-
本节通过数值模拟的方式来对上文中的计算结果进行检验,并分析该内插方法的表现。在本节中,我们在假定形状因子的表达式已知的前提下,通过本节给出的内插公式计算生成全动量空间的形状因子数值,并与所假设的表达式相比对。
我们假定形状因子有VMD(Vector Meson Dominance)模型的形式,即
这里的
$ {m}_{v} $ 为矢量介子的质量,我们在数值模拟中采用最轻的矢量介子$ \rho $ 介子的质量,即取$ {m}_{v} $ =775 MeV。由$ {q}^{2} $ 与$ {{p}}^{2} $ 之间的关系$ {{p}}^{2}=\frac{{q}^{4}}{4{m}_{{\text{π}} }^{2}}-{q}^{2} $ ,我们可以将形状因子由$ {q}^{2} $ 的依赖关系改写为$ {{p}}^{2} $ 的依赖关系:在模拟中,我们采用的数值为格距
$ a\!=\!1\times {10}^{-3} $ $ {\rm{Me{V}}}^{-1} $ ,坐标空间的尺寸$ L\!=\!Na $ ,$ N $ 为每个空间维度的格子数目,我们模拟中分别取值$ N\!=\!32, \mathrm{\;}48, $ $ \mathrm{\;}64,\mathrm{\;}96,\mathrm{\;}128 $ 。用到的其他常数数值包括$ {m}_{\mathrm{{\text{π}} }}\!= \!135\mathrm{\,}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V} $ ,$ {f}_{\mathrm{{\text{π}} }}\!=\!130\mathrm{\,}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V} $ 。我们采用自然单位制,$ 1\!=\!\mathrm{\hslash }c\!=\!0.197 $ $ \mathrm{\;}\mathrm{e}\mathrm{V}\cdot {\text μ }\mathrm{m} $ ,因此$ a\approx 0.2\mathrm{\,}\mathrm{f}\mathrm{m} $ 。时间维度上的格点数目固定为128。在动量空间,分立的动量之间的最小间隔为$ \Delta p\!=\!\frac{2{\text{π}} }{L} $ ,以N=64为例,$ \Delta p\!=\!\frac{2{\text{π}} }{64a}\approx 98.17\,\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V} $ 。空间维度各个不同取值的格点数目所对应的参数如表1所列。
$ N $ 格距$ a/\mathrm{M}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{-1} $ 坐标空间长度$ L/\mathrm{M}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{-1} $ 动量分立间隔$ /\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V} $ 32 0.001 0.032 196.35 48 0.001 0.048 130.90 64 0.001 0.064 98.17 96 0.001 0.096 65.45 128 0.001 0.128 49.09 不同的格子数目N给出不同的动量空间最小间隔。由于格距a固定为
$ 1\times {10}^{-3}\,\mathrm{M}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{-1} $ ,因此格距限制下的最大动量大小为$ \frac{{\text{π}} }{a}\approx 3.1\,\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V} $ 。我们计算形状因子仅使用动量范围0~1 000 MeV。对于不同的格点空间尺寸L=Na,我们分别作出内插得到的形状因子
$ {F}_{{\text{π}} }\left(\left|{p}\right|\right) $ 关于动量$ \left|{p}\right| $ 的图线,见图1。从图1中可以看出,一方面,随着格点空间体积的增加,内插得到的形状因子函数图像与所预设的形状因子动量依赖关系符合得更好。另一方面,在较大动量的区域(典型区域
$ p>2\times \frac{2{\text{π}} }{L} $ ),内插的结果比较理想,而在我们更感兴趣的较小动量区域(典型区域$ p<\frac{2{\text{π}} }{L} $ ),内插结果呈现明显的线性特征,与在零点附近曲率较大的VMD模型符合得一般。我们可以进一步作出内插得到的形状因子的百分比相对误差(Relative Error)曲线,如图2所示。从图2中可看出,拟合的误差主要集中在小动量区域,同时在N取不同取值时,相对误差随着格点体积的增大而明显变小。图中相对误差的最大值以及出现最大误差的动量取值列在下表中。同时由于不同的空间体积下,动量空间具有不同的分辨率,因此我们也将出现最大误差的动量位置与动量空间的分辨率在表2中进行比较。
$ N $ 最大相对误差/% 对应动量$ /\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V} $ 与动量分立间隔之比 32 1.7 120 0.6 48 1.0 80 0.6 64 0.7 70 0.7 96 0.3 50 0.8 128 0.2 40 0.8 表2显示,最大误差位置往往出现于分立间隔的0.6~0.8倍处,同时最大误差大体上随着体积L的增加而以
$ O\left(\frac{1}{L}\right) $ 的趋势减小,基本与理论预期相符。需要注意的是,在本节的数据模拟中尽管由于这些数值是在我们假定形状因子具备VMD模型形式的前提下进行插值模拟得到的,故而具有模型依赖关系,所计算得到的相对误差的大小与位置未必具有普适性;但是,表中的最大误差动量相对动量分立间隔的比值反映的是不同体积下插值系统本身的特性随着系统体积变化的变化模式,因此,该计算方法给出的误差对于任何实际的形状因子表达式均应有类似表现。一方面,在较大动量区域,特定动量附近对应的分立动量点变多,使得内插方法较容易给出更接近精确值的数值结果;而从另一方面来看,我们对于小动量区域,即$ {q}^{2} $ 在零点附近时形状因子的动量依赖关系更加感兴趣。因此,还需试图对这一插值方法进行进一步探索。 -
在4.1中通过线性内插之后进行球壳平均的方法,计算得到了形状因子的内插数值。在本节中,我们试图采用其他插值方法进行内插,并与4.1节中的结果进行比较。
在我们的模型中,处于特定分立动量值上的点,即
$ {p}\!=\!\frac{2{\text{π}} }{L}{n} $ 的点上的形状因子数值可以通过格点数据直接计算出来。如果我们直接在三维动量空间采用插值算法,那么可以得到定义在全动量空间上的形状因子函数$ {\tilde F}_{{\text{π}} }\left({p}\right) $ 。不过从形状因子的定义角度而言,物理的形状因子$ {F}_{{\text{π}} }\left({q}^{2}\right) $ 在动量空间中应该有O(3)的旋转对称性,即其应该是动量大小的一维函数,${F}_{{\text{π}} }\left({q}^{2}\right)\!=\! {F}_{{\text{π}} }\left\{-2{m}_{{\text{π}} }\times $ $ \left[E\left(\left|{p}\right|\right)-{m}_{{\text{π}} }\right]\right\}$ 。在第3节的模型中,我们的处理手段是在三维空间进行插值处理后,对每个动量大小对应的球壳上的形状因子取值作平均,从而得到仅与动量大小相关的形状因子$ {F}_{{\text{π}} }\left({q}^{2}\right) $ 。为了验证球壳平均的有效性,我们在这里可以采用另一种处理手段,即选取某个特定方向,以该方向上插值得到的形状因子数值作为对应动量的结果。我们在这里选取了三个特殊方向:● 坐标轴方向,
$(0,\mathrm{\,}0,\mathrm{\,}1)$ ;● 面对角线方向,
$(1,\mathrm{\,}0,\mathrm{\,}1)/\sqrt{2}$ ;● 体对角线方向,
$(1,\mathrm{\,}1,\mathrm{\,}1)/\sqrt{3}$ 。我们选取的三个方向均经过动量空间中已有数据的分立点,三个方向上与分立格点的交汇间隔之比为
$ 1:\sqrt{2}:\sqrt{3} $ 。与上一节中的球壳平均方法不同的是,在已有数据的分立点上拟合出的数值应当与给出的确定值相同,故而可以预期对于在特定方向上进行的内插拟合来说,其误差将随着交汇间隔的增大而变大。我们同样作出不同动量下相对误差数值的图像,图像中各个方向上的相对误差-动量曲线与预计中的表现相同,如图3所示。图中可见的图像节点为恰好已有数据的分立点,对于不同方向而言,途经的相邻节点的间距有所不同。我们可以通过上述计算结果来比较不同的内插方法的最大误差。各方法的误差分别列在表3~5中。
$ N $ 最大相对误差/% 对应动量$ /\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V} $ 32 0.8 80 48 0.5 60 64 0.3 50 96 0.2 30 128 0.1 20 $ N $ 最大相对误差/% 对应动量$/\mathrm{MeV}$ 32 1.6 110 48 0.9 80 64 0.6 60 96 0.3 40 128 0.2 30 $ N $ 最大相对误差/% 对应动量$ /\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V} $ 32 2.2 130 48 1.3 90 64 0.9 70 96 0.4 50 128 0.3 40 我们可以从表3~5中看出,沿方向(0, 0, 1),即沿格点排布方向进行内插时,相对误差要明显小于沿其他两个方向(即沿格点面对角线及体对角线)进行内插时的误差。与我们在4.1节中采用的球壳平均方案进行对比,显然球壳平均的方案给出的相对误差介于本节中方向(0, 0, 1)与方向(1, 1, 1)上给出的误差之间。从数值模拟的算法来看,方向(0,0,1)的相邻交汇点的距离最小(即1倍的动量分立间隔),而方向(1, 1, 1)上相邻交汇点距离最大(即
$ \sqrt{3} $ 倍的动量分立间隔),故而不同的误差表现即为符合预期的结果。考虑到系统具备的空间旋转对称性,仅取特定方向进行内插或许难以给出合理解释;而球壳平均方法在解决这个问题时,其他各个其他方向上更大的拟合误差会给出对于平均误差的贡献。因此系统误差的增加即可视作恢复系统的对称性时需要付出的代价。大致上,随着格点体积L的增大,这部分系统误差会以$ O\left(\frac{1}{L}\right) $ 的速度收敛。 -
在连续无穷大空间中,强子函数与形状因子的关系由式(4)给出。与此同时,对于格点QCD来说,我们需要将式(4)中的连续傅立叶变换转化为离散傅立叶变换(DFT),即
如前所述,对于离散傅立叶变化,上式计算的空间动量需要位于分立点上,满足
$ {p}=\frac{2{\text{π}} }{L}{n} $ 关系。接下来我们探索另外一种内插方式,使用推广的离散时间傅立叶变换(DTFT)代替离散傅立叶变换,应用在空间上离散的强子函数上,将其变换为动量空间上连续的频谱。在进行DTFT变换时,需要可数并且平方可积的数据集。对于有限体积的格点系统中的强子函数来说,我们可以将格点体积之外的数据取作0来进行计算。由于强子函数随着空间尺度增大而具有指数衰减的性质,可以预期有限体积效应同样会随着体积增加而以指数形式衰减。我们尝试采用下式计算形状因子:
其中
$ \tilde H\left(t,{p}\right) $ 未归一化,为强子函数的傅立叶变换${\sum\nolimits}_{{x}\in L}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({p}\cdot {x})H\left(x\right)$ 。可以注意到,上式左侧的形状因子在时间$ t $ 足够大时不依赖于时间。我们在后续的数值计算中取$ t=9a $ 。另一方面,该方法受到有限体积效应的影响,不能完全保持系统的旋转对称性,故而我们需要选取特定方向,将动量的取值限定在某个维度上。与前述计算类似,我们仍然选取以下三个方向:●坐标轴方向,
$(0,\mathrm{\,}0,\mathrm{\,}1)$ ;●面对角线方向,
$(1,\mathrm{\,}0,\mathrm{\,}1)/\sqrt{2}$ ;●体对角线方向,
$(1,\mathrm{\,}1,\mathrm{\,}1)/\sqrt{3}$ ;拟合结果的相对误差曲线见图4。
从图4中可以看出,该方法在小体积或者中等体积的格点系统中表现较差,与前述的保持旋转对称性的内插算法相比,相对误差明显更大。但是我们注意到,一方面,这一算法的误差主要分布于较大动量的区域,另一方面,在较大体积的格点系统中,该方法的表现显著优于前述算法。这与我们的猜测相符,即误差随着格点系统尺度的增大而指数衰减。考虑到图4中,误差衰减的指数行为不易观察,因此为了验证这一猜测,我们将三个方向上的最大误差以对数坐标画出,如图5所示。
该方法相比前文提出的保持旋转对称性的内插算法,优点在于相对误差随格点系统尺度的增加的收敛速度更快,不过其劣势也很明显:一方面,在系统体积较小、误差较大的情况下,系统的旋转对称性无法保持;另一方面,对于目前的算力来说,我们很难高效地完成较大规模格点系统的快速计算。然而,使用这一算法得到的数值模拟结果能够展示出内插结果的偏差对于系统尺度的依赖关系,能够为格点计算中系统体积的合理选取提供参考,同时其快速收敛的特性也为后续的研究提供了有意义的方向。另外,随着硬件条件的进步以及未来可预期的算力提升,在更大尺度的格点系综上的计算也会使得基于这一思路的内插算法具备更高的应用价值。
Lattice QCD Calculation of the Form Factor by Interpolation within Finite Volume
doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021010
- Received Date: 2021-01-27
- Rev Recd Date: 2021-04-14
- Available Online: 2021-07-22
- Publish Date: 2021-06-21
-
Key words:
- lattice QCD /
- form factor /
- interpolation /
- finite volume effect
Abstract: This paper discusses the finite-volume effect in calculating hadron form factors using lattice QCD framework. Taking Pion as the example, we introduce the method of extracting hadron form factors from three-point correlation functions computed in lattice QCD, but only at separated points in the momentum space because of the finite-volume effect. This paper gives one interpolation algorithm which respects rotation symmetry and also provides a sketch of another interpolation method which applies the continuous Fourier transform, both methods continuously giving form factor results on the momentum space based on the discrete values. These algorithms are examined under numerical models and realistic lattice systems. The results given by the interpolation are independent of specific systems and can be easily generalized to a variety of lattice systems. Our conclusion also provides valuable information which could help determining the proper size of lattice systems.
Citation: | Wenhao ZHANG. Lattice QCD Calculation of the Form Factor by Interpolation within Finite Volume[J]. Nuclear Physics Review, 2021, 38(2): 136-146. doi: 10.11804/NuclPhysRev.38.2021010 |