Mass Splitting of Excited Charmed and Bottom Mesons in 1P Wave

因与氢原子非常相似，单重介子系统的研究一直受人们关注。二十多年来，重介子家族不断扩大，这得益于B工厂实验的BaBar、Belle、CLEO和最近的LHCb合作组^[1]发现了大量激发态粲介子和一系列激发态底介子。尽管如此，一些粲介子和底介子激发态的结构仍不清楚，需要人们去确定。例如，$ B_{sJ}^ * \left( {5850} \right) $可以理解为$ s\bar b $态，但需进一步确认。$ {D_J}{\left( {3000} \right)^0} $^[2-3]的情况与之类似，其结构仍未确定。D0合作组^[4-5]已观测到$ X{\left( {5568} \right)^ \pm } $态，但目前该粒子仍未被LHCb合作组^[4-5]所发现。一些奇异粲介子，例如最近发现的$ D_{s0}^ * \left( {2317} \right) $，$ {D_{s1}}\left( {2460} \right) $和$ {X_{0,1}}\left( {2900} \right) $^[6]，被认为含有奇异的成分。为此，包括格点模拟^[7-8]在内的很多方法^[9-21]被用来研究重轻介子谱，详情见文献[22-23]等。在夸克模型中^[24]，激发态粲介子和底介子的窄质量劈裂一直有争议。在本文中，我们结合线性Regge轨迹和相对论夸克模型重新考察了自旋宇称$ {J^ + } $($ J = 0 $, $ 1 $, $ 2 $)的单重(SH)介子(D，$ {D_s} $，B和$ {B_s} $)的P波质量，并解释它们的窄质量劈裂主要是由介子内轻夸克的相对论效应引起。对P波单重介子的质量计算表明，底介子B和$ {B_s} $的两个实验缺失态分别是质量5 659 MeV的$ {0^ + } $态和质量为5 788 MeV的$ {0^ + } $态。与实验数据相比有质量平移的介子$ {D_{s0}}\left( {2317} \right) $和$ {D_{s1}}\left( {2460} \right) $可能存在耦合道效应。

在表1和表2中，我们列出了粲介子和底介子的S波和P波质量的实验值^[1]以及典型的夸克模型预言^[9]。

我们将P波单重介子$ \bar qQ $($Q = c,\,b,\,{\text{ }}q = {u \mathord{\left/ {\vphantom {u d}} \right. } d},\,s$)的质量分为两个部分，即$ M = \bar M + \Delta M $，其中$ \bar M $为自旋无关部分的质量，$ \Delta M $为自旋相关部分的质量。为计算$ \bar M $，我们采用文献[25-26]中的线性Regge关系，它由QCD弦模型所推导出并成功应用于单重强子中^[27-28]。设$ {\bar M_L} $是轨道激发为$ L $的单重介子的质量，则Regge轨迹关系式为^[25-26]

其中：a是重夸克和轻反夸克之间的QCD弦张力系数；重夸克质量为$ {M_Q} $；轻反夸克质量为$ {m_q} $。 当$ Q = c\left( b \right) $时，$ {m_{{\text{bare}}Q}} = 1.275\left( {4.18} \right)\;{\text{GeV}} $，这里$ {m_{{\text{bare}}Q}} $表示重夸克Q的裸质量。对于单重介子，用轻反夸克$ \bar q $的有效质量$ {m_q} $来代替文献[25]中轻的双夸克质量$ {m_d} $， 即可得到方程(1)。 在方程(1)中，截距$ {a_I} = \left( {{m_q} + } \right.{M_Q} - $ ${\left. {{{m_{{\text{bare}}Q}^2} \mathord{\big/ {\vphantom {{m_{{\text{bare}}Q}^2} {{M_Q}}}} } {{M_Q}}}} \right)^2}$和反夸克质量$ {m_q} $与重夸克非相对论动能${{P_Q^2} \mathord{/ {\vphantom {{P_Q^2} {{M_Q}}}} } {{M_Q}}}$有关，因为截距也可以写为$ {a_I} = \left( {{m_q} + } \right.P_Q^2 $ $ {\left. {{{} \mathord{\left/ {\vphantom {{} {{M_Q}}}} \right. } {{M_Q}}}} \right)^2} $，由此得到$ {P_Q} \equiv {M_Q}{v_Q} $，其中${v_Q} = {\left( {1 - {{m_{{\text{bare}}Q}^2} \mathord{\big/ {\vphantom {{m_{{\text{bare}}Q}^2} {M_Q^2}}} } {M_Q^2}}} \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}$为重夸克速度，它在重夸克极限下守恒。当L=0时，方程(1)可简化为重夸克对称性^[29]预言的基态质量方程:

注意，重夸克极限$ {m_{{\text{bare}}Q}} \to \infty $意味着，$ {M_Q} \cong {m_{{\text{bare}}Q}} $$ \to \infty \left( {{v_Q} \to 0} \right) $，而$ {P_Q} \equiv {M_Q}{v_Q} $是守恒的。结合单重重子和单重介子的实验质量可得到相应的夸克质量和弦张力系数$ a $，结果在文献[30]中给出，如表3所列，其中$ {a_{c\bar n}} $，$ {a_{c\bar s}} $，$ {a_{b\bar n}} $和$ {a_{b\bar s}} $分别代表D介子、$ {D_s} $介子、B介子和$ {B_s} $介子的弦张力系数。

由表3中列出的参数，代入方程(1)求得单重介子D($ {D_s} $)和B($ {B_s} $)的P波自旋平均质量。例如，粲介子D和$ {D_s} $的自旋平均质量$ \bar M\left( {{D \mathord{\left/ {\vphantom {D {{D_S}}}} \right. } {{D_S}}}} \right) $的计算结果为

其中$v_c^2 = 1 - {{m_{{\text{bare}}c}^2} \mathord{\big/ {\vphantom {{m_{{\text{bare}}c}^2} {M_c^2}}} } {M_c^2}} = 1 - \frac{{{{1.275}^2}}}{{{{1.44}^2}}} = 0.216$。类似地，我们可以计算出底介子B和$ {B_s} $的自旋平均质量($ v_b^2 = 1 - $${\left( {{{4.18} \mathord{\left/ {\vphantom {{4.18} {4.48}}} \right. } {4.48}}} \right)^2} = 0.129~4$)。

所有单重介子自旋平均质量的计算结果已在表4中列出。

为了计算P波单重介子的质量并求出相应的波函数$ {\Psi _M} $，我们考虑文献[9]中提出的相对论夸克模型，其中重夸克$ Q $和轻反夸克$ \bar q $之间的相互作用$ V + S $为色库仑势$ \left( V \right) $加上线性势$ \left( S \right) $，

其中${\boldsymbol{P}}\left( { - {\boldsymbol{P}}} \right)$为夸克$ \bar q\left( Q \right) $的三动量，$ {\alpha _s} $为强耦合参数，且

其中函数${\rm Erf}\left( x \right) = \left( {{2 \mathord{\big/ {\vphantom {2 {\sqrt \pi }}} } {\sqrt \pi }}} \right)\int_0^x {{\rm d}t{{\rm e}^{ - {t^2}}}}$是描述短程范围内轻反夸克$ \bar q $非点状性质的形状因子^[9]。这里的$ b $是与Regge轨迹斜率$ a $相关的禁闭参数，$ {C_0} $是常数。如表1和表2所示，文献[9]预言低能质量与实验值相当一致，但对激发态质量的预言，比实验数据偏大。

我们借助辅助场(AF)方法^{[32, 33]}来求解本征方程$ {H^{SI}}{\Psi _M} = \bar M{\Psi _M} $，其中$ \bar M $是我们所考虑的介子质量。AF方法的基本思想是通过引入一个辅助场$ \lambda $将非线性算符$ \sqrt O $重新表述为$ \sqrt O = {\text{mi}}{{\text{n}}_{\lambda > 0}}\left[ {{O \mathord{\left/ {\vphantom {O {\left( {2\lambda } \right) + {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 2}} \right. } 2}}}} \right. } {\left( {2\lambda } \right) + {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 2}} \right. } 2}}}} \right] $，其中最小化仅当$ \lambda = \sqrt O $时实现。假设$ \lambda $是一个慢变量，它满足一个半经典的、类Hartree方程$ \lambda = \left\langle {\sqrt O } \right\rangle $。据此，我们为第二个动量项引入一个辅助场$ {\mu _q} $，为S中的线性势$ br = \sqrt {{{\left( {br} \right)}^2}} $引入另一个辅助场变量$ \nu $，从而将哈密顿量(3)重写为

其中两个辅助场满足方程

这里$ {p^2} = {\left| {\boldsymbol{P}} \right|^2} $，且对第一个动量项做了重夸克($ {m_Q} \gg \left| {\boldsymbol{P}} \right| $) 展开。 在某种意义上，AF方法用类似于多体系统的平均场方法，将哈密顿量(3)线性化。显然，引入介子系统的有效约化质量$\mu \equiv {{{\mu _q}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu _q}} {\left( {1 + {{{\mu _q}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu _q}} {{m_Q}}}} \right. } {{m_Q}}}} \right)}}} \right. } {\left( {1 + {{{\mu _q}} \mathord{/ {\vphantom {{{\mu _q}} {{m_Q}}}} } {{m_Q}}}} \right)}}$后，方程(5)就约化为

若忽略色库仑相互作用，它就是一个三维谐振子（HO）的非相对论模型，谐振子频率为$\omega = {b \mathord{\big/ {\vphantom {b {\sqrt {\mu \nu } }}} } {\sqrt {\mu \nu } }}$。

注意，虽然哈密顿方程(7)看起来像HO的哈密顿量， $\bar M - {m_Q} \sim \omega \left( {L + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}} \right)$，但其能级不是均匀分布的，这是因为谐振子频率$\omega \sim {1 \mathord{\big/ {\vphantom {1 {\sqrt {\mu \nu } }}} } {\sqrt {\mu \nu } }}$与$ \sqrt {b\left( {L + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}} \right)} $成反比。这样，就与方程(1)所示的Regge关系$\bar M - {m_Q} \sim$$\sqrt {L + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}} $相一致。

由于存在色库仑项$ V\left( r \right) $，等式(7)的谐振子近似仅适用于$ V\left( r \right) $较小的情况，即r很大($r \gg {1 \mathord{\big/ {\vphantom {1 {\sqrt b }}} } {\sqrt b }}$)时。本文将$ V\left( r \right) $看成一阶微扰来计算自旋平均质量$ \bar M $。对短程夸克间极限下($ r \to 0 $)的径向波函数我们单独求解，这样就可以用它来计算由短程势$ V\left( r \right) $所引起的自旋相关质量$ \Delta M $的贡献，具体结果将在第五部分给出。

在长程范围内，由谐振子波函数${\psi ^N} = R_{{n_r}L}^N\left( {\alpha ,\,r} \right)$${Y_{Lm}}\left( {\theta ,\,\phi } \right)$可给出单重介子的波函数$ {\Psi _M} $。其中，量子数$ N \equiv 2{n_r} + L $，$\alpha = \sqrt {\mu \omega } = {\left( {{{{b^2}\mu } \mathord{/ {\vphantom {{{b^2}\mu } \nu }} } \nu }} \right)^{{1 \mathord{/ {\vphantom {1 4}} } 4}}}$是逆谐振子长度，$ {Y_{Lm}} $为球谐函数，$ R_{{n_r}L}^N\left( {\alpha ,r} \right){\sim}{\left( {\alpha r} \right)^L}L_{{n_r}}^{L + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}\left[ {{{\left( {\alpha r} \right)}^2}} \right] $$ {{\rm e}^{{{ - {{\left( {\alpha r} \right)}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\left( {\alpha r} \right)}^2}} 2}} \right. } 2}}} $为谐振子的径向波函数，$ L_{{n_r}}^{L + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}} $为对应的拉盖尔多项式。

对于$ {n_r} = 0 $的纯轨道态，可以用近似等式${\mu _q} \simeq \sqrt {m_q^2 + {{\left\langle {{p^2}} \right\rangle }_N}} $和$\nu \simeq b\sqrt {{{\left\langle {{r^2}} \right\rangle }_N}} $来将等式(6)写为

其中用到了谐振子态$ {\psi ^N} $下的$ {p^2} $和$ {r^2} $平均值。由此可以写出辅助场变量$\left\{ {\mu ,\,\nu } \right\}$所满足的两个非线性方程：

借助数值迭代方法(附录)，我们可以在长程和短程区域内分别求解方程(10)。选取输入值$ {m_q} $, $ b $和$ {\alpha _s} $如表5中所列，其中的夸克质量源自文献[30]，则可解出辅助场变量$\left\{ {\mu ,\,\nu } \right\}$和${\mu _q} = {\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu {\left( {1 - {\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu {{m^{}_Q}}}} \right. } {{m^{}_Q}}}} \right)}}} \right. } {\left( {1 - {\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu {{m^{}_Q}}}} \right. } {{m^{}_Q}}}} \right)}}$的解如表6所列，其中还列出了计算自旋耦合参数所需的其他参数$ {\varepsilon _{V,S}} $。在图1中，我们展示了单重介子系统(P波)径向波函数，即哈密顿量(7)的本征函数数值解，其中输入值如表5所列。

在短程范围，$ V $相对于谐振子势中占主导地位，我们可以通过忽略后者来求解哈密顿量(7)的本征方程。小r范围内径向波函数[记为$ R_{{n_r}L}^H\left( r \right) $]的结果是知道的，即类氢原子解，其中有效玻尔半径${a_B} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( {{\mu ^{}_H}{k_s}} \right)}}} \right. } {\left( {{\mu ^{}_H}{k_s}} \right)}}$，约化质量${\mu ^{}_H} = {{{\mu ^{}_{qH}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu ^{}_{qH}}} {\left( {1 + {{{\mu ^{}_{qH}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu ^{}_{qH}}} {{m_Q}}}} \right. } {{m^{}_Q}}}} \right)}}} \right. } {\left( {1 + {{{\mu ^{}_{qH}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu ^{}_{qH}}} {{m^{}_Q}}}} \right. } {{m^{}_Q}}}} \right)}}$，$ {\mu _{qH}} = {\left\langle {\sqrt {m_q^2 + {p^2}} } \right\rangle _H} $用到了类氢波函数${\psi ^H} = R_{{n_r}L}^H\left( r \right){Y_{Lm}}\left( {\theta ,\,\phi } \right)$的平均值。$ {n_r} = 0 $时，在态$ {\psi ^H} $中的动量平均值为$ {\left\langle {{p^2}} \right\rangle _H} = {{{\mu _H}{k_s}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu _H}{k_s}} {\left[ {{a_B}{{\left( {L + 1} \right)}^2}} \right]}}} \right. } {\left[ {{a_B}{{\left( {L + 1} \right)}^2}} \right]}} = $$ {\left[ {{{{\mu _H}{k_s}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu _H}{k_s}} {\left( {L + 1} \right)}}} \right. } {\left( {L + 1} \right)}}} \right]^2} $，而$ {\mu _{qH}} $近似等于$ \sqrt {m_q^2 + {{\left\langle {{p^2}} \right\rangle }_H}} $，结果发现$ {\mu _{qH}} $满足自洽方程，

对这个方程，我们可以用迭代法求解，$ {\mu _{qH}} $和$ {\mu _H} $的数值结果列在表6中。

于是，单重介子的自旋无关质量可写为

其中

在长程(N标记)和短程(H标记)范围，单粒子动能$ E_i^{N,H} = {\left[ {m_i^2 + {{\left\langle {{p^2}} \right\rangle }_{N,H}}} \right]^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}} $，可以分别写成

参数$\left\{ {\mu ,\,\nu } \right\}$以及其他参数都在表5和表6中列出。我们用式(12)和式(13)来计算P波单重介子D, $ {D_s} $, $ B $和$ {B_s} $的自旋无关质量，其结果如表4所列。表4中还列出了介子自旋平均质量的实验值和由Regge轨迹所预测的结果，以供比较。

与类氢原子类似，重介子中的夸克-反夸克之间也存在色自旋轨道势和张量势，这是针对重夸克系统通过洛伦兹不变的树图级夸克-反夸克散射振幅推导的^[34]。当应用于单重介子系统$ \bar qQ $时，它的形式是^{[9, 24, 34]}

其中$ V $和$ S $分别是重夸克和反夸克之间的矢量势和标量势，$ V' $，$ S' $和$ V'' $是它们的导数，

由于轻的反夸克(${m_q} \ll {\varLambda _{\rm QCD}}$)的运动是相对性的，因此它的瞬时势(15)必须包含对应的相对论效应。注意，在手征极限$ {m_q} \to 0 $下，磁矩项${\sim}{{{{\boldsymbol{S}}_q}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\boldsymbol{S}}_q}} {{m_q}}}} \right. } {{m_q}}}$的存在导致自旋相互作用(15)是发散的。一种简单的发散处理方法是进行以下替换^[9]

来调节瞬时势$ {V^{{\text{quasi - static}}}} $，其中$ {\varepsilon _{V,S}} $是待定的小参数，动量为${\boldsymbol P}\left( {{{\boldsymbol P}_q} = - {{\boldsymbol P}_Q}} \right)$的夸克$i\left( {i = \bar q,\,Q} \right)$的单粒子动能为${E_i} = {\left[ {m_i^2 + {{\left| {\boldsymbol{P}} \right|}^2}} \right]^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}}$。注意，比值${{{m_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{m_i}} {{E_i}}}} \right. } {{E_i}}} = {{{m_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{m_i}} {\sqrt {m_i^2 + {{\left| {\boldsymbol{P}} \right|}^2}} }}} \right. } {\sqrt {m_i^2 + {{\left| {\boldsymbol{P}} \right|}^2}} }} = $$ \sqrt {1 - v_i^2}$是一个相对论因子。当夸克$ i $作相对论性运动时，相对论因子$ {{{m_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{m_i}} {{E_i}}}} \right. } {{E_i}}} $随着相对论长度收缩$r \to r\sqrt {1 - {v^2}} = $ $ r\left( {{m \mathord{\left/ {\vphantom {m E}} \right. } E}} \right) $而变大。显然，相对论因子在夸克的低动量极限($ {p \mathord{\left/ {\vphantom {p {{m_i}}}} \right. } {{m_i}}} \to 0 $)下是回归到1。式(17)的相对论处理通过用$ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{E_i}}}} \right. } {{E_i}}} = {\left( {m_i^2 + {p^2}} \right)^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2}}} $替换$ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{m_i}}}} \right. } {{m_i}}} $来消除式(15)的发散($ {{{\sim}1} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\sim}1} {{m_i}}}} \right. } {{m_i}}} $)，这确保了与轻夸克$ q $相关的自旋相互作用不会像$ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{m_i}}}} \right. } {{m_i}}} $一样在手征极限下发散。相反，它们应该具有固定的有限大小极限$ \left\langle {{p^{ - 1}}} \right\rangle $(和口袋模型一样)，这个极限又由紧闭尺度$ \varLambda _{\rm QCD}^{ - 1} $所控制。

通过将式(17)正则化，自旋相互作用(15)变为

其中四个自旋耦合参数为

这里的量子平均值是在$ \bar qQ $系统的径向波函数$ {\Psi _M} $上平均得到的，而

类似的关系也适用于$ \tilde V'' $和$ {\nabla ^2}\tilde V $。当$ \Delta M = \left\langle {\Delta {H^{{\text{quasi - static}}}}} \right\rangle $已知时，即可计算单重介子的质量$ M = \bar M + $$ \Delta M $。我们在表7中列出了粲介子和底介子P波的质量的计算结果。

粲介子（D，D_s）和底介子（B, B_s）被认为是类似氢原子的夸克-反夸克束缚态体系，从而常常用来研究低能强相互作用。但因这类单重介子体系的质量及其激发态劈裂的实验值可能包含相对论效应和近阈效应，这种类比变得有点微妙。我们用线性Regge关系和相对夸克模型分别计算自旋无关质量和自旋相关质量，并通过辅助场方法证明了相对论夸克模型预测的(自旋无关)质量和线性Regge关系的预测结果是一致的。对于激发态单重介子的窄质量劈裂，我们解释其主要是由轻夸克的相对论效应引起的。我们计算了自旋宇称为$ {J^ + } $($ J = 0 $, $ 1 $, $ 2 $)的单重介子(D，D_s，B，B_s)的P波质量，并预言了尚未被实验发现的B介子和B_s介子应为$ {0^ + } $态，质量分别为5 659和5 788 MeV。

对我们的计算作以下三点注记：

● 作为领头阶近似，Breit-Fermi相互作用(15)没有考虑可能在长程范围内的非微扰修正。假设自旋相互作用在短程范围内占主导地位就意味着式(15)的长程非扰动修正很小。

● 夸克-双夸克势V + S的静态近似，原则上只对重夸克偶素$ \left( {Q\bar Q} \right) $有效，当然，它忽略了QCD弦的旋转^[37,38]。当$L\geqslant 1 $时，QCD弦的旋转改变了等式(3)中的静态势V + S，因此禁闭参数b与弦张量系数$ a $略有不同。

● 为了简单起见，我们用类氢原子的径向波函数$ R_{nL}^H\left( r \right) $来计算式(20)中的c，这可能会导致由积分$ - F''{\left| {R_{nL}^H\left( r \right)} \right|^2} $所给出的c的计算结果在短程范围内偏大。注意，P波中$ R_{nL}^H\left( 0 \right) \equiv 0 $。