核的一个基本性质是它的几何学形状。所以核的形状, 无论是球状、长椭球、扁椭球、轴对称或三轴, 是核的基态也是激发态的一个关键性质^[1]。定量描述核形状，人们通常用熟知的几何形变参量${\beta _2} $和$ \gamma $。在Möller等^[2]的工作中，他们横跨核素图对核基态形状的轴对称破缺作了首次计算。在那工作中他们得到靠近稳定核非轴对称效应最大的两个区域，这两个区域以Z = 44、N = 64和Z = 62、N = 76为中心，这两区域中的许多原子核已被观测到$ \gamma $带，同时他们指出了另外一个实验可以到达的区域，在那区域中$ \gamma $带也已被观测到，但非轴对称效应对计算基态质量的影响较小，这个区域称Pt区，是在Z = 78和N = 116即¹⁹⁴Pt附近^[2]，见图1。

图  1  本工作所研究的^176-202Os和^182-204Pt在核素图中的位置(在线彩图)

然而, 除他们关于基态形变的讨论之外，我们认为所使用的模型也应该能对高激发、强形变和超形变带进行研究, 为此目的， 原则上，总Routhian面(Total Routhian Surface，简称TRS)计算方法就可以用到这些方面去。另一方面，Pt同位素激发态的三轴形变以前曾用三轴投影壳模型讨论过^[3]。

调研显示，已有人对这个Os-Pt区的形状演化做过一些理论研究工作^[4-7]。在Werner等^[1]的工作中关于核^{188, 190, 192}Os和^{194, 196}Pt的有效的近似$\beta$-和$\gamma$-形变参量已从他们的方法中得到。在Kumar和Baranger广泛的计算中^[8-9]，对从轻到重的Pt同位素基态形状变化都作了预言。对Pt同位素的Hartree-Fock-Bogoliubov计算暗示， 随中子数的增加核逐渐从长椭球变到扁椭球^[10]。在这些和其它一些计算^[11-12]中得到的形变参数与B(E2)的测量值恰当地相符。Kumar和Baranger^[13]在他们的另一个工作中预言，Pt同位素从长椭球向扁椭球的转变位于¹⁸⁸Pt和¹⁹⁰Pt之间，此与Bengtsson等^[12]的工作相符。核¹⁸⁸Pt被认为是$\gamma $软性核^[12]。

有人在相对论平均场理论框架下研究缺中子Pt同位素链的核基态性质^[14]，研究发现，在轴对称限制下所考虑的这些Pt同位素都倾向于扁椭球。 这与一些现存的非相对论性理论相矛盾，这些理论预言轻Pt同位素(即相对来说缺中子Pt同位素)其形状转变为长椭球。作总Routhian面(作为$\beta_2$和$ \gamma $的函数)计算以检查这些计算结果受$ \gamma $自由度影响当然是很有趣的。在Stevenson等^[15]的工作中，他们指出，人们预期在这个区域核在$ \gamma $自由度方向是相当软的，并且人们应该用那种观点解释在那些轻核中的轴对称计算结果^[15]。

在本工作中， 我们将注意力集中在一些偶-偶Os和Pt核的三轴自由度上，特别是三轴形变参量$ \gamma $的软度上。我们将用对力−形变−转动频率自洽的推转壳模型计算一些核转晕带的总Routhian面和转动惯量^[16-17]。TRS计算中, 单粒子能量由非轴对称形变的Woods-Saxon(WS)势获得^[18]，计算过程中使用的WS势参数^{[19, 20]}为：(a) 半径参数：r₀(p) = r₀(n) = r_0-so(p) = r_0-so(n) = 1.190 fm；(b) 中心势阱参数：V₀ = 53.754 MeV，κ = 0.791；(c) 自旋-轨道耦合强度参数：λ(p) = λ(n) = 29.494；(d) 表面弥散参数：a₀(p) = a₀(n) = a_0-so(p) = a_0-so(n) = 0.637 fm。用Lipkin-Nogami(LN)方法处理对关联^[21]，这避免了在更加简单的BCS方法中遇到的假配对相变。单极对力强度参数$ {G^0} $由平均能隙方法确定^[22]。一个组态的总能量包括宏观部分(由标准液滴模型得到^[23])以及微观部分(来自于Strutinsky壳修正^[24]，$ \delta {E_{{\text{shell}}}} = {E_{{\text{LN}}}} - {\tilde E_{{\text{Strut}}}} $)。计算在四极形变($ {\beta _2} $,$ \gamma $)的网格上进行而十六极形变$ {\beta _4} $可变。对一个给定的转动频率ω，对关联由在形变网格的任一给定的点上解推转LN方程自洽地处理(即前面提到的“对力-形变-转动频率自洽”推转壳模型)， 然后平衡形变由最小化获得的TRS确定(具体细节参见文献[16-17])。四极对力在双拉伸的坐标空间^[25]对能量的效应可忽略，但是被包括进来(其强度由定域伽利略不变性的恢复决定)，因为它对集体角动量有重要影响^[17]。总集体角动量计算如下：

这里$ \rho $是推转LN模型的密度矩阵在旋称基中的表示, 明确地由$ \alpha $,$ \beta $表示($ \tilde \alpha $,$ \tilde {\beta} $是与$ \alpha $,$ \beta $相对的旋称)^[16]。转动惯量由$ {\Im ^{(1)}} = {I_x}/\omega $获得，这里$ \omega $是转动频率。

在本工作中我们将主要讨论偶−偶Os和Pt同位素链的四极形变，特别是在这些核中的三轴形变自由度。对实例¹⁹⁰Pt的总Routhian面(TRS)计算结果如图2所示，图中采用极坐标平面($ {\beta _2} $,$ \gamma $)。在各个网格点，总Routhian对十六极形变$ {\beta _4} $最小化。长椭球(扁椭球)形状对应于三轴形变参数$ \gamma $ = 0°(−60°)。相邻等位线间隔200 keV。

图  2  对¹⁹⁰Pt的正宇称态在给定转动频率$ \hbar \omega $ = 0.15 MeV (a)、$ \hbar \omega $ = 0.25 MeV (b)、$ \hbar \omega $ = 0.35 MeV (c)和0.45 MeV (d)下计算得到的总Routhian面，其对应于自旋$ I \sim (3.5 - 40)\hbar $

TRS计算所得^176-202Os基态的形变参量$ {\beta _2} $和$ \gamma $如表1所列。从¹⁷⁶Os到¹⁹⁴Os基本上是轴对称的核，¹⁹⁶Os为偏离轴对称较大的核，¹⁹⁸Os和²⁰⁰Os为扁椭球核，而²⁰²Os基本为球形核，是因为其中子数为126(幻数)；另一方面，从¹⁷⁶Os到²⁰²Os，轴对称四极形变参数$ {\beta _2} $在逐渐减小，直至²⁰²Os接近球形。而Fossion等^[26]的工作指出在^188-200Os链中能看到从长椭球向扁椭球形状的转变，在^188-192Os中长椭球极小值比扁椭球极小值低，但是相反情况发生在^194,196Os，在¹⁹⁶Os中TRS已经是相当平了，发展到²⁰⁰Os中的振动形状^[26]。作为比较，Möller和Nix的编评参数$ {\beta _2} $^[27]也列在表1中。$ {\beta _2} $和${\beta _4}$的定义见文献[27]的式(37)。

在现在的工作中，对铂同位素^182-204Pt基态TRS计算结果如表2所示，可以看到从¹⁸⁴Pt适度三轴形变$ \gamma $ = −12.381°的长椭球形状、到¹⁹⁰Pt的三轴形变$ \gamma $ = −30.431°(是接近最大的三轴形变$ \gamma $ = −30°)、 到¹⁹⁸Pt非常小的三轴形变$ \gamma $ = −57.262°、到最后的^{200, 202}Pt的扁椭球(对那些非转动态，TRS对于$ \gamma $ = 0°和−60°是对称的, 因此当转动频率$ \omega $ = 0，即核处于静态，$\gamma \ $ = −30°(−120°)等价于$ \gamma \ $ = 30°(0°)，即最大的三轴(长椭球)形状)，所以在这些同位素中，计算得出$\gamma $随中子数增加比较光滑的变化，即与上面的Os同位素不同的是，从¹⁸²Pt的长椭球逐渐变到²⁰²Pt的扁椭球，而²⁰⁴Pt基本为球形核，是因为其中子数为126(幻数)；另一方面，与上面的Os同位素相似，从¹⁸²Pt到²⁰⁴Pt，轴对称四极形变参数$ {\beta _2} $在逐渐减小，直至²⁰⁴Pt接近球形。同时我们注意到，总Routhian面(TRS)计算显示^188-194Pt基态有显著的(有效的)三轴形变。 这个情况在核基态是非常罕见的，但经常发生在高自旋激发态。在往年，对高自旋态对轴对称的可能偏离被广泛地讨论过(文献[28]及其参考文献)，然而，较少注意到核基态的非轴对称性, 故早先的结果是非常稀少的^[2]。文献中有一些暗示： 非轴对称一般是动态的，即核要在基态牢固地建立起刚性三轴形变几乎很难(参见文献[29-30]及其参考文献)。为比较，从采用激光光谱的同位素移动(IS)测量提取出的$ {\beta _2} $实验值^[31]和Möller和Nix的编评参数$ {\beta _2} $^[27]也列在表2中。

我们的计算得出的形状与文献[27, 31]符合。在铂同位素情况下，Fossion等^[26]的TRS计算展示了在¹⁸⁶Pt(长椭球)与¹⁸⁸Pt(扁椭球)之间从长椭球向扁椭球形状的转变。在^184-192Pt中出现两个极小值，在^{184, 186}Pt中长椭球的极小值比扁椭球极小值低, 相反情况发生在^188-192Pt中。¹⁹⁴Pt以上的同位素其TRS变平，发展到振动形状, 直到²⁰²Pt^[26]。

总Routhian面计算显示¹⁹⁶Os和^188-194Pt基态具有明显的三轴形变，为了确定这些核的三轴形变是软性的(动态的)还是刚性的(静态的)，我们在对力-形变-转动频率自洽推转壳模型框架下对其中的¹⁹⁶Os和¹⁹⁰Pt核进行了讨论，即把从推转壳模型算出的运动学转动惯量(也叫第一类转动惯量)${\Im ^{(1)}} $与对应的从实验测到的能级能量提取出的运动学转动惯量作比较，如图3所示，发现理论计算值与实验值存在明显差异，总Routhian面计算基于推转壳模型，其只考虑转动，没有考虑振动，理论计算值与实验值的明显差异说明¹⁹⁶Os和¹⁹⁰Pt有振动行为，这与用对力-形变-转动频率自洽推转壳模型对⁷⁴Ge和⁷⁴Se的计算所得结果相同，参见文献[32]的图4。

图  3  对(a) ¹⁹⁶Os和(b) ¹⁹⁰Pt核由对力-形变-转动频率自洽推转壳模型计算得到的运动学转动惯量${\Im ^{(1)}} $与实验提取值的比较(在线彩图)

然而核基态$\gamma $形变的大小在实验中不能很直接地测量。所以最后作为补充，我们尝试使用以下简单公式计算三轴形变参量$\gamma $：

这是Bohr哈密顿量对软性三轴形变核的解析结果^[33-34]，核¹⁸⁸Pt的$\gamma $值由比率$ \frac{{{E_2}({2^ + })}}{{{E_1}({2^ + })}} $给出是−25.857°(需要指出的是这里的$\gamma $ = −25.857°等价于$ \gamma $ = 25.857°，因为对非转动态，即当核是静态时，TRS对于$ \gamma $ = 0°和$ \gamma $ = −60°是反射对称的)，两个能级的实验值$ {E_1}({2^ + }) = 265.62 \;{\text{keV }} $和$ {E_2}({2^ + }) = 605.71 \; {\text{keV}} $取自文献[35]。采用同样方法得出核¹⁹⁰Pt的$ \gamma $值是31.103°， 这里这个核的$ {E_1}({2^ + }) $和$ {E_2}({2^ + }) $值取自文献[36]。这显示尽管采用不同的方法来获得那些值，它们与TRS计算结果符合得很好。这里提出的TRS计算也许可以作为分析在各质量区内核基态和激发态形状的一个好起点，这里三轴形变被用来充当一个相关的角色，特别是软性的三轴形变。

在本工作中，为讨论在这些核中形状演变作为中子数的函数，我们计算了许多偶-偶Os和Pt同位素的基态形状，这正像我们过去所做的工作^[37-38]，在那两个工作中用投影壳模型对⁹⁵Tc^[37]和¹⁰¹Tc^[38](形状演变作为中子数的函数)作了研究，但现在我们使用一种绝对不同的方法和研究不同的核，特别是现在我们集中注意力于从基态开始的强的形状非轴对称。在我们的TRS计算中Os和Pt同位素形状表现出γ-软性三轴形变, 而¹⁹⁶Os和^188-194Pt显示显著的三轴形变。现在的工作给出对这些核的一个进一步的理论洞察，证明我们用对力−形变−转动频率自洽的推转壳模型所作的总Routhian面计算对确定核形状和它的软性是特别适当的，不仅对基态而且对激发态。