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原子核Gamow-Teller共振和β衰变寿命的超越平均场描述

牛一斐

牛一斐. 原子核Gamow-Teller共振和β衰变寿命的超越平均场描述[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
引用本文: 牛一斐. 原子核Gamow-Teller共振和β衰变寿命的超越平均场描述[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
Yifei NIU. Beyond Mean-field Description of Nuclear Gamow-Teller Resonance and β-decay Half-lives[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
Citation: Yifei NIU. Beyond Mean-field Description of Nuclear Gamow-Teller Resonance and β-decay Half-lives[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57

原子核Gamow-Teller共振和β衰变寿命的超越平均场描述

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
基金项目: 中央高校基本科研业务费(lzujbky-2019-11)
详细信息
    作者简介:

    牛一斐(1986–),女,河南许昌人,博士,教授,从事粒子物理与原子核物理研究;E-mail:niuyf@lzu.edu.cn

  • 中图分类号: O571.21

Beyond Mean-field Description of Nuclear Gamow-Teller Resonance and β-decay Half-lives

Funds: Fundamental Research Funds For The Central Universities (lzujbky-2019-11)
图(10)
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-01-23
  • 修回日期:  2020-05-12

原子核Gamow-Teller共振和β衰变寿命的超越平均场描述

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
    基金项目:  中央高校基本科研业务费(lzujbky-2019-11)
    作者简介:

    牛一斐(1986–),女,河南许昌人,博士,教授,从事粒子物理与原子核物理研究;E-mail:niuyf@lzu.edu.cn

  • 中图分类号: O571.21

摘要: 原子核的β衰变是决定宇宙中从铁到铀重元素合成的关键核过程之一。原子核β衰变的主导核跃迁是Gamow-Teller(GT)跃迁,因此,研究原子核β衰变寿命的关键是准确描述原子核的GT跃迁。描述原子核GT跃迁和β衰变寿命最常用的理论模型之一为无规相位近似(RPA)模型。然而,由于该模型仅考虑了一粒子一空穴激发组态,因此无法给出GT共振宽度,并容易高估β衰变寿命。为了克服上述困难,基于Skyrme密度泛函,发展了包含粒子振动耦合效应的无规相位近似(RPA+PVC)模型。相比于RPA模型,该模型在组态空间进一步考虑了一粒子一空穴和声子的耦合组态,从而包含了超越平均场的多体关联效应。为了推广至开壳原子核的研究,进一步考虑了对关联效应,发展了包含准粒子振动耦合效应的准粒子无规相位近似(QRPA+QPVC)模型。基于上述模型,研究了幻数原子核和超流原子核的GT跃迁、β衰变和β+/电子俘获。研究发现,采用同一组Skyrme相互作用参数SkM*,上述模型能够重现实验测量的GT共振宽度和跃迁强度分布,部分解释实验观测的GT跃迁强度压低问题,并同时改进对β衰变寿命的描述。该文针对上述最新研究进展进行了综述,并对将来的发展方向给出展望。

English Abstract

牛一斐. 原子核Gamow-Teller共振和β衰变寿命的超越平均场描述[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
引用本文: 牛一斐. 原子核Gamow-Teller共振和β衰变寿命的超越平均场描述[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
Yifei NIU. Beyond Mean-field Description of Nuclear Gamow-Teller Resonance and β-decay Half-lives[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
Citation: Yifei NIU. Beyond Mean-field Description of Nuclear Gamow-Teller Resonance and β-decay Half-lives[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC57
    • 21世纪初,《发现》杂志刊登了美国物理和天体物理学会提出的物理学11大未解之谜,其中之一为“从铁到铀的重元素是如何合成的”[1]。大约一半的重元素由快中子俘获过程(r-过程)合成,然而,快中子俘获过程的研究面临诸多挑战。首先是快中子俘获过程发生场所的研究。超新星爆发和双中子星并合均为r-过程可能的发生场所[2]。GW170817双中子星并合事件证实了双中子星并合为r-过程的发生场所之一,这是r-过程研究的一个重大进展[3-4]。r-过程研究的另一难点是精确的核物理输入量,比如原子核的质量、β衰变寿命、中子俘获截面等[5]。在r-过程中,种子核处于丰中子的天体环境中,通过快速地俘获中子,生成不稳定的丰中子核素。这些核素又通过β衰变,产生更重的元素。由此可见,r-过程涉及的两个关键核反应为中子俘获和β衰变,它们的反应率是研究r-过程的关键物理量。然而,r-过程涉及了大量远离β稳定线的丰中子原子核,实验上很难研究。因此,对这些原子核的性质和反应率的研究十分依赖于理论计算。鉴于核力以及原子核这一有限量子多体系统的复杂性,不同的理论模型给出的计算结果不确定度非常大,这一不确定度会对r-过程的研究带来极大困难。在文献[6]中,Mumpower等研究了原子核β衰变寿命和中子俘获率计算的不确定度对r-过程丰度分布的影响。依据理论模型计算结果的不确定度,利用蒙特卡罗方法,将原子核的β衰变寿命和中子俘获率分别随机变化2个量级($10^{-1}\!\sim\! 10$)和6个量级($10^{-3}\! \sim\! 10^3$)。随后,把该β衰变寿命或中子俘获率作为输入量进行r-过程模拟计算,发现其对r-过程丰度分布带来的不确定度高达2个量级[6]。因此,亟需获得精确的r-过程核物理输入量。这里将着重讨论原子核的β衰变寿命。

      实验方面,随着放射性核束装置的发展,对远离稳定线原子核的β衰变寿命测量取得了巨大进展。比如,r-过程路径关键原子核78Ni及其周围原子核79,80Ni、76,77Co和81Cu[7-8]82,83Zn和85Ga,这些实验数据对$A \!>\! 140$的r-过程丰度分布产生了显著影响[9];r-过程路径36Kr到43Tc丰中子同位素,发现以往的理论计算高估实验值至少2倍,从而暗示r-过程具有更快的物质流动[10];110个跨N=82壳37Rb到50Sn丰中子同位素,这些核素的β衰变寿命实验数据改进了对A=130前后r-过程观测丰度的低估[11];94个55Cs到67Ho丰中子同位素,这些核素的β衰变寿命对太阳系稀土区元素的丰度分布有重要影响[12]。对于更重的核素,目前测量了208Pb附近$N\!\sim \!126$的Ir、Pt、Au、Hg、Tl、Pb和Bi同位素的β衰变寿命[13-14],然而,这些核素处于稳定线附近,对于N=126附近的r-过程路径原子核,实验还远远无法达到。

      已有的实验数据能够很好地检验原子核β衰变寿命的理论研究,而对于实验尚未能测量的原子核的β衰变寿命研究,则依赖于准确的理论计算。β衰变寿命的计算由三部分决定:弱相互作用常数、核跃迁矩阵元和相空间因子。其中,弱相互作用常数可以由粒子物理精确给出,因此,β衰变寿命计算的不确定度主要来自于核跃迁矩阵元和相空间因子,其中,相空间因子正比于β衰变阈值$Q_{\rm{\beta}}$和核跃迁能量之差的五次方。由此可见,精确计算β衰变寿命的关键在于精确计算核跃迁。β衰变的主导核跃迁是Gamow-Teller(GT)跃迁。在GT跃迁中,原子核的轨道角动量不改变,自旋和总角动量的改变为1。实验室中,可以通过强相互作用——(p, n)反应激发GT跃迁,进而从零度的微分散射截面提取GT跃迁强度[15]。丰中子原子核中GT跃迁强度分布由两部分组成,一部分是位于高能量的共振峰,另一部分位于$Q_{\rm{\beta}}$阈值以下,主导着β衰变。

      理论上研究原子核β衰变的微观核模型主要有三类:从头计算模型、壳模型和无规相位近似(RPA)模型。在非微扰从头计算无核芯壳模型中,采用两体和三体核力,计算了$0p-$壳原子核的β衰变寿命,质量数可达A=16[16]。壳模型可计算质量数达$A\! \sim\! 65$$pf-$壳原子核[17],或者幻数附近的原子核[18-19]。RPA模型则可以计算除了少数轻核外核素图上绝大多数原子核的β衰变寿命。比如,基于有限程小液滴模型(FRDM)的准粒子无规相位近似(QRPA)模型计算了8 979个原子核的β衰变寿命[20-21];基于相对论Hartree-Bogoliubov的QRPA模型计算了5 409个原子核的β衰变寿命[22]。其中,FRDM+QRPA的计算结果通常作为r-过程模拟的标准输入库,提供尚无实验数据的β衰变原子核寿命值。在协变密度泛函框架下,进一步考虑Fock项,发展了基于相对论Hartree-Fock-Bogoliubov的完全自洽QRPA模型,用于β衰变的寿命计算[23]。在非相对论密度泛函框架下,基于Skyrme密度泛函的QRPA模型,也被广泛地用于β衰变寿命计算[24]。此外,形变自由度也被考虑进来。人们采用形变的QRPA模型计算了形变自由度对原子核β衰变寿命的影响。例如,采用真实核子核子相互作用的形变QRPA模型[25]、基于Skyrme密度泛函的形变QRPA模型[26-28]、以及基于Gogny密度泛函的形变QRPA模型[29]

      虽然QRPA模型可以大规模地计算原子核β衰变,但是对于β衰变寿命的精确描述仍然十分困难。例如,基于相对论性和非相对论性Skyrme密度泛函,QRPA模型计算了N=50从22Ti到32Ge同中子素链原子核的β衰变寿命,并与实验值进行比较[24, 30]。研究发现,QRPA模型计算结果高估了实验测量的寿命值1~2个量级。QRPA模型对衰变寿命描述的误差将对r-过程模拟带来很大的不确定性。如前所述,文献[6]的研究表明,衰变寿命2个量级的差别将对r-过程丰度分布带来高达2个量级的不确定性。因此,提高QRPA模型的β衰变寿命描述精度,改进目前β衰变寿命数据库,对重元素起源等核天体领域研究十分重要。为了降低理论计算的寿命值,引入了中子质子同位旋标量对关联。该对关联对于基态没有贡献,因此,它的对关联强度是一个自由参数。通过调节这一自由参数,一些原子核的β衰变寿命得以下降,并能够达到与实验相符的水平。然而,对于原子核78Ni,同位旋标量对关联对其并无影响,这是因为78Ni是一个双幻原子核。这一结果表明,除了质子中子同位旋标量对关联,QRPA模型中还有其他效应未考虑进去,使得78Ni的寿命高于实验值约1个量级。

      针对这一问题,通过在有效核力中考虑张量力,基于Skyrme Hartree-Fock+RPA模型研究了张量力对132Sn、68Ni、34Si和78Ni β衰变寿命的影响[31]。研究表明,张量力能够显著地降低β衰变寿命,极大地改进理论计算与实验值的符合。原子核结构研究的难点除了有效核力之外,还包括对有限量子多体问题的处理方法。RPA模型作为基于平均场图像,处理原子核激发的一种近似方法,没有完全考虑原子核的多体关联效应。因此,改进β衰变寿命描述的另一种思路是改进核模型。在RPA模型中,其组态空间仅考虑了1粒子1空穴($1p$-$1h$)激发组态,因此,无法描述原子核共振宽度。原子核共振宽度的来源有三种:朗道宽度、展宽宽度和逃逸宽度。其中,展宽宽度是共振宽度的主要来源,它由原子核的2粒子2空穴($2p$-$2h$)及更高阶的组态产生。由此可见,为了描述原子核的共振宽度,除了考虑$1p$-$1h$组态外,还需考虑$2p$-$2h$组态,即相当于考虑更多的多体关联效应。一种直接的做法是在模型中包括所有的$1p$-$1h$$2p$-$2h$组态,该模型叫second RPA模型[32-33]。然而,该模型的模型空间很大,对于计算重核较为困难。为了避免这个困难,一种改进的做法是考虑$1p$-$1h$和低能量振动态声子的耦合,等效地考虑重要的$2p$-$2h$组态,该模型为包含粒子振动耦合效应的RPA(RPA+PVC)模型。基于相对论性协变密度泛函,实现了自洽的RPA+PVC模型[34-35]以及考虑对关联效应的包含准粒子振动耦合的准粒子无规相位近似(QRPA+QPVC)模型[36]。下面我们将重点综述基于非相对论性Skyrme密度泛函的RPA+PVC模型以及包含对关联的QRPA+QPVC模型,并研究原子核GT共振和β衰变寿命。

    • 把模型组态空间分为$Q_1$$Q_2$,其中,$Q_1$$1p$-$1h$组态空间,$Q_2$$1p$-$1h$与声子耦合的组态空间。把哈密顿量H投影在子空间$Q_1$上,得到有效哈密顿量:

      $$ \begin{split} {\cal{H}} (\omega) =& Q_1 H Q_1 +W^\downarrow (\omega)= Q_1HQ_1 +\\&Q_1 H Q_2 \frac{1}{\omega-Q_2HQ_2+{\rm{i}}\epsilon} Q_2HQ_1 , \end{split} $$ (1)

      其中:第二项$ W^\downarrow(\omega)$为展宽项,考虑了$1p$-$1h$与声子耦合的贡献;$\omega$为激发能量。取RPA的本征态$|n\rangle$作为基底,激发态$|\nu \rangle$用其作展开,则激发态$|\nu \rangle$的产生算符为

      $$ {\cal{O}}^\dagger_\nu = \sum\limits_{\omega_n>0} F_n^{(\nu)} O_n^\dagger - \bar{F}_n ^{(\nu)} \bar{O}_n^\dagger, $$ (2)

      其中:$O_n^\dagger$$\bar{O}_n^\dagger$分别为具有正能量$\omega_n$和负能量$-\omega_n$的RPA本征态$|n\rangle$$|\bar{n}\rangle$的产生算符;$F_n^{(\nu)}$$\bar{F}_n ^{(\nu)}$为相应的展开系数。有效哈密顿量的本征方程为

      $$ [{\cal{H}}, {\cal{O}}^\dagger_\nu ] = \left(\Omega_\nu -{\rm{i}} \frac{\Gamma_\nu}{2}\right) {\cal{O}}^\dagger_\nu{\text{。}} $$ (3)

      其中:$\Omega_\nu -{\rm{i}} \frac{\Gamma_\nu}{2}$为本征方程的复本征值,$\Omega_\nu$代表能量,$\Gamma_\nu$代表宽度信息。写为矩阵形式,可得

      $$ \begin{split} &\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\cal{D}} + {{\cal{A}}_1}(\omega )}&{{{\cal{A}}_2}(\omega )}\\ { - {{\cal{A}}_3}(\omega )}&{ - {\cal{D}} - {{\cal{A}}_4}(\omega )} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F^{(\nu )}}}\\ {{{\bar F}^{(\nu )}}} \end{array}} \right)=\\ &\left({\Omega _\nu } - {\rm i}\dfrac{{{\Gamma _\nu }}}{2}\right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F^{(\nu )}}}\\ {{{\bar F}^{(\nu )}}} \end{array}} \right){\text{。}} \end{split}$$ (4)

      其中:${\cal{D}} $为对角矩阵,对角矩阵元为RPA正的本征值。${\cal{A}}_i$包含着$1p$-$1h$与声子态耦合带来的贡献,写在RPA本征态的基底上,具有如下形式:

      $$ \begin{split} ({\cal{A}}_1) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) X_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}+\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) Y_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'}, \end{split} $$ (5)
      $$ \begin{split} ({\cal{A}}_2) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) X_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'} +\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) Y_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}, \end{split}$$ (6)
      $$ \begin{split} ({\cal{A}}_3) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) Y_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}+\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) X_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'}, \end{split} $$ (7)
      $$ \begin{split} ({\cal{A}}_4) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) Y_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'}+\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) X_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}{\text{。}} \end{split} $$ (8)

      其中:$X,Y$为RPA的本征矢,在粒子空穴基底上的展宽项矩阵元$W^{\downarrow}_{php'h'}$

      $$ W^{\downarrow}_{ph,p'h'} (\omega) = \sum\limits_N \frac{\langle ph |V|N\rangle \langle N | V | p'h' \rangle }{\omega -\omega_N}{\text{。}} $$ (9)

      若用费曼图表示,即图1[37]

      图  1  矩阵元$ W^{\downarrow}_{ph,p'h'}$的费曼图表示,相应的解析表达式见公式(10)。图取自文献[37]

      相应的解析表达式为

      $$ \begin{split} W^{\downarrow }(1) =& \delta_{hh'}\delta_{j_p j_{p'}} \sum\limits_{p'',nL} \frac{1} {\omega-(\omega_n+\epsilon_{p''}-\epsilon_h)+{\rm i}\eta} \\ & \frac{ \langle p || V || p'',nL \rangle \langle p' || V || p'',nL \rangle }{\hat{j}_p^2} ,\\ W^{\downarrow }(2) =& \delta_{ p {p'}} \delta_{j_h j_{h'}} \sum\limits_{h'',nL} \frac{1} {\omega-(\omega_n-\epsilon_{h''}+\epsilon_p)+{\rm i}\eta} \\ & \frac{ \langle h || V || h'',nL \rangle \langle h' || V || h'',nL \rangle }{\hat{j}_h ^2} , \\ W^{\downarrow }(3) =& \sum\limits_{nL} \frac{(-)^{ j_{p}-j_{h'}+J+L}}{\omega-(\omega_n+\epsilon_{p}-\epsilon_{h'})+{\rm i}\eta} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_p}\;\;{j_h}\;\;J}\\ {{j_{h'}}\;\;{j_{p'}}\;\;L} \end{array}} \right\} \\ & \langle p' || V || p, nL \rangle \langle h' || V || h,nL \rangle, \\ W^{\downarrow }(4) =& \sum\limits_{nL} \frac{(-)^{ j_{p'}-j_{h}+J+L}}{\omega-(\omega_n+\epsilon_{p'}-\epsilon_{h})+{\rm i}\eta} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_p}\;\;{j_h}\;\;J}\\ {{j_{h'}}\;\;{j_{p'}}\;\;L} \end{array}} \right\}\\ & \langle p || V || p',nL \rangle \langle h || V || h' , nL \rangle{\text{。}}\end{split} $$ (10)

      其中:$\epsilon_p$($\epsilon_h$)为单粒子(空穴)能量;$\omega_n$$|nL\rangle$态RPA声子能量;$j$为单粒子角动量;$L$为声子角动量;$J$为激发态角动量。$\langle p || V || p',nL \rangle$$\langle h || V || h'',nL \rangle$为约化的PVC顶角矩阵元[37]。对角化方程(4)可得复本征值$\Omega_\nu - {\rm{i}} \frac{\Gamma_\nu}{2}$以及复本征矢$F^{(\nu)}$,随后可计算GT跃迁强度分布函数

      $$ \begin{split} S(\omega) &= -\frac{1}{\pi} {\rm{Im}} R(\omega)\\& = -\frac{1}{\pi} {\rm{Im}} \sum\limits_\nu \langle 0 | \hat O_{\rm{GT}} | \nu \rangle ^2 \frac{1}{\omega - \Omega_\nu+{\rm{i}}\frac{\Gamma_\nu}{2}}, \end{split} $$ (11)

      其中:$\hat O_{\rm{GT}} = \sum_{i = 1}^A \sigma(i) \cdot \tau_-(i)$为GT跃迁算符。更详细的公式见文献[37]。

      首先,基于RPA+PVC模型研究原子核的GT跃迁,将统一采用Skyrme相互作用参数SkM*[38]图2给出了原子核208Pb的跃迁强度分布,分别由RPA模型和RPA+PVC模型计算给出。实验数据由(p, n)反应测得[39]。RPA模型仅能给出分立的峰,$E\! =\! 20.3$ MeV处的共振峰集中了共振区域所有的跃迁强度。而实验上得到的峰值位置在E = 19.2 MeV(相对母核),并在共振区域给出了将近4 MeV的共振宽度。包含粒子振动耦合效应之后,共振峰的位置下降了1.1 MeV,并获得了约3.6 MeV的展宽,与实验值符合得较好。此外,RPA以及RPA+PVC模型在低能量区域$E\sim 12$ MeV均给出了激发态,然而,实验上并没有观测到该跃迁。RPA模型能够给出99.99%的Ikeda求和规则,即$B({\rm{GT}}^-)-B({\rm{GT}}^+)\!=\! 3(N-Z)$,其中只有3%的跃迁强度位于$E\! =\! 25$ MeV之上。而实验上测得的总跃迁强度仅为60%的求和规则,此即著名的压低(quenching)现象。考虑粒子振动耦合效应之后,截至激发能量$E \!=\! 60$ MeV,RPA+PVC给出了95.6%的求和规则,其中12%的跃迁强度位于$E \!=\! 25$ MeV之上。与RPA模型相比,能够更好地解释quenching现象。然而,实验观测到的强度仍然为RPA+PVC结果的68%,仍有约$30$%的quenching无法解释。这可能来源于高能量的$2p$-$2h$组态、张量力效应[40]、Δ共振态激发[41]以及从实验数据提取跃迁强度的不确定性。

      图  2  (在线彩图)原子核208Pb的跃迁强度分布,分别由RPA模型(B(GT)/无量纲)和RPA+PVC模型(S(GT)/MeV–1)计算给出,并与实验值[39]进行比较

      RPA+PVC模型对稳定原子核给出了很好的描述,接下来,用它研究不稳定原子核的GT跃迁强度分布[37, 42]图3给出了丰中子原子核132Sn的跃迁强度分布,分别由RPA模型和RPA+PVC模型计算给出。实验数据由(p, n)反应测得[43]。RPA模型给出的分立共振峰位于$E \!\!=\!\! 15.1$ MeV,略高于实验测得的峰值位置E=14.2 MeV。包含粒子振动耦合效应之后,共振峰的位置下降了1.4 MeV,并获得了约3.2 MeV的展宽,与实验值相比,得到了较好的符合。与208Pb类似,理论计算也在低能量区域$E\sim 5$ MeV给出了实验上没有观测到的跃迁。RPA+PVC移动了约7%的跃迁强度到$E\! =\! 25$ MeV之上,然而,实验观测到的强度仍然为RPA+PVC结果的57%。

      图  3  (在线彩图)原子核132Sn的跃迁强度分布,分别由RPA模型(B(GT)/无量纲)和RPA+PVC模型(S(GT)/MeV–1)计算给出,并与实验值[43]进行比较

      图4给出了不稳定原子核56Ni的跃迁强度分布,分别由RPA模型和RPA+PVC模型计算给出。实验数据仍由(p, n)反应测得[44],由于前面提到的quenching效应,图中把实验测得的跃迁强度乘以3倍与理论结果进行比较。RPA模型在E=20.3 MeV处得到了单一的共振峰,而实验上则观测到了具有明显劈裂的双峰结构,每个峰的宽度约为2 MeV。RPA+PVC模型则可以重现实验上的双峰结构,两个峰的宽度分别为1.5和1.0 MeV,不过,两个峰值的相对强度与实验仍存在差别。

      图  4  (在线彩图)原子核56Ni的跃迁强度分布,分别由RPA模型(B(GT)/无量纲)和RPA+PVC模型(S(GT)/MeV–1)计算给出,并与实验值[44]进行比较。图取自文献[37]

      RPA+PVC模型对稳定原子核与不稳定原子核的GT跃迁给出了成功的描述,接下来,将它应用到β衰变寿命的研究[45]图5给出了原子核132Sn、68Ni、34Si和78Ni的β衰变寿命。RPA模型和RPA+PVC模型计算的结果与实验值进行了比较。RPA模型对四个原子核的β衰变寿命普遍高估,对于132Sn,甚至给出了无穷长的寿命,即RPA预言它为稳定原子核。考虑粒子振动耦合效应后,寿命普遍减短,极大地改进了与实验的符合。这是由于在考虑粒子振动耦合效应后,GT跃迁的能量降低,相应地,相空间因子急剧增大,从而导致了寿命的减小。

      图  5  (在线彩图)原子核132Sn、68Ni、34Si和78Ni的β衰变寿命,分别由RPA模型和RPA+PVC模型计算给出,并与实验值[46]进行比较。图取自文献[45]

    • RPA+PVC模型仅限于幻数原子核的研究,为了描述开壳原子核,需要考虑对关联效应,因此,进一步发展了QRPA+QPVC模型[47]。基于Skyrme Hartree-Fock Bogoliubov(HFB) 模型,得到准粒子的能量和波函数。为了计算简便,进一步将准粒子基转换为正则基,在正则基上进行QRPA+QPVC计算。采用零程的密度依赖表面对力描述对关联,包括同位旋矢量对关联$V_{T = 1}$和同位旋标量对关联$V_{T = 0}$。对力的具体形式如下:

      $$ V_{T = 1} ({{r}}_1, {{r}}_2) = V_0 \frac{1-P_\sigma}{2} \left(1- \frac{\rho({{r}})}{\rho_0}\right) \delta({{r}}_1- {{r}}_2), $$ (12)
      $$ V_{T = 0} ({{r}}_1, {{r}}_2) = f V_0 \frac{1+P_\sigma}{2} \left(1 - \frac{\rho({{r}})}{\rho_0}\right) \delta({{r}}_1- {{r}}_2), $$ (13)

      其中:${{r}}\!=\! ({{r}}_1+{{r}}_2)/2$$\rho({{r}})$为核子密度分布;$\rho_0 =$ 0.16 fm–3$P_\sigma$是自旋交换算符。同位旋矢量对关联强度$V_0$可以通过对能隙确定,而同位旋标量对关联强度还无法直接确定,因此,在$V_0$前面乘以系数$f$来衡量和同位旋矢量对关联强度的相对大小。

      QRPA+QPVC方程与RPA+PVC方程形式一样,其中,展宽矩阵元$W^\downarrow _{aba'b'}$的表达式为

      $$ \begin{split} W^{\downarrow J}_{1ab,a'b'} =& \delta_{bb'}\delta_{j_a j_{a'}} \frac{ 1 }{\hat{j}_a^2} \times \\ & \sum\limits_{a'',nL} \frac{\langle a || V || a'',nL \rangle \langle a' || V || a'',nL \rangle} {E-[\omega_{nL}+E_{a''}+E_b \pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta} ,\\ W^{\downarrow J}_{2ab,a'b'} =& \delta_{ a {a'}} \delta_{j_b j_{b'}}\frac{1 }{\hat{j}_b ^2}\times \\ & \sum\limits_{b'',nL} \frac{\langle b || V || b'',nL \rangle \langle b' || V || b'',nL \rangle } {E-[\omega_{nL}+E_{b''}+E_a \pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta} ,\\ W^{\downarrow J}_{3ab,a'b'} =& (-)^{ j_{a}+j_{b}+J} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_a}\;\;{j_b}\;\;J}\\ {{j_{b'}}\;\;{j_{a'}}\;\;L} \end{array}} \right\} \times \\ & \sum\limits_{nL} \frac{\langle a' || V || a, nL \rangle \langle b || V || b',nL \rangle }{E-[\omega_{nL}+E_{a}+E_{b'}\pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta} , \\ W^{\downarrow J}_{4ab,a'b'} =& (-)^{ j_{a'}+j_{b'}+J } \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_{a'}}\;\;{j_{b'}}\;\;J}\\ {{j_b}\;\;{j_a}\;\;L} \end{array}} \right\} \times\\ & \sum\limits_{nL} \frac{\langle a || V || a',nL \rangle \langle b' || V || b , nL \rangle}{E-[\omega_{nL}+E_{a'}+E_{b}\pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta}, \end{split}$$ (14)

      不同的是,粒子空穴组态变为了两准粒子组态$ab$,因此,$E_a$是BCS准粒子能量,而$\lambda_{\rm{n}}$$\lambda_{\rm{p}}$是中子和质子的化学势。$\omega_{nL}$仍是$| nL \rangle$态声子的能量,$j$为准粒子角动量,L为声子角动量,$J$为激发态角动量。$\langle a || V || a',nL \rangle$为约化的QPVC顶角矩阵元[47],Δ是避免发散引入的小量。更详细的公式见文献[47]。

      图6(a)给出了原子核120Sn的GT跃迁强度分布,分别由QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值进行比较[48]。文献[48]给出了(p, n)反应零度的微分散射截面$\sigma(0^o)$以及单位截面$\hat{\sigma} \!=\! (2.78\pm 0.16)$mb/sr,则根据公式$\sigma (0^o) \!=\! \hat{\sigma} F(q,\omega) B({\rm{GT}})$可提取出跃迁强度$B({\rm{GT}})$,其中假设了动能修正因子$ F(q,\omega) \simeq 1$。包含QPVC效应之后,GT共振强度分布获得了约5.3 MeV的展宽,较好地重现了实验的跃迁强度分布;在低能量区域,改进了QRPA模型对实验跃迁强度分布的描述,然而,仍高估了实验值。相应地,将跃迁强度的跑动求和画在图6(b)。至$E\! =\! 25$ MeV,QRPA模型给出的GT跃迁强度接近100%的求和规则;考虑QPVC效应后,10%求和规则的跃迁强度移到了$E \!=\! 25$ MeV以上,然而,仍高估了实验值。在$E \!=\! 25$ MeV,实验给出的跃迁强度约为QRPA+QPVC模型的75%。这与RPA+PVC结果类似。

      图  6  (在线彩图)原子核120Sn的GT跃迁强度分布(a)和跃迁强度的跑动求和(b),分别由QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值[48]进行比较

      图7展示了QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算的Ni同位素链的β衰变寿命。其中,在QRPA模型中,同位旋标量对关联强度的取值为$f\! =\! 1.0$,在QRPA+QPVC模型中,同位旋标量对关联强度的取值为$f \!=\! 0, 1.0, 1.2$。与实验值相比,QRPA模型给出的寿命远高于实验值。考虑QPVC效应后,寿命得到系统的降低,达到与实验值相符的水平。通过取不同的同位旋标量对关联强度,可以看到Ni同位素链的β衰变寿命对同位旋标量对关联不敏感,尤其是在$N \!=\! 50$之前。因此,对于Ni同位素链,主要是QPVC效应降低了β衰变寿命,从而改进了与实验值的符合。

      图  7  (在线彩图)Ni同位素链的β衰变寿命,分别由同位旋标量对关联强度$f \!=\! 1.0$的QRPA模型,以及同位旋标量对关联强度$f \!=\! 0$$f \!=\! 1.0$$f \!=\! 1.2$的QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值[46]进行比较。图取自文献[47]

      图8展示了QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算的Sn同位素链的β衰变寿命。其中,在QRPA模型中,同位旋标量对关联强度的取值为$f \!=\! 1.0$和1.4;在QRPA+QPVC模型中,同位旋标量对关联强度的取值为$f \!=\! 1.4$。对于Sn同位素链,β衰变寿命对同位旋标量对关联十分敏感,在QRPA计算结果中,当对关联强度$f$从1.0到1.4时,衰变寿命有了大幅下降,然而,仍高估实验值。当进一步考虑QPVC效应后,衰变寿命进一步下降,最终达到与实验相符的水平。因此,与Ni同位素链不同,对于Sn同位素链,同位旋标量对关联和QPVC效应一起有效地降低了β衰变寿命。原因是同位旋标量对关联对于闭壳之后的原子核影响大,而对于闭壳之前的原子核影响小。图7考虑的Ni同位素链,大部分位于$N \!=\! 50$闭壳之前,而图8考虑的Sn同位素链,大部分位于$N \!=\! 82$闭壳之后。

      图  8  (在线彩图)Sn同位素链的β衰变寿命,分别由同位旋标量对关联强度$f \!=\! 1.0$$f \!=\! 1.4$的QRPA模型,以及同位旋标量对关联强度$f \!=\! 1.4$的QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值[46]进行比较。图取自文献[47]

    • QRPA+QPVC模型成功地描述了原子核的GT跃迁和丰中子原子核的β衰变寿命,下面将该模型进一步用于缺中子原子核的${\rm{\beta}}^+$/电子俘获研究,并给出初步计算结果。

      在缺中子原子核中,考虑了正电子发射和轨道电子俘获两种过程。在允许跃迁近似下,计算寿命考虑了$T^+$方向原子核的费米跃迁和Gamow-Teller跃迁。图9给出了由QRPA和QRPA+QPVC模型计算的缺中子Sn同位素链${\rm{\beta}}^+$/电子俘获寿命值,并与实验值[46]进行比较。在基态HFB的计算中,采用了与丰中子Sn同位素相同的同位旋矢量对关联强度,原子核102Sn和104Sn的对能隙为0.63和0.82 MeV,低于由实验结合能通过三点公式给出的对能隙:1.30和1.47 MeV。采用的同位旋标量对关联强度与同位旋矢量对关联强度相同,即$f\! =\! 1.0$。QRPA模型高估了${\rm{\beta}}^+$/电子俘获寿命约一个量级,考虑QPVC效应后,三个原子核的寿命普遍得到降低,相比QRPA模型有显著改进,不过仍高于实验值。若要进一步改进与实验的符合程度,可以通过选取更为合适的对关联强度来调节。图10进一步研究了同位旋标量对关联对104Sn${\rm{\beta}}^+$/电子俘获寿命的影响。QRPA和QRPA+QPVC的计算结果显示,随着同位旋标量对关联强度的增加,寿命降低。相比于QRPA模型,QRPA+QPVC模型给出的寿命随$f$降低更快。在$f\! \!= 1.5$,QRPA+QPVC的结果发生数值不稳定性,导致寿命塌缩式下降,这一现象在QRPA模型的计算中也有发现[30]

      图  9  (在线彩图)Sn同位素链的$ {\rm{\beta}}^+$/电子俘获寿命,分别由QRPA和QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值[46]进行比较(模型计算中同位旋标量对关联强度$ f \!=\! 1.0$)

      图  10  (在线彩图)104Sn的$ {\rm{\beta}}^+$/电子俘获寿命随着同位旋标量对关联强度f的变化,分别由QRPA和QRPA+QPVC模型计算给出

      以上是QRPA+QPVC模型研究原子核${\rm{\beta}}^+$/电子俘获的初步结果。进一步,可以通过调节对关联强度研究同位旋矢量对关联、同位旋标量对关联以及QPVC效应对${\rm{\beta}}^+$/电子俘获寿命的协同影响。

    • 快中子俘获过程是宇宙中合成重元素的主要机制之一,而β衰变寿命决定着快中子俘获过程的时标。实验上能够测得的快过程路径原子核的性质还十分有限,因此,理论研究十分重要。原子核β衰变的主导核跃迁是GT跃迁,因此,精确描述β衰变寿命的关键在于精确描述GT跃迁。RPA模型被广泛地应用于原子核的GT跃迁和β衰变寿命的研究。然而,由于该模型仅考虑了一粒子一空穴激发,无法描述共振宽度,并且还会高估β衰变寿命。针对这些问题,在模型组态空间进一步考虑了更复杂的一粒子一空穴和声子的耦合组态,即RPA+PVC模型。应用该模型研究了稳定原子核和不稳定原子核的GT跃迁,发现粒子振动耦合效应可以得到共振宽度,并部分解释GT跃迁强度的压低(quenching)现象。应用该模型研究了闭壳原子核的β衰变寿命,发现粒子振动耦合效应能够显著降低β衰变寿命,改善与实验值的符合。为了描述超流原子核,进一步考虑了对关联效应,发展了QRPA+QPVC模型,研究了粒子振动耦合效应和同位旋标量对关联对GT共振、丰中子原子核β衰变寿命和缺中子原子核${\rm{\beta}}^+$/电子俘获寿命的影响。采用同一组Skyrme相互作用参数,RPA+PVC或QRPA+QPVC模型能够同时对GT共振和β衰变寿命给出很好的描述。

      RPA+PVC或QRPA+QPVC模型目前在描述原子核的GT共振和β衰变寿命方面取得了成功,然而,这些模型有更广阔的应用前景。目前国内正在规划或建设各种大型核物理实验装置,包括中国科学院近代物理研究所的强流重离子加速器装置(HIAF)、原子能科学研究院和北京大学联合提出的北京在线同位素分离丰中子束流装置(北京-ISOL)、锦屏深地实验室(CJPL)、上海应用物理研究所激光电子$\gamma$射线源(SLEGS)等,这些装置的建设将对核物理和核天体物理等领域的重大前沿科学问题研究产生深远影响。在这些大科学装置建设的背景下,应将该理论进一步发展和应用,服务于即将在它们上面开展的核物理实验及科学目标。这里将探讨以下几方面可能的发展方向:(1) 发展用于非电荷交换激发模式研究的QRPA+QPVC模型,结合SLEGS装置的实验需求,研究原子核的巨共振性质、低能量奇特激发模式、激发态的$\gamma$衰变等,并探讨其对天体环境中中子俘获率的影响,更好地理解诸如重元素起源等重大核天体物理问题;(2) 发展用于研究无中微子双β衰变的QRPA+QPVC模型,开展无中微子双β衰变候选核的核矩阵元研究,为将在CJPL开展的无中微子双β衰变探测提供可靠的跃迁矩阵元,从而有助于对中微子性质和轻子数守恒等基本问题的理解;(3) 目前已有的QRPA+QPVC模型通常基于Skyrme密度泛函或协变密度泛函的Hartree近似,近年来,相对论Hartree-Fock理论取得了长足进展和很大成功,因此,可发展基于相对论Hartree-Fock理论的RPA+PVC方法,在相对论理论框架下研究张量力和粒子振动耦合效应的影响。

参考文献 (48)

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