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相对论离子与氦二聚体碰撞电离的理论研究

王振江 马新文 A. B.Voitkiv

王振江, 马新文, A. B.Voitkiv. 相对论离子与氦二聚体碰撞电离的理论研究[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
引用本文: 王振江, 马新文, A. B.Voitkiv. 相对论离子与氦二聚体碰撞电离的理论研究[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
Zhenjiang WANG, Xinwen MA, Voitkiv A. B.. Theoretical Study on the Ionization Process of Relativistic Ion and Helium Dimer Collisions[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
Citation: Zhenjiang WANG, Xinwen MA, Voitkiv A. B.. Theoretical Study on the Ionization Process of Relativistic Ion and Helium Dimer Collisions[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041

相对论离子与氦二聚体碰撞电离的理论研究

doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
基金项目: 国家重点研发计划项目 (2017YFA0402300)
详细信息
    作者简介:

    王振江(1994−),男,博士研究生,从事原子与分子物理研究;E-mail:wangzhenjiang@impcas.ac.cn

  • 中图分类号: O571.53

Theoretical Study on the Ionization Process of Relativistic Ion and Helium Dimer Collisions

Funds: National Key Research and Development Program of China(2017YFA0402300)
  • 摘要: 基于对称程函近似,从理论角度研究了相对论离子与氦二聚体碰撞双电离的直接碎裂通道:由入射离子与两个原子的作用造成的双电离。从不同的近似角度出发,建立了两个理论模型,第一个模型将氦二聚体的两个原子看做一个整体,而另外一个模型完全忽略了两个氦原子之间的相互作用。模型的数值计算结果表明,总截面与氦二聚体的空间取向有很强的依赖关系,当氦二聚体与入射离子束流平行时,总截面达到最大值,在垂直时为最小值。进一步研究发现,模型一的结果在氦二聚体核间距较小时更为合理,核间距较大时,模型二更为精确。
  • 图  1  总截面与二聚体角度的关系(卷积方法)(在线彩图)

    碰撞体系:$ {\rm U}^{92+} + {\rm{He}}_2 \rightarrow {\rm U}^{92+} + {\rm{He}}^+ + {\rm{He}}^+ + { 2 {\rm e}^-} $,碰撞能量:1 GeV/u,双电离总截面随氦二聚体方向的变化。使用的计算方法为:基于对称程函近似的卷积方法。紫色曲线为核间距$R =5$ a.u.的计算结果,绿色虚线为核间距$ R = 10 $ a.u.的计算结果。

    图  2  总截面与二聚体角度的关系(对称程函方法)(在线彩图)

    碰撞体系:$ {\rm U}^{92+} + {\rm{He}}_2 \rightarrow {\rm U}^{92+} + {\rm{He}}^+ + {\rm{He}}^+ + { 2 {\rm e}^-} $,碰撞能量:1 GeV/u,双电离总截面随氦二聚体方向的变化。使用的计算方法为:双电子对称程函近似。紫色曲线为核间距$R = 5$ a.u.的计算结果,绿色虚线为核间距$ R= 10 $ a.u.的计算结果。

    图  3  单电子微分截面随电离电子能量的变化曲线(在线彩图)

    碰撞体系、能量、和理论方法与图 2相同。单电子的能量谱线,$ {\boldsymbol r}_0 $处电离的电子能量固定为2 a.u.。紫色曲线为核间距$ R = 5 $ a.u.的计算结果,绿色虚线和蓝色点线分别为$ R = 50 $ a.u.,$R = 100$ a.u.的结果。

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出版历程
  • 收稿日期:  2021-05-17
  • 修回日期:  2021-06-01
  • 网络出版日期:  2022-11-09
  • 刊出日期:  2022-09-20

相对论离子与氦二聚体碰撞电离的理论研究

doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
    基金项目:  国家重点研发计划项目 (2017YFA0402300)
    作者简介:

    王振江(1994−),男,博士研究生,从事原子与分子物理研究;E-mail:wangzhenjiang@impcas.ac.cn

  • 中图分类号: O571.53

摘要: 基于对称程函近似,从理论角度研究了相对论离子与氦二聚体碰撞双电离的直接碎裂通道:由入射离子与两个原子的作用造成的双电离。从不同的近似角度出发,建立了两个理论模型,第一个模型将氦二聚体的两个原子看做一个整体,而另外一个模型完全忽略了两个氦原子之间的相互作用。模型的数值计算结果表明,总截面与氦二聚体的空间取向有很强的依赖关系,当氦二聚体与入射离子束流平行时,总截面达到最大值,在垂直时为最小值。进一步研究发现,模型一的结果在氦二聚体核间距较小时更为合理,核间距较大时,模型二更为精确。

English Abstract

王振江, 马新文, A. B.Voitkiv. 相对论离子与氦二聚体碰撞电离的理论研究[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
引用本文: 王振江, 马新文, A. B.Voitkiv. 相对论离子与氦二聚体碰撞电离的理论研究[J]. 原子核物理评论, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
Zhenjiang WANG, Xinwen MA, Voitkiv A. B.. Theoretical Study on the Ionization Process of Relativistic Ion and Helium Dimer Collisions[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
Citation: Zhenjiang WANG, Xinwen MA, Voitkiv A. B.. Theoretical Study on the Ionization Process of Relativistic Ion and Helium Dimer Collisions[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 391-395. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022041
    • 量子少体系统在不同时间尺度上的动力学问题是现代原子、分子和光学物理学中最重要的研究领域之一[1-2]。高速离子与原子碰撞中发生的电离、激发、俘获等是最基本且最具代表性的量子少体问题,目前已被广泛研究。在过去的几十年中,无论是在实验上还是在理论上,离子-原子和离子-分子碰撞都得到了广泛的研究[3-5]。在这些领域中,有关电子电离过程的研究极大地促进了人们对量子少体问题的理解[6]。另一方面,随着加速器能量的提升,相对论能区的原子碰撞物理逐渐吸引了人们的兴趣。首先,相对论离子产生的电磁场与非相对论离子的场有很大的不同,这样的场会对碰撞的动力学过程产生显著的影响。其次,相对论离子能够产生强度极高的电磁场。例如,在碰撞参数较小时(<10 a.u.),高电荷态相对论离子在垂直于速度的方向上可产生高达$ 10^{15} $ V/cm 的电场,而且具备与电场同量级的磁场。另外,当原子位于碰撞参数较大的位置时,它所感受到的电磁场几乎是匀强的,并且相对论入射离子与原子碰撞的有效作用时间一般小于$ 10^{-19} $ s,对相关物理过程的研究可以促进我们对极短时间尺度的动力学问题的认识。

      随着实验技术的进步,物理工作者已经可以在实验室产生多种气体原子二聚体,实验中常用的有氖二聚体、氮二聚体以及氦二聚体[7-8]。目前已知的气体原子二聚体中,由氦气原子形成的氦二聚体是目前发现的束缚能最低、核间距最大的双原子体系。与氦二聚体相关的研究最早可追溯到1928年Slater的理论工作[9],这篇文章从理论角度给出了氦二聚体存在的可能性。后来,在计算机数值计算的帮助下,理论工作者[10-11]系统地研究了两个基态氦原子的相互作用。但是,由于中性氦原子之间的相互作用过于微弱,直到1994年才首次在实验中观测到氦二聚体[12]。随后,利用周期透射光栅得到了氦二聚体的平均核间距和束缚能分别为 52 Å 和 95 neV [13]。氦二聚体这些极端性质引起了人们大量关注,对这个巨大双原子系统的探索极大地拓宽了人们对微观量子世界的认知。

      在离子与原子碰撞中,体系的跃迁概率一般只依赖于碰撞参数,但在离子与原子二聚体碰撞中情况有所不同,跃迁概率除了随碰撞参数变化外,还显著依赖于原子二聚体轴的取向。高速非相对论离子与原子二聚体碰撞方面,目前已经有许多实验开展。Titze 等[7]利用 150 keV/u的α粒子轰击氦二聚体,研究了双俘获和转移电离过程,并且首次在离子碰撞实验中观测到原子间库仑衰变过程。Kim 等[14]分析了高能$ {\rm S}^{14+} $离子与氦二聚体和氖二聚体碰撞的多重电离截面随原子二聚体方向以及核间距大小的关系,并且利用理论模拟的结果解释了该过程。

      在本文中,我们利用相对论对称程函近似,从理论角度研究了相对论离子与氦二聚体碰撞的双电离过程,考虑了直接碎裂通道:仅由入射离子的作用造成两个氦原子电离。本文内容组织如下:第二章为理论模型的构建;第三章利用发展的理论计算氦二聚体电离过程;在第四章,对全文进行了总结。

      除非另有说明,本文默认使用原子单位。

    • 在进行具体的计算前,首先通过分析该碰撞系统的一些基本特征来指导理论模型的构建。在本文的工作中,仅关注氦二聚体两个中心均因入射相对论离子的作用单电离的情形。因此,根据氦原子第一电离能的大小(24.6 eV),可以将氦原子描述为具有有效电荷$ Z_{\rm t} = 1.345 $的类氢离子。另一方面,在离子与原子碰撞电离过程中,即使入射离子的能量很高,对总截面的主要贡献依然来自低能电离电子,所以我们将使用非相对论波函数来描述电子的状态。

      为了方便进行理论推导,将氦二聚体的质心选为参考系原点,并且考虑到入射离子速度可与光速比拟,可以将它的运动近似为一条经典直线轨道,标记其坐标为 $ {{{\boldsymbol{R}}}} (t) = {{{\boldsymbol{b}}}} + {{{\boldsymbol{v}}}}_p t $。其中,$ {{{\boldsymbol{b}}}} = (b_x, b_y, 0) $ 是入射离子的碰撞参数。$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p = (0, \, 0, \, v_p) $为入射离子的速度矢量,假设沿$ z $轴方向。$ t $为入射离子的时间。除此之外,在整个碰撞过程,电子的速度远小于入射离子的速度,在这种情况下,对称程函近似能够给出与实验符合较好的预测[15-16],所以适合用于目前考虑的碰撞体系。

      将氦二聚体的两个原子视为类氢离子时,体系的含时哈密顿量为

      $$ \begin{split} \hat H = &\frac{\hat {{{\boldsymbol{p}}}}_1^2}{2} + \frac{\hat {{{\boldsymbol{p}}}}_2^2 }{2} -\frac{Z_{\rm t}}{ | {{{\boldsymbol{r}}}}_1 - {{{\boldsymbol{r}}}}_0 | } - \frac{Z_{\rm t}}{ | {{{\boldsymbol{r}}}}_1 + {{{\boldsymbol{r}}}}_0 | } -\\& \frac{Z_{\rm t}}{ | {{{\boldsymbol{r}}}}_2 - {{{\boldsymbol{r}}}}_0 | } - \frac{Z_{\rm t}}{ | {{{\boldsymbol{r}}}}_2 + {{{\boldsymbol{r}}}}_0 | } + \frac{1}{r_{12}} + \hat W (t), \end{split} $$ (1)

      在式 (1)中,$ \hat {{{\boldsymbol{p}}}}_{1, \, 2} $分别为两个活跃电子的动量算符;$ {{{\boldsymbol{r}}}}_0 $为其中一个氦原子核的位置矢量,另一个氦原子核的位矢则为$ - {{{\boldsymbol{r}}}}_0 $$ {{{\boldsymbol{r}}}}_j = (x_j , \, y_j , \, z_j ) $为第$ j $($ j=1, 2 $)个电子的坐标,$ {{{\boldsymbol{r}}}}_{12} = {{{\boldsymbol{r}}}}_1 - {{{\boldsymbol{r}}}}_2 $$ \hat W (t) $是入射离子与电子的相互作用,具体表达式为

      $$ \hat W (t) = \sum\limits_{j=1}^{2} \left[ -\varphi^{}_j + \frac{1}{2c} \left( \hat{{{\boldsymbol{p}}}}_j \cdot {{{\boldsymbol{A}}}}^{}_j + {{{\boldsymbol{A}}}}^{}_j \cdot \hat {{{\boldsymbol{p}}}}_j \right) + \frac{1}{2c^2} A_j^2 \right]{\rm{。}} $$ (2)

      式中:$ \varphi_j $$ {{{\boldsymbol{A}}}}_j $为入射离子在第$ j $个电子处的标势和矢势;$ c $为光速。在离子原子碰撞理论中,Lienard-wichert势是最常用于描述入射离子的场,这些势函数为

      $$ \varphi_j = \frac{\gamma Z^{}_p}{s^{}_j}, \ \ \ \ {{{\boldsymbol{A}}}}^{}_j = \frac{{{{\boldsymbol{v}}}}^{}_p}{c} \varphi^{}_j , $$ (3)

      其中$ \gamma = \sqrt{ 1 - v_p^2/c^2 } $为入射离子的洛伦兹因子,以及${{{\boldsymbol{s}}}}^{}_j = \left[ x^{}_j-b^{}_x, \, y^{}_j-b^{}_y, \, \gamma \left( z^{}_j - v^{}_p t \right) \right]$

      在对称程函近似中,电子从总能量为$ \varepsilon^T_i $的初态电离至总能量为$ \varepsilon^T_f $的末态,这一过程的跃迁振幅为

      $$ a_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) = -{\rm i} \int\nolimits_{-\infty}^{\, \infty} {\rm d}t \ \big\langle \chi_f \left( t \right) \left\lvert \hat H -{\rm i}\frac{\partial}{\partial t} \right\rvert \chi_i \left( t \right) \big\rangle , $$ (4)

      其中初末态扭曲波函数为

      $$ \begin{array}{l} \chi_i \left( t \right) = \psi^{}_i {\rm e}^{-{\rm i}\varepsilon^{}_i t} { \left( v^{}_p s^{}_1 + {{{\boldsymbol{v}}}}^{}_p \boldsymbol\cdot {{{\boldsymbol{s}}}}^{}_1 \right) } ^{-{\rm i} \alpha^{}_p} \left( v^{}_p s^{}_2 + {{{\boldsymbol{v}}}}_p \boldsymbol\cdot {{{\boldsymbol{s}}}}_2 \right)^{-{\rm i}\alpha_p}, \\ \chi^{}_f \left( t \right) = \psi^{}_f {\rm e}^{-{\rm i}\varepsilon^{}_f t} { \left( v^{}_p s_1 - {{{\boldsymbol{v}}}}^{}_p \boldsymbol\cdot {{{\boldsymbol{s}}}}^{}_1 \right) }^{{\rm i} \alpha^{}_p} \left( v^{}_p s^{}_2 -{{{\boldsymbol{v}}}}^{}_p \boldsymbol\cdot {{{\boldsymbol{s}}}}^{}_2 \right)^{{\rm i}\alpha^{}_p}{\rm{。}} \end{array} $$ (5)

      在式 (5)中,$ \psi_i $$ \psi_f $是未受扰动的氦二聚体的初末态波函数,相应的初末态能量为$ \varepsilon^T_i $$ \varepsilon^T_f $$ \alpha_p = Z_p/v_p $。一般直接计算$ a_{fi}( {{{\boldsymbol{b}}}} ) $会遇到很大困难,方便可行的做法是引入其傅里叶变换:

      $$ S_{fi} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp \right) = \frac{1}{2\pi} \int {\rm d}^2 b \ a^{}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) { \rm{e}}^{{\rm i} {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp \boldsymbol\cdot {{{\boldsymbol{b}}}}}{\rm{。}} $$ (6)

      这里$ {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp $为垂直于速度$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的二维矢量,与$ {{{\boldsymbol{b}}}} $同平面,物理含义为入射离子传递给电离电子的动量。在式 (6)中,我们首先有对两个电子的6维坐标积分,剩余的三维积分可以看做对入射离子空间坐标的积分,即${\rm d}^3 {{{\boldsymbol{R}}}} = {\rm d}^2 {{{\boldsymbol{b}}}} v^{}_p {\rm d}t$。计算出对$ {\rm d}^3 {{{\boldsymbol{R}}}} $的积分后,式(6)可以写为如下形式:

      $$ S^{}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp \right) = \frac{-{\rm i}\alpha^{}_p}{ (2\pi)^3 \gamma v^{}_p} \int {\rm d}^2 \eta \ G \left( {\boldsymbol \eta} \right) \mathcal{M} \left( {\boldsymbol \xi}_p, \, {\boldsymbol \xi}^{}_t \right) {\rm{。}} $$ (7)

      上式中

      $$ G \left( {\boldsymbol \eta} \right) = \pi 2^{2-2{\rm i}\alpha^{}_p} \frac{\varGamma \left( 1-{\rm i}\alpha^{}_p \right) }{\varGamma \left( {\rm i}\alpha^{}_p \right)} \eta^{2{\rm i}\alpha^{}_p-2}, $$ (8)
      $$ \begin{array}{l} \mathcal{M} \left( {\boldsymbol \xi}_p, \, {\boldsymbol \xi}_t \right) = {{{\boldsymbol{K}}}}_p\left( {\boldsymbol \xi}_p \right) \boldsymbol\cdot {{{\boldsymbol{K}}}}_t \left( {\boldsymbol \xi}_t \right) + L_p \left( {\boldsymbol \xi}_p \right) L_t \left( {\boldsymbol \xi}_t \right), \end{array} $$ (9)
      $$ \begin{split} & K_{p,\, x} = \frac{\pi 2^{2-2{\rm i}\alpha^{}_p} }{ {\xi_p}^{2-2{\rm i}\alpha_p}} \frac{\xi^{}_{p, \, x} }{\xi^{}_{p, \, z}} \varGamma \left( 2 - {\rm i}\alpha^{}_p \right) \varGamma \left( 1 - {\rm i}\alpha^{}_p \right) \times F \left( 1 - {\rm i}\alpha^{}_p , \, {\rm i}\alpha^{}_p ; 2 ; \frac{ \xi_{p, \, \perp}^2}{ \xi_p^2} \right), \\ & K_{p, \, y} = \frac{\pi 2^{2 - 2i\alpha^{}_p} }{ {\xi_p}^{2-2i\alpha^{}_p}} \frac{ \xi^{}_{p, \, y} } {\xi_{p, \, z}} \varGamma \left( 2 - i\alpha_p \right) \varGamma \left( 1- {\rm i}\alpha^{}_p \right) \times F \left( 1 - {\rm i}\alpha^{}_p , \, {\rm i}\alpha^{}_p ; 2 ; \frac{ \xi_{p, \, \perp}^2}{\xi_p^2} \right), \\& K_{p, \, z} = \frac{\pi 2^{2-2i\alpha^{}_p} }{ {\xi_p}^{2-2{\rm i}\alpha^{}_p}} \frac{1}{\gamma^{}_p} \varGamma \left( 1- {\rm i}\alpha^{}_p \right)^2 \times F \left( 1-{\rm i}\alpha^{}_p , {\rm i}\alpha^{}_p ;\;1 ;\; \frac{ \xi_{p, \perp}^2}{ \xi_p^2 } \right) , \\[-14pt] \end{split} $$ (10)

      以及

      $$ \begin{split} L_p =& - \frac{\pi 2^{1-2{\rm i}\alpha^{}_p} {\xi_p}^{2{\rm i}\alpha^{}_p} }{ \xi^{}_{p, \, z}} \varGamma \left( 1-{\rm i}\alpha^{}_p \right)^2 F \left( -{\rm i}\alpha^{}_p , \, {\rm i}\alpha^{}_p ;\, 1 ;\, \frac{\xi_{p, \, \perp}^2}{ \xi_p^2} \right) -\\& \alpha^{}_p \pi^2 \beta^2 {\xi_p}^{2{\rm i}\alpha^{}_p-1} \varGamma \left( 1- 2{\rm i}\alpha^{}_p \right) F \left( \frac{1}{2} -{\rm i}\alpha^{}_p , {\rm i}\alpha^{}_p ;\, 1 ;\, \frac{\xi_{p, \, \perp}^2}{ \xi_p^2} \right){\rm{。}} \end{split} $$ (11)

      在式(7)中,$ {\boldsymbol \eta} $是垂直于$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的二维矢量,$ {\boldsymbol \xi}_p = \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp - {\boldsymbol \eta} ; q_{ \rm min}/\gamma \right) $以及$ {\boldsymbol \xi}_t = \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp - {\boldsymbol \eta} ;\; q_{ \rm min} \right) $$ q_{\rm min} = (\varepsilon^T_f - \varepsilon^T_i)/v_p $。在式(10)和(11)中, $ \varGamma (x) $为欧拉伽马函数,$ F(a, \, b, \, c, \, x) $是高斯超几何函数[17],除此之外,$ \xi_{p, \, \perp} $为垂直于$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的分量。矩阵元$ {{{\boldsymbol{K}}}}_t ({\boldsymbol \xi}_t) $$ L_t ({\boldsymbol \xi}_t ) $分别为

      $$ \begin{split} & {{{\boldsymbol{K}}}}_t = \langle \psi_f \left\lvert {\rm e}^{{\rm i}\left( {{{\boldsymbol{q}}}}_t \cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_1 + {\boldsymbol \eta}\cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_{2\perp} \right) } {\rm i} \nabla_1 + {\rm e}^{{\rm i} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_t \cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_2 + {\boldsymbol \eta}\cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_{1\perp} \right) } {\rm i} \nabla_2 \right\rvert \psi_i \rangle, \\& L_t = \langle \psi_f \left\lvert {\rm e}^{{\rm i} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_t \cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_1 + {\boldsymbol \eta}\cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_{2\perp} \right) } + {\rm e}^{{\rm i} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}_t \cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_2 + {\boldsymbol \eta}\cdot {{{\boldsymbol{r}}}}_{1\perp} \right) } \right\rvert \psi_i \rangle , \end{split}$$ (12)

      上式中$ \nabla_j $为作用于第$ j $个电子空间坐标的梯度算符。从式 (6)出发,我们可以得到电子的全微分散射截面,即截面对两个电离电子的动量以及二维动量转移$ {{{\boldsymbol{q}}}}_\perp $的微分:

      $$ \frac{ {\rm{ d}} \sigma}{ {\rm{ d}}^2 {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp {\rm{d}}^3 {{{\boldsymbol{p}}}}_1 {\rm{d}}^3 {{{\boldsymbol{p}}}}^{}_2 } =\big | S_{fi} ( {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp )\big |^2{\rm{。}} $$ (13)

      如前所述,氦二聚体有极低的束缚能和很大的核间距。这说明,可以使用两个分离的原子状态来近似氦二聚体的初末态:

      $$ \begin{split} & \psi^{}_i ({{{\boldsymbol{r}}}}^{}_1,\, {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_2) = \phi^{}_b \left( {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_1 - {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_0 \right) \phi_b \left( {{{\boldsymbol{r}}}}_2 + {{{\boldsymbol{r}}}}_0 \right) , \\& \psi^{}_f ({{{\boldsymbol{r}}}}^{}_1,\, {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_2) = \phi^{}_{{{{\boldsymbol{p}}}}^{}_1} \left( {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_1 - {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_0 \right) \phi_{{{{\boldsymbol{p}}}}^{}_2} \left( {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_2 + {{{\boldsymbol{r}}}}^{}_0 \right) , \end{split} $$ (14)

      其中$ \phi_b ({{{\boldsymbol{r}}}}) $$ \phi_{{{\boldsymbol{p}}}}({{{\boldsymbol{r}}}}) $是核电荷数为$ Z_{\rm t} = 1.345 $的类氢离子的基态和连续态波函数(渐进动量为$ {{{\boldsymbol{p}}}} $)。特别地,初态总能量为$ \varepsilon^T_i = 2 \varepsilon_0 $$ \varepsilon_0 $为类氢离子基态能量。

      除了上述方法外,考虑到氦二聚体核间距较大时,每个氦原子可以近似为独立演化,因此,还可以直接将每个原子的电离概率相乘以获得双电离概率,这种做法完全忽略了两个电子之间的相互作用。此时,两个原子同时电离的跃迁振幅为

      $$ \begin{array}{l} a_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) = a^{\rm I}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) a^{\rm II}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right), \end{array} $$ (15)

      其中$ a^{\rm I}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) $$ a^{\rm II}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) $为处于坐标$ {{{\boldsymbol{r}}}}_0 $$ {\boldsymbol {-r}}_0 $处的氦原子的跃迁振幅。与之前类似,现引入傅里叶变换来简化计算:

      $$ \begin{split} S_{fi} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp \right) &= \frac{1}{2\pi} \int {\rm d}^2 b \ a_{fi}^{\rm I} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) a_{fi}^{\rm II} \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) {\rm e}^{{\rm i} {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp \cdot {{{\boldsymbol{b}}}}} \\& = \frac{1}{2\pi} \int {\rm d}^2 \eta \ S_{fi}^{\rm I} \left( {\boldsymbol \eta} \right) S_{fi}^{\rm II} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp - {\boldsymbol \eta} \right), \end{split}$$ (16)

      上式中,利用了傅里叶变换的性质“乘积的傅里叶变换为每个量独立变换的卷积”,即

      $$ S_{fi}^{\rm I ( II ) } \left( {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp \right) = \frac{1}{2\pi} \int {\rm d}^2 b a_{fi}^{\rm I (II) } \left( {{{\boldsymbol{b}}}} \right) {\rm e}^{{\rm i} {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp \boldsymbol\cdot {{{\boldsymbol{b}}}}} , \\ $$ (17)

      为每个原子的在动量空间的跃迁振幅。利用与之前类似的方法,对入射离子的坐标积分后,可以将两个氦原子同时电离的跃迁振幅$ S_{fi} ({{{\boldsymbol{q}}}}_\perp) $写为

      $$ S^{}_{fi} \left( {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp \right) = \frac{-1}{2\pi} \left( \frac{\alpha^{}_p}{2\pi \gamma v^{}_p} \right)^2 \int {\rm {d}}^2 \eta \, {\rm{e}}^{{\rm {i}} {\boldsymbol \eta} \cdot 2 {{{\boldsymbol{r}}}}_0 } \mathcal{M} \left( {{{\boldsymbol{p}}}}^{}_1,\, {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_1 \right) \mathcal{M} \left( {{{\boldsymbol{p}}}}^{}_2,\, {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_2 \right)。 $$ (18)

      式中:$ \mathcal{M} $与式(9)中相同;$ {{{\boldsymbol{p}}}}_{1, 2} $为电离电子的动量,对应的电离电子能量为$\varepsilon^{}_{f1}$$\varepsilon^{}_{f1}$。变量${{{\boldsymbol{q}}}}^{}_{1, 2}$

      $$\begin{split} & {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_1 = {\boldsymbol \eta} + \frac{\varepsilon^{}_{f1}-\varepsilon^{}_0}{v_p} {{{\boldsymbol{e}}}}^{}_z ,\\& {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_2 = {{{\boldsymbol{q}}}}^{}_\perp - {\boldsymbol \eta} + \frac{\varepsilon^{}_{f2}-\varepsilon^{}_0}{v^{}_p} {{{\boldsymbol{e}}}}^{}_z{\rm{。}} \end{split} $$ (19)

      目前建立的这两种理论方法看起来都是合理的,我们需要进一步进行数值计算,通过对比两种方法的结果,可以更好地理解两种理论模型的特性,以及计算结果的合理性。为方便后文的讨论,根据每种方法的特点,我们将本节第一种方法称为双电子对称程函近似,将第二种方法称为基于对称程函近似的卷积方法。

    • 本节将讨论从式(13)以及(16)出发获得的数值结果。我们选择$ {\rm U}^{92+} $作为入射离子,碰撞能量为1 GeV/u ($ v_p \approx 120 $ a.u.)。碰撞结束时,每个氦原子都被电离,这两个带电离子由于库仑排斥相互远离,最终被探测器收集。显然,核之间的距离和二聚体的取向将对碰撞的动力学产生重大影响,进而造成双电离总截面的变化。在下文中,我们首先研究二聚体的几何构型如何改变电离电子的总截面,对比两种理论方法的结果,最后简单分析微分截面。

      图12中展示了两个电离电子的总截面与氦二聚体空间取向的关系。氦二聚体的核间距分别取为5和10 a.u.两种情况。从图中可以看出,氦二聚体双电离的总截面与二聚体的核间距以及二聚体与入射束流夹角有很强的相关性。首先,当氦二聚体平行于入射离子速度时,两个氦原子有相同的碰撞参数,此时两个电子的电离总截面为最大值。而随着二聚体与束流夹角增大时,截面是单调减小的,当二聚体与束流垂直时,截面达到最小值。其次,当氦二聚体与束流不平行时,固定角度可从图中得出,双电离总截面随着二聚体核间距的增加而减小。以上结论可以从我们的计算方法中得到。

      图  1  总截面与二聚体角度的关系(卷积方法)(在线彩图)

      图  2  总截面与二聚体角度的关系(对称程函方法)(在线彩图)

      利用卷积计算总截面时,会遇到包含相位因子的二维积分$\exp \left( {\rm i} {\boldsymbol \eta} \boldsymbol\cdot 2 {{{\boldsymbol{r}}}}_0 \right)$。氦二聚体空间取向与核间距对双电离截面的所有影响都包括在这个相位因子里。因为此处$ {\boldsymbol \eta} $为垂直于$ z $轴的二维矢量,并且我们已经假设束流沿着$ z $轴方向,所以当二聚体与束流平行时有$ {\boldsymbol \eta}\boldsymbol\cdot 2{{{\boldsymbol{r}}}}_{0} = 0 $,这说明此时截面与二聚体核间距无关。当二聚体与束流不平行时,因子$ \exp \left( {\rm i} {\boldsymbol \eta} \boldsymbol\cdot 2 {{{\boldsymbol{r}}}}_0 \right) $的震荡会造成总截面降低。从以上的分析不难看出,使用卷积方法时,氦二聚体的核间距矢量$ 2{{{\boldsymbol{r}}}}_{0} $在平行于入射离子速度$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的分量对总截面没有影响,因此,那些核间距在垂直于$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的分量$ r_{0\perp} $大小相同的氦二聚体将具有相同的双电离总截面。

      图2中不难发现,在平行的情况下,利用双电子程函近似得出的总截面会随着核间距增大缓慢的减小,而另一种方法的到的总截面不随核间距改变。为了对这个现象有更清晰的了解,我们将其中一个电离电子能量固定为2 a.u.,利用双电子对称程函近似计算了二聚体与束流平行时不同核间距下的单电子微分散射截面$ {\rm d}\sigma/ {\rm d} \varepsilon $,结果如图3。图中可以看出,氦二聚体核间距的增大会使电子的微分散射截面产生震荡现象。并且核间距的增大明显的减小了总截面。在式(13) 两端对二维动量转移${{{\boldsymbol{q}}}}^{}_{\perp}$以及两个电子的的立体角积分,我们可以得到散射截面对两个电离电子能量的微分

      图  3  单电子微分截面随电离电子能量的变化曲线(在线彩图)

      $$ \frac{{\rm d}\sigma } { {\rm d} \varepsilon^{}_1 {\rm d} \varepsilon^{}_2 } = \sigma^{}_d + \sigma^{}_1 \cos ( 2 q^{}_{\rm min} r^{}_{0\parallel} ) + \sigma^{}_2 \sin( 2 q^{}_{\rm min} r^{}_{0\parallel} ) , $$ (20)

      其中$r^{}_{0\parallel}$$ {{{\boldsymbol{r}}}}_0 $平行于$ {{{\boldsymbol{v}}}}_p $的分量;$ \sigma_d $, $ \sigma_1 $$ \sigma_2 $为仅与电子出射能量有关的量。从式(20)中可以发现,微分散射截面出现震荡结构,震荡周期与$ r_{0\parallel} $$ q_{\rm min} $有关。这可以解释我们的理论在平行时的表现,因为微分截面的震荡造成了总截面降低,而且解释了核间距越大震荡越剧烈的现象。但是,稍加分析就可判断出这个结果是不合理的,当氦二聚体核间距足够大时,两个氦原子彻底分成两个独立体系,可以忽略两个氦原子之间的相互作用,此时采用卷积计算得到的结果更为合理。因此,造成微分截面震荡的原因是此理论方法本身的缺陷,由于对称程函近似初末态不正交导致出现图3中的震荡现象。但是,双电子对称程函近似在核间距较小,即电子关联效应较强时,能够更合理地体现电子之间的相互作用,此时初态波函数已不能简单地使用两个原子态的乘积,例如此方法应用于氦原子双电离时可以得到与实验符合的计算结果[16]

    • 本文针对相对论入射离子与氦二聚体碰撞中的直接解离通道:由入射离子与两个原子的作用造成的双电离,利用对称程函近似,建立的两种模型来计算这一反应过程。其中一个模型里,我们将氦二聚体的两个原子看做一个整体,而另外一个模型完全忽略了两个氦原子之间的相互作用。

      利用这两个模型,我们研究了氦二聚体两个中心同时电离的总截面。结果表明,总截面与氦二聚体的空间取向有很强的依赖关系,当氦二聚体与入射离子束流平行时,总截面达到最大值,在垂直时为最小值。对两种方法的对比研究表明,双电子程函近似适用于核间距较小的情况,此时可以反映出电子之间的相互作用的影响。当二聚体核间距很大时,将它视为两个独立的原子体系更为合适,从微分散射截面分析了此时双电子程函近似的不足。

参考文献 (17)

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