动近似为一条经典直线轨道,标记其坐标为 $ {{{\boldsymbol{R}}}} (t) = {{{\boldsymbol{b}}}} + {{{\boldsymbol{v}}}}_p t $。其中,$ {{{\boldsymbol{b}}}} = (b_x, b_y, 0) $ 是入射离子的碰撞参数。$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p = (0, \, 0, \, v_p) $为入射离子的速度矢量,假设沿$ z $轴方向。$ t $为入射离子的时间。除此之外,在整个碰撞过程,电子的速度远小于入射离子的速度,在这种情况下,对称程函近似能够给出与实验符合较好的预测[15-16],所以适合用于目前考虑的碰撞体系。
将氦二聚体的两个原子视为类氢离子时,体系的含时哈密顿量为
在式 (1)中,$ \hat {{{\boldsymbol{p}}}}_{1, \, 2} $分别为两个活跃电子的动量算符;$ {{{\boldsymbol{r}}}}_0 $为其中一个氦原子核的位置矢量,另一个氦原子核的位矢则为$ - {{{\boldsymbol{r}}}}_0 $。$ {{{\boldsymbol{r}}}}_j = (x_j , \, y_j , \, z_j ) $为第$ j $($ j=1, 2 $)个电子的坐标,$ {{{\boldsymbol{r}}}}_{12} = {{{\boldsymbol{r}}}}_1 - {{{\boldsymbol{r}}}}_2 $。$ \hat W (t) $是入射离子与电子的相互作用,具体表达式为
式中:$ \varphi_j $与$ {{{\boldsymbol{A}}}}_j $为入射离子在第$ j $个电子处的标势和矢势;$ c $为光速。在离子原子碰撞理论中,Lienard-wichert势是最常用于描述入射离子的场,这些势函数为
其中$ \gamma = \sqrt{ 1 - v_p^2/c^2 } $为入射离子的洛伦兹因子,以及${{{\boldsymbol{s}}}}^{}_j = \left[ x^{}_j-b^{}_x, \, y^{}_j-b^{}_y, \, \gamma \left( z^{}_j - v^{}_p t \right) \right]$。
在对称程函近似中,电子从总能量为$ \varepsilon^T_i $的初态电离至总能量为$ \varepsilon^T_f $的末态,这一过程的跃迁振幅为
其中初末态扭曲波函数为
在式 (5)中,$ \psi_i $和$ \psi_f $是未受扰动的氦二聚体的初末态波函数,相应的初末态能量为$ \varepsilon^T_i $、$ \varepsilon^T_f $,$ \alpha_p = Z_p/v_p $。一般直接计算$ a_{fi}( {{{\boldsymbol{b}}}} ) $会遇到很大困难,方便可行的做法是引入其傅里叶变换:
这里$ {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp $为垂直于速度$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的二维矢量,与$ {{{\boldsymbol{b}}}} $同平面,物理含义为入射离子传递给电离电子的动量。在式 (6)中,我们首先有对两个电子的6维坐标积分,剩余的三维积分可以看做对入射离子空间坐标的积分,即${\rm d}^3 {{{\boldsymbol{R}}}} = {\rm d}^2 {{{\boldsymbol{b}}}} v^{}_p {\rm d}t$。计算出对$ {\rm d}^3 {{{\boldsymbol{R}}}} $的积分后,式(6)可以写为如下形式:
上式中
以及
在式(7)中,$ {\boldsymbol \eta} $是垂直于$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的二维矢量,$ {\boldsymbol \xi}_p = \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp - {\boldsymbol \eta} ; q_{ \rm min}/\gamma \right) $以及$ {\boldsymbol \xi}_t = \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp - {\boldsymbol \eta} ;\; q_{ \rm min} \right) $,$ q_{\rm min} = (\varepsilon^T_f - \varepsilon^T_i)/v_p $。在式(10)和(11)中, $ \varGamma (x) $为欧拉伽马函数,$ F(a, \, b, \, c, \, x) $是高斯超几何函数[17],除此之外,$ \xi_{p, \, \perp} $为垂直于$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的分量。矩阵元$ {{{\boldsymbol{K}}}}_t ({\boldsymbol \xi}_t) $和$ L_t ({\boldsymbol \xi}_t ) $分别为
上式中$ \nabla_j $为作用于第$ j $个电子空间坐标的梯度算符。从式 (6)出发,我们可以得到电子的全微分散射截面,即截面对两个电离电子的动量以及二维动量转移$ {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp $的微分:
如前所述,氦二聚体有极低的束缚能和很大的核间距。这说明,可以使用两个分离的原子状态来近似氦二聚体的初末态:
其中$ \phi_b ({{{\boldsymbol{r}}}}) $和$ \phi_{{{\boldsymbol{p}}}}({{{\boldsymbol{r}}}}) $是核电荷数为$ Z_{\rm t} = 1.345 $的类氢离子的基态和连续态波函数(渐进动量为$ {{{\boldsymbol{p}}}} $)。特别地,初态总能量为$ \varepsilon^T_i = 2 \varepsilon_0 $,$ \varepsilon_0 $为类氢离子基态能量。
除了上述方法外,考虑到氦二聚体核间距较大时,每个氦原子可以近似为独立演化,因此,还可以直接将每个原子的电离概率相乘以获得双电离概率,这种做法完全忽略了两个电子之间的相互作用。此时,两个原子同时电离的跃迁振幅为
其中$ a^{\rm I}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) $和$ a^{\rm II}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) $为处于坐标$ {{{\boldsymbol{r}}}}_0 $和$ {\boldsymbol {-r}}_0 $处的氦原子的跃迁振幅。与之前类似,现引入傅里叶变换来简化计算:
上式中,利用了傅里叶变换的性质“乘积的傅里叶变换为每个量独立变换的卷积”,即
为每个原子的在动量空间的跃迁振幅。利用与之前类似的方法,对入射离子的坐标积分后,可以将两个氦原子同时电离的跃迁振幅$ S_{fi} ({{{\boldsymbol{q}}}}_\perp) $写为
式中:$ \mathcal{M} $与式(9)中相同;$ {{{\boldsymbol{p}}}}_{1, 2} $为电离电子的动量,对应的电离电子能量为$\varepsilon^{}_{f1}$和$\varepsilon^{}_{f1}$。变量${{{\boldsymbol{q}}}}^{}_{1, 2}$为
目前建立的这两种理论方法看起来都是合理的,我们需要进一步进行数值计算,通过对比两种方法的结果,可以更好地理解两种理论模型的特性,以及计算结果的合理性。为方便后文的讨论,根据每种方法的特点,我们将本节第一种方法称为双电子对称程函近似,将第二种方法称为基于对称程函近似的卷积方法。