利用$ \phi^4 $的拉氏量,我们可以写出其对应的哈密顿量
这里我们已经采用了正规序。现在看另一个哈密顿量
这两个哈密顿量的区别在于$ \phi $的场值平移了$ v $。我们把式(13)的基态记作$ |{g_1}\rangle $。现在我们有如下关系
我们已经知道了$ \mathcal{D}_\alpha $,现在的任务就变为找到一个把$ |{0}\rangle $转换成$ |{g_1}\rangle $的算符。下面开始微扰计算。
首先我们改写式(13),
$ H_0 $是克莱因-高登场的哈密顿量,后两项分别是一阶微 扰项$ O\left(\frac{1}{v}\right) $和二阶 微扰项$ O\left(\frac{1}{v^2}\right) $。因为我们现在只研究到第二阶,我们微扰地写出如下的薛定谔方程
这里$ \left(|{0}\rangle+\frac{1}{v}|{1}\rangle+\frac{1}{v^2}|{2}\rangle \right) $就是直到第二阶的$ |{g_1}\rangle $。需要注意这里微扰的适用条件是$ \frac{1}{v}\ll 1 $,即$ v\gg 1 $。
现在我们的任务就是用$ |{0}\rangle $来表示$ |{1}\rangle $和$ |{2}\rangle $。应当注意的是,为了表达式的简洁,我们并没有对$ |{g_1}\rangle $采取归一化,我们的归一化方案是
这里$ |{n}\rangle $是第$ n $阶修正。
第0阶
首先我们看式(16)中只涉及到第$ 0 $阶项,我们得到的
因为$ H_0 = \int \frac{{\rm d}p}{2\pi}\omega_p a_p^\dagger a_p $,而其中$ a_p $作用到$ |{0}\rangle $得到0,所以$ E_0 = 0 $。
第1阶
然后我们看式(16)涉及到$ O\left(\frac{1}{v}\right) $ 这一阶的项,
这里我们用到$ E_0 = 0 $。为解出$ |{1}\rangle $首先我们要去掉$ H_1 $的正规序。
然后式(19)变为
从式(21)我们可以知道
并且$ |{1}\rangle $有如下形式
这里$ f(p_1,p_2,p_3) $是一个待定函数,一旦知道$ f(p_1,p_2,p_3) $,我们就知道了$ |{1}\rangle $。因为$ H_0 = \int \frac{{\rm d}p}{2\pi}\omega_p a_p^\dagger a_p $,所以我们有
利用式(24)可以解出$ f(p_1,p_2,p_3) $。
计算过程中反复用到了式(6)的对易关系,把$ a_p $移到最右边后使其可以作用在$ |{0}\rangle $上得到0。所以,
然后
故
第2阶
现在我们继续往下一阶进行微扰计算。我们现在看式(16)中涉及到$ O\left(\frac{1}{v^2}\right) $这一阶的项,
改变项的顺序,
其中
根据我们一阶计算的经验,我们只需要用到$ H_2 $里的一项,因为作用到$ |{0}\rangle $上后,大部分项都变为0.
现在我们处理最为繁杂的项$ H_1|{1}\rangle $。它里面不含$ a^\dagger $的项有1个,含有2个$ a^\dagger $的项有3个,含有4个$ a^\dagger $的项有3个,含有6个$ a^\dagger $的项有1个。利用不含$ a^\dagger $的这一项我们可以算出二阶能量修正$ E_2 $,利用含有$ a^\dagger $的这些项我们可以算出$ |{2}\rangle $。
现在看$ H_1|{1}\rangle $中含有2个$ a^\dagger $ 的这3 项,这三项实际上是相等的,只是积分的哑指标不同,所以我们只需要看其中一项,首先我们计算$ a_{-p_2}^\dagger a_{p_1} a_{p_3} a_{q_1}^\dagger a_{q_2}^\dagger a_{q_3}^\dagger |{0}\rangle $。
所以在$ H_1|{1}\rangle $中含有2个$ a^\dagger $ 的项是
现在我们看$ H_1|{1}\rangle $中含有4个$ a^\dagger $的那3项。同样,这三项是相等的,我们只需计算$ a_{-p_1}^\dagger a_{-p_2}^\dagger a_{p_3} a_{q_1}^\dagger a_{q_2}^\dagger a_{q_3}^\dagger |{0}\rangle $。
所以在$ H_1|{1}\rangle $中含有4个$ a^\dagger $ 的项是
在$ H_1|{1}\rangle $中含有6个$ a^\dagger $的项我们可以直接写出:
现在我们可以改写式(30),
所以$ |{2}\rangle $应当具有如下形式
将式(39)代回式(38),我们可以解出$ g(p_1,p_2) $,$ h(p_1,p_2,p_3,p_4) $和$ l(p_1, p_2,p_3,p_4,p_5,p_6) $。然后得到
现在我们得到了直到二阶的$ |{g_1}\rangle $:
我们把所有大括号里面的项看作一个算符并记作$ \mathcal{O}' $。把我们需要找的算符,即把自由真空$ |{0}\rangle $变换为$ \phi^4 $真空$ |{+v}\rangle $的算符记作$ \mathcal{O}_1 $,我们便算出了$ \mathcal{O}_1 $,$ \mathcal{O}_1 = \mathcal{D}_{+v} \mathcal{O}' $。