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MIT袋模型的一种束缚能跑动形式修正

刘文念 马奭文 赵新军 张文轩

刘文念, 马奭文, 赵新军, 张文轩. MIT袋模型的一种束缚能跑动形式修正[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
引用本文: 刘文念, 马奭文, 赵新军, 张文轩. MIT袋模型的一种束缚能跑动形式修正[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
Wennian LIU, Shiwen MA, Xinjun ZHAO, Wenxuan ZHANG. The Running Form of Binding Energy Correction for MIT Bag Model[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
Citation: Wennian LIU, Shiwen MA, Xinjun ZHAO, Wenxuan ZHANG. The Running Form of Binding Energy Correction for MIT Bag Model[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049

MIT袋模型的一种束缚能跑动形式修正

doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(22163011);新疆自然科学基金联合基金项目(2019D01C333)
详细信息
    作者简介:

    刘文念(1992−),男,甘肃兰州人,助教,硕士,从事理论物理研究;E-mail: 1169994277@qq.com

    通讯作者: 张文轩,E-mail: zhangwx89@outlook.com
  • 中图分类号: O571.53

The Running Form of Binding Energy Correction for MIT Bag Model

Funds: National Natural Science Foundation of China(22163011); Xinjiang Natural Science Foundation Joint Fund Project (2019D01C333)
More Information
  • 摘要: 最近,文献[1]在MIT袋模型的基础上引入了一种强耦合常数跑动形式和重夸克束缚能,较好地计算了所有已确认的基态强子谱。考虑到束缚能的贡献之一为重夸克间的短程束缚作用,即色电相互作用,其跑动形式将会取代之前的拟合参数。此跑动形式为类库仑势,随着袋半径R变化,并且在质量公式中参与变分。结果表明,色电相互作用的引入同样会将基态强子质量计算误差控制在大致40 MeV以内,且与拟合参数的方法相比得到了较为准确的结果。这为重夸克色电相互作用的研究提供了参考依据。
  • 图  1  $\bar{3}$颜色态下束缚能随着袋半径R变化趋势(在线彩图)

    文献[1]中五个束缚能参数为$B_{{\rm{cs}}}=-0.025\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{cc}}}= $$ -0.077\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{bs}}}=-0.032\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{bb}}}=-0.128\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{bc}}}= $$ -0.101\;{\rm{GeV}}$。

    表  1  重味介子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果

    强子$ R_{0} $$M_{{\rm{bag}}}$$M_{{\rm{org}}}$$M_{{\rm{exp}}}$$\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$$r^{}_{{\rm{E}}}$
    ${\rm{D}}_{{\rm{s}}}^{+}$ 3.74 1.959 1.961 1.968 0.46
    ${\rm{B}}_{{\rm{s}}}^{0}$ 3.29 5.345 5.346 5.367 0.16
    $\eta_{ {\rm{c} } }$ 3.03 2.995 3.002 2.984 0.00
    ${\rm{B}}_{{\rm{c}}}^{+}$ 2.33 6.254 6.273 6.274 0.27
    $\eta_{{\rm{b}}}$ 1.43 9.381 9.396 9.399 0.00
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    表  2  非色磁混合单重重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$ M^{}_{{\rm{bag}}} $(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果

    强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $M_{{\rm{exp}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$
    $\Omega_{{\rm{c}}}$ 4.91 2.682 2.680 2.695 −1.07 0.28
    $\Omega_{{\rm{c}}}^{\ast}$ 5.08 2.767 2.764 2.766 −0.89 0.29
    $\Omega_{{\rm{b}}}$ 4.74 6.085 6.080 6.046 −0.85 0.59
    $\Omega_{{\rm{b}}}^{\ast}$ 4.82 6.117 6.112 −1.43 0.60
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    表  3  非色磁混合双重重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果。其中$\varXi_{{\rm{cc}}}^{++}$的质量已有实验结果,为$ 3\;621.6\;{\rm{MeV}} $

    强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $r^{}_{ {\rm{E} } }$
    $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{++}$ 4.39 3.609 3.604 0.13 0.77
    $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{+}$ 0.91 0.45
    $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast ++}$ 4.61 3.720 3.714 2.63 0.81
    $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast +}$ 0.16 0.47
    $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{0}$ 3.63 10.342 10.311 −0.55 0.28
    $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{-}$ 0.10 0.44
    $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast 0}$ 3.80 10.392 10.360 1.19 0.29
    $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast -}$ −0.85 0.46
    $\Omega_{ {\rm{cc} } }$ 4.44 3.733 3.726 0.86 0.47
    $\Omega_{ {\rm{cc} } }^{\ast}$ 4.64 3.828 3.820 0.33 0.49
    $\Omega_{ {\rm{bb} } }$ 3.72 10.440 10.408 0.06 0.44
    $\Omega_{ {\rm{bb} } }^{\ast}$ 3.86 10.485 10.451 −0.74 0.45
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    表  4  色磁混合重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $(GeV)、磁矩$ \mu^{}_{{\rm{bag}}} $($ \mu^{}_{N} $)和电荷半径$ r^{}_{{\rm{E}}} $(fm)计算结果。磁矩和电荷半径数据按同位旋第三分量$ I_{3}=\frac{1}{2}, \, -\frac{1}{2} $排列

    强子本征矢$ R_{0} $$ M_{{\rm{bag}}} $$ M_{{\rm{org}}} $$ M_{{\rm{exp}}} $$\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$$ r^{}_{{\rm{E}}} $
    $\left(\Xi_{ {\rm{c} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{c} } }\right)$ (0.05, 1.00) 4.88 2.437 2.436 2.469 0.37, 0.50 0.63, 0.32
    (−1.00, 0.05) 4.87 2.546 2.544 2.578 0.67, −1.20 0.62, 0.32
    $\Xi_{ {\rm{c} } }^{\ast}$ 1.00 5.05 2.638 2.636 2.646 1.61, −1.10 0.65, 0.33
    $\left(\Xi_{ {\rm{b} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{b} } }\right)$ (0.01, 1.00) 4.62 5.807 5.805 5.794 −0.12, −0.08 0.29, 0.60
    (−1.00, 0.01) 4.69 5.958 5.956 5.935 0.74, −0.97 0.30, 0.61
    $\Xi_{ {\rm{b} } }^{\ast}$ 1.00 4.78 5.993 5.991 5.954 0.95, −1.60 0.31, 0.62
    $\left(\Xi_{ {\rm{bc} } }, \ \Xi_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.39, 0.92) 4.17 7.028 7.015 $ \dots$ 1.46, −0.32 0.57, 0.19
    (−0.92, 0.39) 4.04 6.966 6.953 $ \dots$ −0.20, 0.09 0.55, 0.18
    $\Xi_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.26 7.058 7.044 $ \dots$ 1.92, −0.36 0.58, 0.20
    $\left(\Omega_{bc}, \ \Omega_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.40, 0.92) 4.22 7.131 7.117 $ \dots$ −0.20 0.14
    (−0.92, 0.40) 4.11 7.078 7.064 $ \dots$ 0.06 0.14
    $\Omega_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.30 7.158 7.143 $ \dots$ −0.21 0.15
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    表  5  三重重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果

    强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$
    $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.12 4.853 4.841 1.44 0.67
    $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 3.59 8.132 8.112 0.65 0.42
    $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 3.69 8.156 8.133 0.86 0.43
    $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 2.96 11.407 11.373 −0.26 0.11
    $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 3.11 11.441 11.402 0.28 0.11
    $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 2.34 14.679 14.626 −0.25 0.26
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    表  6  三重重子的质量计算结果与其它工作的比较(质量单位为GeV)

    强子$M_{{\rm{bag}}}$$ M $[19]$ M $[20]$ M $[21]$ M $[22]
    $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.853 4.712 4.81 4.798 4.799
    $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 8.132 7.984 8.02 8.004 8.019
    $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 8.156 7.999 8.03 8.023 8.056
    $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 11.407 11.198 11.22 11.200 11.217
    $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 11.441 11.217 11.23 11.221 11.251
    $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 14.679 14.468 14.43 14.396 14.398
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出版历程
  • 收稿日期:  2022-04-14
  • 修回日期:  2022-05-19
  • 刊出日期:  2022-09-20

MIT袋模型的一种束缚能跑动形式修正

doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
    基金项目:  国家自然科学基金资助项目(22163011);新疆自然科学基金联合基金项目(2019D01C333)
    作者简介:

    刘文念(1992−),男,甘肃兰州人,助教,硕士,从事理论物理研究;E-mail: 1169994277@qq.com

    通讯作者: 张文轩,E-mail: zhangwx89@outlook.com
  • 中图分类号: O571.53

摘要: 最近,文献[1]在MIT袋模型的基础上引入了一种强耦合常数跑动形式和重夸克束缚能,较好地计算了所有已确认的基态强子谱。考虑到束缚能的贡献之一为重夸克间的短程束缚作用,即色电相互作用,其跑动形式将会取代之前的拟合参数。此跑动形式为类库仑势,随着袋半径R变化,并且在质量公式中参与变分。结果表明,色电相互作用的引入同样会将基态强子质量计算误差控制在大致40 MeV以内,且与拟合参数的方法相比得到了较为准确的结果。这为重夸克色电相互作用的研究提供了参考依据。

English Abstract

刘文念, 马奭文, 赵新军, 张文轩. MIT袋模型的一种束缚能跑动形式修正[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
引用本文: 刘文念, 马奭文, 赵新军, 张文轩. MIT袋模型的一种束缚能跑动形式修正[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
Wennian LIU, Shiwen MA, Xinjun ZHAO, Wenxuan ZHANG. The Running Form of Binding Energy Correction for MIT Bag Model[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
Citation: Wennian LIU, Shiwen MA, Xinjun ZHAO, Wenxuan ZHANG. The Running Form of Binding Energy Correction for MIT Bag Model[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 296-301. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022049
    • 2017年LHCB实验组第一次在$ \Xi_{{\rm{cc}}}^{++}\to\Lambda_{\rm{c}}^+ {\rm{K}}^- {\text{π}} ^+ {\text{π}} ^+ $衰变道发现了双粲重子[2],由此激发了理论学者对于双重重子以及双重四夸克态研究的热潮[3-7]。在此之前理论工作者已经做出了对$ \Xi_{{\rm{cc}}} $的预言,其中Karliner和Rosner的工作用考虑束缚能的朴素夸克模型[8-11]给出了和实验几乎一致的理论预言[8]。其工作中一个定性的结论是夸克-夸克之间的束缚能和夸克-反夸克之间的束缚能满足$ 1/2 $关系,这为束缚能提供了颜色相关的依据。

      强子中的基本效应除了夸克-夸克之间的相互作用外还包含复杂的海夸克效应[12],对此MIT袋模型有一个体积能密度为B常数的平均近似[13]。文献[1]在引入束缚能后很好地调和了从介子到双重重子的质量谱。我们在该工作的基础上给出了一个随袋半径R跑动的色电相互作用形式,使其在MIT袋模型质量公式中参与变分,重新计算了含有重夸克的介子和重子的质量谱、磁矩、电荷半径。从计算结果来看,这种修正对袋半径有一个微小的改变,体现在质量上有一个$ 40\;{{\rm{MeV}}} $范围内的变化,同时对于磁矩以及电荷半径也有一定的影响。

    • MIT袋模型的质量公式写作如下形式[13-14]

      $$ \begin{split} \\ M\left( R\right) =\sum\limits_{i}\omega _{i}+\frac{4}{3}\pi R^{3}B- \frac{Z_{0}}{R}+\langle \varDelta H\rangle , \end{split} $$ (1)
      $$ \omega _{i}=\left( m_{i}^{2}+\frac{x_{i}^{2}}{R^{2}}\right) ^{1/2} 。 $$ (2)

      式(1)中第一项为强子内所有价夸克的相对论能量;$ i $代表夸克指标;$ \omega_i $为夸克能量;包含质量$ m_i $和动量$ x_i/R $。参数$ x_i $R分别由边界条件和质量公式变分所得,它们之间满足超越方程

      $$ \tan x_{i}=\frac{x_{i}}{1-m_{i}R-\left( m_{i}^{2}R^{2}+x_{i}^{2}\right) ^{1/2}} 。 $$ (3)

      式(1)中第二项为袋模型体积能;B为袋常数,其物理意义是强子内外两侧的真空能密度差,在数量上等于强子稳定时内部物质场能量密度。由于MIT袋模型在球近似下描述强子结构,所以这里的体积为球状袋子的体积,整个质量公式也是袋半径R的函数。式中第三项为袋内的真空零点能,$ Z_0 $为可调参数。最后$ \langle \varDelta H\rangle $为夸克间的相互作用能,主要包含色磁相互作用和重夸克间的束缚能[1, 8]

      色磁相互作用通常由下式表示:

      $$ H_{{\rm{CMI}}}=-\sum\limits_{i<j}\left( {\boldsymbol{\lambda _{i}}}\boldsymbol\cdot {\boldsymbol{\lambda _{j}}}\right) \left( {\boldsymbol{\sigma _{i}}}\boldsymbol\cdot {\boldsymbol{\sigma _{j}}} \right) C_{ij} , $$ (4)

      其中:$ i $$ j $代表强子构型中夸克或反夸克指标;$ \lambda $$ \sigma $为Gell-Mann矩阵和Pauli矩阵,它们的卡西米尔算符形式也被称为颜色因子和自旋因子,计算方法如下:

      $$ {\langle {\boldsymbol{\lambda}}_{i}\boldsymbol \cdot {\boldsymbol{\lambda}}_{j}\rangle }_{nm} = \sum\limits_{\alpha =1}^{8}Tr\left( c_{in}^{\dagger }\lambda^{\alpha }c_{im}\right) Tr\left( c_{jn}^{\dagger }\lambda ^{\alpha}c_{jm}\right) , $$ (5)
      $$ {\langle {\boldsymbol{\sigma}}_{i} \boldsymbol \cdot {\boldsymbol{\sigma}}_{j}\rangle }_{xy} = \sum\limits_{\alpha =1}^{3}Tr\left( \chi _{ix}^{\dagger}\sigma ^{\alpha }\chi ^{}_{iy}\right) Tr\left( \chi _{jx}^{\dagger }\sigma^{\alpha }\chi ^{}_{jy}\right) 。 $$ (6)

      其中:$ n $$ m $$ x $$ y $分别代表强子颜色波函数和自旋波函数基矢;$ c $$ \chi $为夸克的颜色和自旋空间基矢。这两种因子的计算依赖于颜色-自旋波函数,在方法上属于$ SU(3)\times SU(2) $群代数,而公式(4)中的$ C_{ij} $则与夸克空间波函数有关。在MIT袋模型中,$ C_{ij} $的计算方法为

      $$ C_{ij}=3\frac{\alpha _{\rm s}\left( R\right) }{R^{3}}\bar{\mu}_{i}\bar{\mu} _{j}I_{ij} , $$ (7)
      $$ \alpha_{\rm s}(R)=\frac{0.296}{{\rm{ln}}\left[1+{\left(0.281R\right)}^{-1}\right]} , $$ (8)
      $$ \bar{\mu}_{i}=\frac{R}{6}\frac{4\alpha _{i}+2\lambda _{i}-3}{2\alpha _{i}\left( \alpha _{i}-1\right) +\lambda _{i}} , $$ (9)
      $$ I_{ij}=1+2\int\nolimits_{0}^{R}\frac{{\rm d}r}{r^{4}}\bar{\mu}_{i}\bar{\mu} _{j}=1+F(x_{i}, x_{j}) 。$$ (10)

      公式(8)为文献[1]给出的强耦合常数跑动形式,它可以很好地控制整个质量谱的计算误差。公式(9)为夸克磁矩中不包含电荷的部分,其中$ \alpha _{i}\equiv \omega _{i}R $$ \lambda _{i}\equiv m_{i}R $。公式(10)是关于参数$ x_i $$ x_j $的有理函数,$ F(x_{i}, x_{j}) $计算方法为

      $$ \begin{split} F(x^{}_{i}, x^{}_{j}) = & {\left(x^{}_{i} {\rm sin}^{2}x^{}_{i}-\frac{3}{2}y_{i}\right)}^{-1} {\left(x^{}_{j} {\rm sin^{2}}x^{}_{j}-\frac{3}{2}y_{j}\right)}^{-1} \times \\& \left\{- \frac{3}{2}y_{i}y_{j}-2x^{}_{i}x^{}_{j} {\rm sin}^{2}x^{}_{i} {\rm sin}^{2}x^{}_{j} +\frac{1}{2}x^{}_{i}x^{}_{j}\Big\{2x^{}_{i} {\rm Si}(2x^{}_{i}) \right. + \\& \left.\left. 2x^{}_{j} {\rm Si}(2x^{}_{j}) -(x^{}_{i}+x^{}_{j}) {\rm Si}\big[2(x^{}_{i}+x^{}_{j})\big] \right.\right. - \\& \left.(x^{}_{i}-x^{}_{j}) {\rm Si}\big[2(x^{}_{i}-x^{}_{j})\big] \right\} \Bigg\} 。\\[-15pt] \end{split} $$ (11)

      其中$ y_{i}=x_{i}-{\mathrm{cos}}(x_{i}){\mathrm{sin}}(x_{i}) $$ x_{i} $为超越方程(3)的解,另外

      $$ {\mathrm{Si}}(x)=\int\nolimits_{0}^{x}\ \frac{{\rm sin}(t)}{t}{\rm d}t 。 $$ (12)

      通过以上方法,我们可以按照强子的颜色-自旋波函数构造色磁相互作用,写出质量公式的完整表达形式。相互作用中的束缚能部分将会在下一节着重介绍。我们对质量公式进行变分,使得质量关于袋半径R最小,从而得到稳定的强子质量。在计算过程中为了保证公式(1)只是关于R的函数,还需要输入一组初始的$ x_i $,并通过迭代法获得稳定的$ x_i $R参数组。这一系列工作完成后,强子磁矩和电荷半径便可以计算出来。

      MIT袋模型中夸克电荷半径由下式给出[14]

      $$ \begin{split} {\langle r_{E}^{2} \rangle}_{i}=& Q_{i}R^{2} \frac{\alpha_{i} \left[2x_{i}^{2}\left(\alpha_{i}-1\right)+4\alpha_{i}+2\lambda_{i}-3\right]} {3x_{i}^{2} \left[2\alpha_{i}\left(\alpha_{i}-1\right)+\lambda_{i}\right]} - \\& Q_{i}R^{2} \frac{\lambda_{i} \left[4\alpha_{i}+2\lambda_{i}-2x_{i}^{2}-3\right]} {2x_{i}^{2} \left[2\alpha_{i}\left(\alpha_{i}-1\right)+\lambda_{i}\right]} , \end{split} $$ (13)

      其中:$ Q_i $为夸克电荷。强子的电荷半径由夸克求和得到[15]

      $$ r^{}_{{\rm{E}}}={\left\vert \sum\nolimits_{i}{\langle r_{E}^{2}\rangle } _{i}\right\vert }^{1/2} 。 $$ (14)

      强子的磁矩由自旋波函数求和得到[16]

      $$ \mu _{i}=Q_{i}\bar{\mu}_{i}=Q_{i}\frac{R}{6}\frac{4\alpha _{i}+2\lambda _{i}-3}{2\alpha _{i}\left( \alpha _{i}-1\right) +\lambda _{i}} , $$ (15)
      $$ \mu =\langle \psi _{{\rm{spin}}}\left\vert \sum\nolimits_{i}2\mu _{i}S_{iz}\right\vert \psi _{{\rm{spin}}}\rangle 。 $$ (16)

      另外,如果自旋波函数是叠加态

      $$ \left| {{\psi^{} _{{\rm{spin}}}}} \right\rangle =C^{}_{1}\chi _{1}+C^{}_{2}\chi ^{}_{2} , $$ (17)

      磁矩求和公式应为[17]

      $$ \begin{array}{l} \mu =C_{1}^{2}\mu \left( \chi^{} _{1}\right) +C_{2}^{2}\mu \left( \chi ^{} _{2}\right) +2C^{}_{1}C^{}_{2}\mu ^{{\mathrm{tr}}}\left( \chi^{} _{1}, \chi ^{}_{2}\right) , \end{array} $$ (18)

      其中:$ \mu^{{\mathrm{tr}}} $是推导产生的交叉项,与跃迁磁矩有关。

    • 本文的主要工作是在文献[1]结论的基础上,用跑动形式取代重夸克束缚能的参数形式,所以原文中大部分参数和公式将会直接引用在本文中。对于轻味强子态,MIT袋模型的参数取为

      $$ \begin{array}{l} \begin{Bmatrix} m_{{\rm{n}}}=0, m_{{\rm{s}}}=0.279\; {\rm{GeV}} \\ Z_{0}=1.83, B^{1/4}=0.145\; {\rm{GeV}} \end{Bmatrix} 。 \end{array} $$ (19)

      对于重味强子态,以下参数由矢量介子${D}^{\ast}$${B}^{\ast}$拟合得到

      $$ \begin{array}{l} \begin{Bmatrix} m_{{\rm{c}}}=1.641\ {\rm{GeV}},\quad m_{{\rm{b}}}=5.093\ {\rm{GeV}} \end{Bmatrix} 。 \end{array} $$ (20)

      对于双重味强子态,以及含有重夸克和奇异夸克的强子态,五种束缚能由矢量介子${D}_{{\rm{s}}}^{\ast}$${B}_{{\rm{s}}}^{\ast}$${J}/\Psi$$\Upsilon$${B}_{{\rm{c}}}^{\ast}$分别拟合得到,且使用如下方法标度:

      $$ \begin{array}{l} \begin{Bmatrix} B_{{\rm{Qs}}}=B_{{\rm{Q}}\bar{{\rm{s}}}}/2, \quad B_{{\rm{QQ}}^{\prime}}=B_{\rm{Q}\bar{\rm{Q}}^{\prime}}/2 \end{Bmatrix} 。 \end{array} $$ (21)

      公式(21)使用了标度因子$ 1/2 $转换不同颜色态下的束缚能。这是因为考虑到重夸克束缚能的贡献之一为夸克间的色电相互作用,其中颜色因子(5)在不同颜色态下具有不同结果[8]。例如,对于介子的色单态$ 1 $和重子的反三重态$ \bar{3} $,颜色因子如下:

      $$ {\langle {\boldsymbol{\lambda}}_{i}\cdot {\boldsymbol{\lambda}}_{j}\rangle }^{1}=-\frac{16}{3} ,\quad {\langle {\boldsymbol{\lambda}}_{i}\cdot {\boldsymbol{\lambda}}_{j}\rangle }^{\bar{3}}=-\frac{8}{3} , $$ (22)

      它们的比值为标度因子$ 1/2 $。在文献[1]中,由介子$J/\psi$拟合得到的束缚能$B_{{\rm{cc}}}=B_{\rm{c}\bar{{\rm{c}}}}/2$可以较好地得到$ \varXi_{{\rm{cc}}} $的质量,这为束缚能中存在颜色因子提供了佐证。

      基于此,我们提出了一种束缚能跑动形式:

      $$ H_{BE}=\sum\limits_{i<j}\left( {\boldsymbol{\lambda _{i}}}\cdot {\boldsymbol{\lambda _{j}}}\right) \frac{\alpha_s(R)}{R} E_{ij} , $$ (23)

      其本质为色电相互作用,与色磁相互作用在形式上相似。式中:R为袋半径;强耦合常数$ \alpha_{\rm s}(R) $取公式(8);($ E_{ij} $)为五个可调参数,分别对应五种束缚能$ B_{{\rm{cs}}} $$ B_{{\rm{cc}}} $$ B_{{\rm{bs}}} $$ B_{{\rm{bb}}} $$ B_{{\rm{bc}}} $。我们使用矢量介子${D}_{{\rm{s}}}^{\ast}$${B}_{{\rm{s}}}^{\ast}$${J}/\Psi$$ \Upsilon $${B}_{{\rm{c}}}^{\ast}$分别拟合得到$ E_{ij} $,结果如下:

      $$ \left\{ \begin{array}{l} E_{{\rm{cs}}}=0.079, \quad E_{{\rm{cc}}}=0.237 \\ E_{{\rm{bs}}}=0.098, \quad E_{{\rm{bb}}}=0.304 \\ E_{{\rm{bc}}}=0.287, \end{array} \right\} 。 $$ (24)

      以上参数均为无量纲数,不包含颜色因子,只吸收了相互作用动力学部分。因此我们可以很方便地将公式(23)代入质量公式中,并进行整体变分,实现束缚能的跑动过程。图1$ \bar{3} $颜色态下五种束缚能随袋半径R的变化趋势,并对比原始文献[1]的结果。我们发现$ B_{{\rm{cs}}} $$ B_{{\rm{bs}}} $变化趋势较平稳,即采用参数形式和跑动形式得到的结果相差不大;而$ B_{{\rm{cc}}} $$ B_{{\rm{bc}}} $$ B_{{\rm{bb}}} $变化趋势显著,即双重重子和三重重子其计算结果应当变化较大。下一节我们将计算并列出相关强子的质量、磁矩等计算结果。

      图  1  $\bar{3}$颜色态下束缚能随着袋半径R变化趋势(在线彩图)

    • 本文计算的是所有可能存在束缚能的重味介子和重子,包括重轻介子$ D_{{\rm{s}}} $$ B_{{\rm{s}}} $,双重介子,还有奇异数$S < 0$的单重重子、双重重子以及三重重子。在${{SU}}(2)$味道对称性下,某些重子会存在色磁混合的情况,针对这些粒子我们会计算其本征态的质量和磁矩。表12345 列出了以上强子态的计算结果,并与文献[1]中参数形式得到的结果$ M_{{\rm{org}}} $对比。某些在实验上发现的粒子还会和实验值$ M_{{\rm{exp}}} $对比。

      表 1  重味介子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果

      强子$ R_{0} $$M_{{\rm{bag}}}$$M_{{\rm{org}}}$$M_{{\rm{exp}}}$$\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$$r^{}_{{\rm{E}}}$
      ${\rm{D}}_{{\rm{s}}}^{+}$ 3.74 1.959 1.961 1.968 0.46
      ${\rm{B}}_{{\rm{s}}}^{0}$ 3.29 5.345 5.346 5.367 0.16
      $\eta_{ {\rm{c} } }$ 3.03 2.995 3.002 2.984 0.00
      ${\rm{B}}_{{\rm{c}}}^{+}$ 2.33 6.254 6.273 6.274 0.27
      $\eta_{{\rm{b}}}$ 1.43 9.381 9.396 9.399 0.00

      表 2  非色磁混合单重重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$ M^{}_{{\rm{bag}}} $(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果

      强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $M_{{\rm{exp}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$
      $\Omega_{{\rm{c}}}$ 4.91 2.682 2.680 2.695 −1.07 0.28
      $\Omega_{{\rm{c}}}^{\ast}$ 5.08 2.767 2.764 2.766 −0.89 0.29
      $\Omega_{{\rm{b}}}$ 4.74 6.085 6.080 6.046 −0.85 0.59
      $\Omega_{{\rm{b}}}^{\ast}$ 4.82 6.117 6.112 −1.43 0.60

      表 3  非色磁混合双重重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果。其中$\varXi_{{\rm{cc}}}^{++}$的质量已有实验结果,为$ 3\;621.6\;{\rm{MeV}} $

      强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $r^{}_{ {\rm{E} } }$
      $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{++}$ 4.39 3.609 3.604 0.13 0.77
      $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{+}$ 0.91 0.45
      $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast ++}$ 4.61 3.720 3.714 2.63 0.81
      $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast +}$ 0.16 0.47
      $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{0}$ 3.63 10.342 10.311 −0.55 0.28
      $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{-}$ 0.10 0.44
      $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast 0}$ 3.80 10.392 10.360 1.19 0.29
      $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast -}$ −0.85 0.46
      $\Omega_{ {\rm{cc} } }$ 4.44 3.733 3.726 0.86 0.47
      $\Omega_{ {\rm{cc} } }^{\ast}$ 4.64 3.828 3.820 0.33 0.49
      $\Omega_{ {\rm{bb} } }$ 3.72 10.440 10.408 0.06 0.44
      $\Omega_{ {\rm{bb} } }^{\ast}$ 3.86 10.485 10.451 −0.74 0.45

      表 4  色磁混合重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $(GeV)、磁矩$ \mu^{}_{{\rm{bag}}} $($ \mu^{}_{N} $)和电荷半径$ r^{}_{{\rm{E}}} $(fm)计算结果。磁矩和电荷半径数据按同位旋第三分量$ I_{3}=\frac{1}{2}, \, -\frac{1}{2} $排列

      强子本征矢$ R_{0} $$ M_{{\rm{bag}}} $$ M_{{\rm{org}}} $$ M_{{\rm{exp}}} $$\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$$ r^{}_{{\rm{E}}} $
      $\left(\Xi_{ {\rm{c} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{c} } }\right)$ (0.05, 1.00) 4.88 2.437 2.436 2.469 0.37, 0.50 0.63, 0.32
      (−1.00, 0.05) 4.87 2.546 2.544 2.578 0.67, −1.20 0.62, 0.32
      $\Xi_{ {\rm{c} } }^{\ast}$ 1.00 5.05 2.638 2.636 2.646 1.61, −1.10 0.65, 0.33
      $\left(\Xi_{ {\rm{b} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{b} } }\right)$ (0.01, 1.00) 4.62 5.807 5.805 5.794 −0.12, −0.08 0.29, 0.60
      (−1.00, 0.01) 4.69 5.958 5.956 5.935 0.74, −0.97 0.30, 0.61
      $\Xi_{ {\rm{b} } }^{\ast}$ 1.00 4.78 5.993 5.991 5.954 0.95, −1.60 0.31, 0.62
      $\left(\Xi_{ {\rm{bc} } }, \ \Xi_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.39, 0.92) 4.17 7.028 7.015 $ \dots$ 1.46, −0.32 0.57, 0.19
      (−0.92, 0.39) 4.04 6.966 6.953 $ \dots$ −0.20, 0.09 0.55, 0.18
      $\Xi_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.26 7.058 7.044 $ \dots$ 1.92, −0.36 0.58, 0.20
      $\left(\Omega_{bc}, \ \Omega_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.40, 0.92) 4.22 7.131 7.117 $ \dots$ −0.20 0.14
      (−0.92, 0.40) 4.11 7.078 7.064 $ \dots$ 0.06 0.14
      $\Omega_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.30 7.158 7.143 $ \dots$ −0.21 0.15

      表 5  三重重子的袋半径$ R_{0} $(GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$(GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$($\mu^{}_{N}$)和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$(fm)计算结果

      强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$
      $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.12 4.853 4.841 1.44 0.67
      $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 3.59 8.132 8.112 0.65 0.42
      $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 3.69 8.156 8.133 0.86 0.43
      $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 2.96 11.407 11.373 −0.26 0.11
      $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 3.11 11.441 11.402 0.28 0.11
      $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 2.34 14.679 14.626 −0.25 0.26

      表1列出了赝标介子的计算结果。由于赝标介子的$ J^P=0^- $,其磁矩理论上为零。我们发现介子的质量计算结果相较于$ M_{{\rm{org}}} $偏小,这是因为五种束缚能的参数均由矢量介子拟合得到,又因为在本文中束缚能随着袋半径R跑动,赝标介子能量较低,袋半径R比矢量介子小,所以呈现这样的结果。除此之外我们发现,尽管质量计算误差存在增大和减小的情况,但均在大致$ 20\;{{\rm{MeV}}} $以内,说明束缚能跑动形式不会对介子计算结果产生太大的偏差。

      表2列出了非色磁混合单重重子的计算结果,即$ \Omega_{\rm{c}} $$ \Omega_{\rm{b}} $系统,色磁混合的情况我们将单独考虑。单重重子内的束缚能为$ {{B}}_{{\rm{cs}}} $$ {{B}}_{{\rm{bs}}} $,在图1中的变化趋势较平缓,即它们的质量计算结果与$ {{M}}_{{\rm{org}}} $相比变化较小。表2中的结果表明,$ {{M}}_{{\rm{bag}}} $要比$ {{M}}_{{\rm{org}}} $略大,这是因为重子的袋半径大多为$ R=5\;{{\rm{GeV}}^{-1}} $左右,大于介子的$ R=3\;{{\rm{GeV}}^{-1}} $左右,束缚能压低的效应减弱,导致重子质量增大。

      表3列出了非色磁混合双重重子的计算结果。其中已被实验上发现的是$\Xi_{{\rm{cc}}}$,质量为$ 3\;621\;{{\rm{MeV}}} $[2]。由于双重重子的束缚能为$ B_{{\rm{cc}}} $$ B_{{\rm{bc}}} $$ B_{{\rm{bb}}} $,其质量计算结果变化较为显著。从表中我们看到$\Xi_{{\rm{cc}}}$的质量增加$ 5\;{{\rm{MeV}}} $,更加靠近实验值;而$\Xi_{{\rm{cc}}}^{\ast}$的质量增加$ 6\;{{\rm{MeV}}} $,更加靠近预测的结果$ 3\;727\;{{\rm{MeV}}} $[18];这样的束缚能修正会使得$\Xi_{{\rm{cc}}}$的计算结果较为准确。但是对于含束缚能$ B_{{\rm{bb}}} $的双重重子,质量增大均在$ 30\;{{\rm{MeV}}} $左右,其准确性有待实验考证。

      表4列出了存在色磁混合的单重重子和双重重子计算结果。这些粒子之所以会出现色磁混合,是因为在$ {\rm{SU}}(2) $味道对称性下它们的味道波函数不具有对称性,导致两种颜色-自旋波函数发生简并。我们仍然使用变分法计算,使得本征态的质量随着袋半径R最小。结果表明,单重重子的质量增加$ 2\;{{\rm{MeV}}} $左右,双重重子质量增加$ 15\;{{\rm{MeV}}} $左右,且单重重子计算误差没有超出模型误差$ 40\;{{\rm{MeV}}} $

      表5列出了三重重子计算结果。此类重子两两夸克之间存在束缚能$ B_{{\rm{cc}}} $$ B_{{\rm{bc}}} $$ B_{{\rm{bb}}} $,其中$ B_{{\rm{bb}}} $跑动行为最显著,这使得它们的质量计算结果比$ M_{{\rm{org}}} $相比增大$ 10 \sim 50\;{{\rm{MeV}}} $。从物理图像上来讲,三个重夸克在重子中自由运动,其间距应当比介子中大,色电相互作用就不能再拟合为固定参数,跑动形式是一种合理的考虑。表6列出了不同方法计算得到的三重重子质量。本文的结果与其他工作相比较大,这不仅仅是因为束缚能跑动,还和袋模型本身的机制有关。我们发现$ M_{{\rm{org}}} $也大于表6中列出的其它工作的结果,这说明袋模型中某些效应可能未被充分研究。

      表 6  三重重子的质量计算结果与其它工作的比较(质量单位为GeV)

      强子$M_{{\rm{bag}}}$$ M $[19]$ M $[20]$ M $[21]$ M $[22]
      $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.853 4.712 4.81 4.798 4.799
      $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 8.132 7.984 8.02 8.004 8.019
      $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 8.156 7.999 8.03 8.023 8.056
      $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 11.407 11.198 11.22 11.200 11.217
      $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 11.441 11.217 11.23 11.221 11.251
      $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 14.679 14.468 14.43 14.396 14.398
    • 本文的主要工作是使用束缚能跑动形式代替拟合参数,重新计算含有束缚能的重子基态质量和磁矩。这一工作存在以下两个动机:

      ● 束缚能的贡献之一为重夸克间的色电相互作用。为了还原其表达式,我们按照色电相互作用的形式重新构造了束缚能,并使得它随着袋半径R跑动。

      ● 夸克间的相互作用取决于波函数分布,即夸克距离和耦合常数。所以不同强子内的束缚能应当取不同的数值,而不是将其统一为一组自由参数。

      从计算结果上来看,跑动形式的束缚能也可以将基态强子谱的计算误差控制在大致$ 40\;{{\rm{MeV}}} $以内。所以这种跑动形式在一定范围内是合理的,同时也增强了束缚能的本质为色电相互作用的可能性,这在探究重夸克相互作用时提供了很好的佐证。

      本文的变分结果表明,在任意不同强子间相比,袋半径R会因为强子质量的增大而减小。考虑到公式(8)中强相互作用耦合常数随着R跑动,这里的R不仅仅代表强子半径这一唯象参数,还描述了强子的重整化能标。我们发现, b重子袋半径总是小于c重子袋半径,而$\eta_{\rm b}^{}$的半径在所有数据中最小,这是重夸克相对论效应减弱的结果。

      对束缚能跑动形式的研究表明,随着袋半径增大,束缚能的绝对值会减小,其中属$ B_{{\rm{bb}}} $的跑动行为最显著。当束缚能的压低效应降低时,重子质量结果会增大,我们发现双重重子$ \Xi_{{\rm{cc}}} $的质量更加接近实验值。这说明束缚能跑动在结果上是合理的。同时它也反映了夸克相互作用依赖于夸克距离(波函数分布)和耦合常数的物理图像。对于文中的双重重子和三重重子计算结果,我们期待实验能够验证这些结论。

参考文献 (22)

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