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集体对凝聚组态变分方法基于集体对凝聚组态试探波函数,其主要的公式已呈现于文献[11]中。最初这种集体对凝聚组态主要是用来构建具有O(6)对称性的微观波函数,以简化蒙特卡罗壳模型计算[12-13]。集体对是构建集体对凝聚组态的基元,可定义为
$$ \begin{split} \varOmega^{\dagger} = \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{ij}\omega_{ij} C^{\dagger}_iC^{\dagger}_j,\\ \varOmega = (\varOmega^{\dagger})^{\dagger} = \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{ij}\omega_{ij} C_jC_i, \end{split} $$ (1) 其中
$ C_i $ 和$ C^{\dagger}_j $ 是单粒子湮灭与产生算符。$ i $ 和$ j $ 标记相应的单粒子量子数。$ \omega_{ij} $ 是$ \varOmega $ 集体对的对结构系数。一般要求$ \omega_{ij} \!=\! \omega_{ji} $ 以确保$ \omega_{ij} $ 系数的唯一性。因此所有$ \omega_{ij} $ 系数可以映射到一个反对称矩阵$ \omega $ :$$ \omega = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\omega _{12}}}&{{\omega _{13}}}& \cdots \\ { - {\omega _{12}}}&0&{{\omega _{23}}}& \cdots \\ { - {\omega _{13}}}&{ - {\omega _{23}}}&0& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}} \right),$$ (2) $ \omega $ 矩阵的反对称性是使用英特尔数学内核库(intel Math Kernel Library,MKL)库中优化后的基本线性代数子程序(Basic Linear Algebra Subprograms,BLAS)来加速集体对凝聚组态矩阵元计算的关键。因此,如果某些集体对结构系数矩阵不是反对称的,需要先行反对称化。式(2)定义中的集体对没有角动量、角动量第三分量以及宇称等好的量子数。由于不涉及角动量耦合,因此本文将这种集体称为“非耦合集体对”,以区别于NPA中 具有给定角动量和宇称的传统集体对。可以看到,非耦合集体对包括所有可能的两体组态自由度。因此,我们能够从变分所得到的Ω配对中投影出各种NPA集体配对,并得到相应的定量组份,以体现这些集体对的重要性。
变分的试探波函数正是由数个全同的无角动量耦合的集体对凝聚而成,可表为
$ \left.(\varOmega^{\dagger})^N|\right\rangle $ 。这里2N是模型空间中的核子数。给定一个任意的壳模型哈密顿量$ H $ ,其期望值可以用文献[11]公式计算得到。通过变分,可以将哈密顿期望值最小化,并收敛于$$ \delta\left(\frac{\left\langle \left(\varOmega\right)^N H\left(\varOmega^{\dagger}\right)^N\right\rangle}{\left\langle \left(\varOmega\right)^N |\left(\varOmega^{\dagger}\right)^N\right\rangle}\right) = 0{\text{。}} $$ (3) 对这种多维非线性最小化,目前已有许多有效的算法。本文采用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno算法[14-17]。同时还需注意,这种算法需要哈密顿量期望值的一阶导。而文献[11]也已证明上述集体对凝聚组态的任意算符期望值沿
$ \Gamma $ 对方向的一阶导可表为$$ \frac{\partial \left\langle\left(\varOmega\right)^{N}\hat O(\varOmega^{\dagger})^N\right\rangle}{\partial \delta_{\parallel\varGamma}} = N\left\langle\varGamma\left(\varOmega\right)^{N-1}\tilde {\cal{O}}(\varOmega^{\dagger})^N\right\rangle, $$ (4) 其中
$ \hat O $ 是任意的线性算符,$ \tilde {\cal{O}}\! =\! \hat O+\hat O^{\dagger} $ 。根据式(4),哈密顿期望值的一阶导数可依律求得。 -
文献[11]公式并不引入递归计算。因此对凝聚变分的代码将具有多项式时间的复杂性。而传统的NPA计算一般引入递归运算。时间复杂度的增长速度将超过指数增长规律。因此,随着价核子数的增加,这种变分方法将比传统NPA的计算速度快很多,是一种可以容忍的额外计算开销。
与Hartree-Fock方法类似,对凝聚变分计算会破坏空间旋转不变性,但是也存在着一类自洽对称性(self-consistent symmetry)。这些自洽对称性是指在平均场计算迭代中,由于迭代的初始试探波函数与哈密顿量的特殊对易关系,仍然得以保留的一些特定的对称性[18]。具体到对凝聚变分,可以证明其中存在着三种自洽对称性:
(1) Seniority:如果初始Ω只有
$ S $ 对分量($ L^{\pi} \!=\! 0^+ $ ),则此后迭代过程所产生的Ω只存在$ S $ 对;(2) 角动量三分量:如果初始Ω有好的角动量三分量量子数,那么在其后变分过程中,角动量三分量保持不变;
(3) 宇称:如果初始Ω有好的宇称量子数,则此后变分不会改变宇称,也不会引入宇称混合。
如果在Ω对初始化中加入对称性1或2的约束,就可以分别进行球形或轴对称形变下的变分运算。
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对凝聚组态变分可使NPA集体对与四极形变参数相联系。因此在变分之后,可以遵循文献[19]所给出的方法计算变分基态的四极变形参数,并将无角动量耦合的集体对Ω分解为一系列适用于NPA计算的,有角动量、宇称好量子数的集体对。
为了计算变形参数
$ \beta $ 和$ \gamma $ ,定义四极算符为$ \hat Q \!=\! \hat Q_{\pi}-\hat Q_{\nu} $ 。在这里,下标$ \pi $ 与$ \nu $ 分别对于质子与中子;中子四极算符$ \hat Q_{\nu} $ ,前的负号代表着在132Ba中中子将使用价空穴表象进行描述。在笛卡尔坐标架中,四极算符可具体化为$ Q_{ij} \!=\! 3x_ix_j-r^2\delta_{ij} $ 。其中$ i $ 与$ j $ 指示空间中三个正交的坐标轴$ X $ 、$ Y $ 、$ Z $ ,而$ \delta $ 为克罗内克符号。那么对凝聚组态的四极算符期望$ \langle (\varOmega)^N|Q_{ij}|(\varOmega^{\dagger})^N\rangle $ 对应于一个3维矩阵,有3个本征值,2个自由度。不妨设3个本征值为$ {\cal {Q}}_1<{\cal {Q}}_2<{\cal {Q}}_3 $ 。$ \beta $ 和$ \gamma $ 参数与这些本征值的关系为$$ \begin{split} {\cal{Q}}_1 =& \sqrt{\frac{2 \pi}{5}}\left[\sqrt{3}\left[Q_2+Q_{-2}\right)-\sqrt{2}Q_0\right], \\ {\cal{Q}}_2 =& \sqrt{\frac{2 \pi}{5}}\left[-\sqrt{3}\left(Q_2+Q_{-2}\right)-\sqrt{2}Q_0\right], \\ {\cal{Q}}_3 = & 2 \sqrt{\frac{4 \pi}{5}}Q_0, \end{split} $$ (5) 其中
$$ \begin{split} Q_0 =& \frac{3}{2 \pi} \sqrt{\frac{4 \pi}{5}}\left\langle r^{2}\right\rangle \beta \cos \gamma ,\\ Q_2 =& \frac{3}{2 \pi} \sqrt{\frac{4 \pi}{5}}\left\langle r^{2}\right\rangle \frac{\beta}{\sqrt{2}} \sin \gamma,\\ Q_{2} =& Q_{-2}{\text{。}} \end{split} $$ (6) NPA计算所使用的集体对具有确定的角动量L、宇称以及角动量三分量M,定义如下:
$$ A^{L\dagger}_M = \sum\limits_{a\leqslant b} \beta^{LM}_{ab} A^{L\dagger}_M (ab),\; A^{L\dagger}_M(ab) = \frac{( C^{\dagger}_a \times C^{\dagger}_b )^{(L)}_M}{\sqrt{1+\delta_{ab}}}, $$ (7) 其中
$ a $ 和$ b $ 为球形单粒子基矢的量子数$ nlj $ 。如果无角动量耦合的集体对$ \varOmega $ 也定义在球形单粒子基下,则对结构系数$ \beta^{LM}_{ab} $ 将由CG系数的正交性所确定:$$ \beta^{LM}_{ab} = \sqrt{1+\delta_{ab}}\sum\limits_{ij}\delta_{j_aj_i}\delta_{j_bj_j}C^{LM}_{j_im_ij_jm_j}\omega_{ij}\text{。} $$ (8) 由于哈密顿量的空间旋转不变性,变分中的角动量投影主轴并不确定。因此
$ \beta^{LM}_{ab} $ 系数将随空间旋转欧拉角的不同而发生改变。如果将$ \{\beta^{LM}_{a_1b_1},\beta^{LM}_{a_1b_2},\beta^{LM}_{a_1b_3},\cdots\} $ 写作一个用LM作标记的矢量。那么由于空间旋转,不同M相同L的矢量之间可能存在着线性相关。可以引入一个线性变换将这些$ {\beta^{LM}} $ 矢量正交化,使得正交化后的$ \tilde\beta^{LK} $ 如果有$ K\neq K^{\prime} $ ,那么$ \sum_{a\leqslant b}\tilde\beta^{LK}_{ab}\tilde\beta^{LK^{\prime}}_{ab}\equiv 0 $ 。在此后的NPA计算中,就可以采用$ \tilde\beta^{LK} $ 矢量作为具有确定角动量L的集体对结构系数。上述K指标仅是为了区分不同的线性独立
$ \tilde\beta^{LK} $ 矢量。它不是角动量投影。此外,如果迭代后就将对结构系数规范化,即$ \sum_{i<j}(\omega_{ij})^2 \!=\! 1 $ ,容易证明$ \sum_{L,K,a\leqslant b} (\tilde\beta^{LK}_{ab})^2 \!=\! 1 $ ,这意味着$ \tilde\beta^{LK} $ 矢量的长度对应着相应NPA集体对$ A^{L\dagger} $ 在无角动量耦合的集体对$ \varOmega $ 中的权重。也就是说,它可以作为集体对重要性判别的定量依据。 -
在此前对132Ba的NPA计算中[6-8],单粒子价空间被局限在
$50 \thicksim 82$ 大壳内。中子被描述为空穴。因此本文的NPA计算仍采用这种模型空间。相应的集体对凝聚组态为$ \left(\varOmega^{\dagger}_{\pi}\right)^3(\varOmega^{\dagger}_{\nu})^3\big|\big\rangle $ 。这里不考虑质子-中子配对,因为在$ A\sim 132 $ 过渡区中,质子-中子关联尚未在核相互作用中占据主导作用。此前的NPA计算也忽略了质子-中子配对。针对这一原子核,可以采用唯象的壳模型哈密顿量:
$$\begin{split} H =& \sum\limits_{\sigma = \pi,\; \nu} \left\{\sum\limits_j\varepsilon_{j\sigma}\hat{n}_{j\sigma} - \sum\limits_{s = 0,2}G_{s\sigma}{\cal{P}}^{(s)\dagger}_{\sigma}\cdot \tilde{\cal{P}}^{(s)}_{\sigma} -\right.\\& \kappa_{\sigma} Q_{\sigma}\cdot Q_{\sigma}\Bigg\} +\kappa_{\pi\nu}Q_{\pi}\cdot Q_{\nu}, \end{split} $$ (9) 其中
$$ \begin{split} {\cal{P}}^{(0)\dagger} =& \sum\limits_{a} \frac{\sqrt{2{a}+1}}{2}(C_{a}^{\dagger} \times C_{a}^{\dagger})^{(0)},\\ {\cal{P}}^{(2)\dagger} =& \sum\limits_{ab} q(a b) ( C^{\dagger}_{a} \times C^{\dagger}_{b} )^{(2)},\\ Q =& \sum\limits_{ab} q(a b) ( C^{\dagger}_{a} \times \tilde{C}_{b} )^{(2)}{\text{。}} \end{split} $$ (10) 这里
$q(ab) \!=\! \frac{(-)^{j_a-1/2}}{\sqrt{20\pi}}\sqrt{2j+1}$ $\sqrt{2j'+1}C_{j1/2, j' -1/2}^{20}\!\times \frac{\left\langle n l|r^2 |n l' \right\rangle}{r^2_0}$ 。$ r_0 $ 为核谐振参数,$ \sqrt{\hbar/(m\omega)} $ .$ \varepsilon_{j\sigma} $ ,$ G^{(0)}_{\sigma} $ ,$ G^{(2)}_{\sigma} $ ,$ \kappa_{\sigma}/\kappa_{\pi\nu} $ 分别为单粒子能量、单极对力强度、四极对力强度以及四极-四极相互作用强度。具体参数数值取自文献[6],并列入表1。表 1 哈密顿量参数(所有参数取自文献[6],单位为MeV。其中的下标
$\pi$ 与$\nu$ 分别对应质子与中子。两体相互作用强度有两组参数供使用:PAR-1与PAR-2)单粒子能量 $s_{1/2}$ $d_{3/2}$ $d_{5/2}$ $g_{7/2}$ $h_{11/2}$ 两体相互作用强度 $G_{0\pi}$ $G_{2\pi}$ $G_{0\nu}$ $G_{2\nu}$ $\kappa_{\pi}$ $\kappa_{\nu}$ $\kappa_{\pi\nu}$ $\varepsilon_{\pi}$ 2.990 2.708 0.962 0.000 2.793 PAR-1 0.130 0.030 0.130 0.026 0.045 0.065 0.070 $\varepsilon_{\nu}$ 0.332 0.000 1.655 2.434 0.242 PAR-2 0.170 0.040 0.150 0.026 0.030 0.100 0.080 表1中列出的PAR-1和PAR-2两体相互作用参数都可以使NPA重现132Ba的晕带结构,特别是
$ I \!=\! 10 $ 回弯效应。但是在此前工作中它们需要配以不同的集体对:(1) PAR-1需要$ L^{\pi} \!=\! 5^- $ 与$ L^{\pi} \!=\! 6^- $ 集体对[7];(2) PAR-2需要$ H^{L = 0\sim 10} \!=\! (\nu h_{11/2})^{-2} $ 非集体对[6]。 -
使用表1中所列出的哈密顿量参数,通过未耦合的集体对凝聚组态变分,可以得到表2中的计算结果。PAR-1和PAR-2参数都给出
$ \beta\sim 0.1 $ 的极小点,但$ \gamma $ 值有所不同。PAR-1计算认为132Ba低激发态具有轴对称性,但PAR-2则给出了一个三轴变形。表2中,PAR-1和PAR-2所给出的集体对权重非常相似。
$ SD $ 对在优化后的Ω对中占主导地位(超过85%权重)。这说明了在低激发态中$ SD $ 对的重要性,与此前NPA计算经验相吻合。这类图像已在此前的NPA计算中得到了体现[1]。将上述解耦合后的$ SD $ 对引入NPA计算,就可以得如图1(b)所示晕带能谱(标记为PCV,collective-Pair Condensate Variation),并与实验能谱[图1(a)]以及文献[7]中的NPA计算结果进行比较。文献[7]的计算结果标记为PBCS。这是因为其中的集体对源自于投影BCS方法。集体对凝聚变分方法可以提供比PBCS方法更低的0+,2+,4+,甚至$ 6^+ $ 态。相对较低的能级经验上预示着截断子空间中的本征波函数与壳体模型全空间中的本征波函数有更大重叠。因此可以认为,这种变分方法所产生的集体对结构增加了低激发NPA波函数和壳模型函数之间的相似性。表 2 变分方法给出的能量极值、形变参数与集体对权重(权重小于0.1的集体对将被忽略)
参数 值 PRA-1 PRA-2 $E_{\rm{min}}$/MeV –12.334 –15.418 $\beta$ 0.106 0.102 $\gamma$/$(^\circ )$ $<10^{-4}$ 16 中子$S$对权重 0.463 0.428 中子$D$对权重 0.453 0.449 质子$S$对权重 0.447 0.520 质子$D$对权重 0.489 0.444 -
仅使用
$ SD $ 对,计算所得$ 8^+ $ ,$ 10^+ $ 态总是高于实验能级(见图1),并且无法重现基带的回弯效应。此前工作也指出这种回弯效应的合理描述需要引入更多的集体对[6-8]。而现有的变分方法只关注基态附近的原子核性质,对高角动量组态不敏感,无法给出回弯处的重要集体对。因此我们需要在现有变分中引入角动量投影期望值的约束,如下所示$$ H_{\rm crank} = H-\omega_xJ_x, $$ (11) 其中:
$ \omega_x $ 为角速度,也相当于是约束变分的拉普拉斯乘子;$ J_x $ 为角动量分量。通过调整$ \omega_x $ ,我们就可以近似得到$ \langle J_x\rangle\sim\sqrt{I(I+1)} $ 附近的能级中重要的集体对[20]。实际上,引入推转是在微观模型框架下处理转动带的回弯效应的一种传统手段[21-23]。文献[9]已采用这种想法,在HFB中引入推转项,来描述164Er回弯效应。计算给出的不同
$ I $ 值对应的集体对权重如图2所示。可以看到当$ I\leqslant 4 $ ,$ SD $ 对在$ \varOmega $ 对中占据主导地位。但是当$ I>4 $ 时,这种主导地位逐渐消失。可以认为$ SD $ 对$ I\leqslant 4 $ 能级有更合理的描述,但对$ I>4 $ 能级可能失效,与图1一致。更重要的是,当$ I\geqslant 8 $ 时,中子的$ H^{L = 10} \!=\! (\nu h_{11/2})^{-2} $ 与质子的$ G $ 、$ {\cal{I}}^{L^{\pi} = 4^+} $ 集体对变得越来越重要。将这些中子$ H^{L = 10} $ 对、质子$ G $ ,$ {\cal{I}} $ 对引入NPA计算。相应的计算能谱被画入图1中,被标为“PCV+推转”。通过图1中的对比,在PAR-1参数下,引入推转的变分方法将有助于NPA提供比传统的“PBCS”方法低得多的能谱,特别是针对
$ I\geqslant 6 $ 能级。另一方面,针对PAR-2参数的改进看起来没有那么显著。这是因为图中的“PBCS+$ H $ 对”计算已经引入了$ H^{L = 10} $ 配对[6]。但是可以看到变分方法仍给出了更低的能级。更重要的是,引入推转的变分方法对$ I\!=\! 10 $ 回弯效应的描述是并不需要手动地引入特定配对。这说明了推转的引入是在NPA框架下描述更高自旋状态的一种更为自洽的方法。中子负宇称对的引入也是描述
$ I = 10 $ 回变现象的另一种可行方法[7],如图1“PBCS+负宇称对”所示。但是,对凝聚变分计算结果并不支持负宇称对的引入。为了解释此冲突,可以要求初始$ \varOmega_{\nu} $ 对具有负宇称,然后再次执行变分。根据第2节所中描述的宇称自洽对称性,即对称性3,这种变分必收敛于负宇称的中子Ω对。通过引入推转的变分计算,可以将这种负宇称对凝聚组态的基态能量与形变参数($ \beta $ 、$ \gamma $ ),与此前得到的正宇称结果进行对比(见图3)。在图3(a)与(a′)中,负宇称的基态能量总是高于全局最小值。因此,全局的变分计算并不给出负宇称集体对。另一方面,随着角动量接近$ I \!=\! 10 $ ,正宇称与负宇称对凝聚组态的能量极值越来越接近。这两种凝聚组态也给出了类似的$ \beta $ 参数,如图3(b)与(b′)。在图3(c)与(c′)中,$ \gamma $ 参数演化也被呈现。可以看到两种组态的$ \gamma $ 参数在低$ I $ 区域中有更大的差别,但与能量极值一样,它们也会在回弯点附近接近对方。总之,负宇称中子配对的确在回弯点附近给出与正宇称组态类似的能量与形变。因此它对回弯现象得合理描述是可以理解的。但是仍需强调的是,根据能量极小原则,在此处的变分计算中正宇称集体对仍然优于负宇称集体对。
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摘要: 集体对凝聚组态(collective-pair condensate)的能量变分可用于判断在原子核低激发态中哪些集体对是重要的,并且可以同时给出这些重要集体对的具体结构。这在一定程度上缓解了此前原子核配对近似(Nucleon Pair Approximation, NPA)计算一直深受困扰的集体对不确定性问题。针对过渡区原子核132Ba的试探性计算体现了这种方法的优越性。它可以给出132Ba的三轴形变参数,它也定量地说明了这一原子核
$I\!=\!10$ 基带回弯效应的主导集体对种类。更为重要的是,中子负宇称对凝聚状态的变分计算解释了为什么负宇称集体对这种回弯效应可以呈现出巨大影响。-
关键词:
- 原子核配对近似 /
- 集体对凝聚变分 /
- 三轴形变 /
- 集体对重要性的定量表征
Abstract: We propose a pair-condensation variation approach to evaluate the importance of collective pairs and determine their structure in low-lying states. Based on such a variation, the Nucleon Pair Approximation(NPA) could avoid the collective-pair uncertainty, which the previous NPA calculations have suffered a lot. With the trial calculation for transitional 132Ba, we exemplify the ability of our variation approach. In detail, the variation can be adopted to calculate the quadrupole deformation parameters with non-axisymmetric deformation degree of freedom. It conclusively helps the NPA to decide which collective pair is essential for obtaining a lower yrast level scheme and reproducing the$I\!=\!10$ backbending. With the optimized condensation of neutron negative-parity pairs, we explain why the neutron negative-parity pairs have a large impact on the backbending behavior. -
图 1 132Ba实验(标记为“Exp.”)与理论计算能谱
“PBCS”对应着文献[7]中的$ SD $配对的NPA计算结果,因为其中的集体对结构源自于PBCS(投影BCS)方法。“PBCS+负宇称对”表示计算中包括负宇称集体对($ L^{\pi} \!=\! 5^-,\; 6^- $)。“PBCS+H对”表示计算中包括$ H $对($ L \!=\! 0\sim 10 $的$ (\nu h_{11/2})^{-2} $组态)。“PCV”对应于集体对凝聚变分(collective-Pair Condensate Variation)。“PCV+推转”表示在变分中进一步引入了推转项,得到额外的集体对,并将这些集体对加入到NPA计算后所得结果。图中虚线突出显示了基态能量的对比。
表 1 哈密顿量参数(所有参数取自文献[6],单位为MeV。其中的下标
$\pi$ 与$\nu$ 分别对应质子与中子。两体相互作用强度有两组参数供使用:PAR-1与PAR-2)单粒子能量 $s_{1/2}$ $d_{3/2}$ $d_{5/2}$ $g_{7/2}$ $h_{11/2}$ 两体相互作用强度 $G_{0\pi}$ $G_{2\pi}$ $G_{0\nu}$ $G_{2\nu}$ $\kappa_{\pi}$ $\kappa_{\nu}$ $\kappa_{\pi\nu}$ $\varepsilon_{\pi}$ 2.990 2.708 0.962 0.000 2.793 PAR-1 0.130 0.030 0.130 0.026 0.045 0.065 0.070 $\varepsilon_{\nu}$ 0.332 0.000 1.655 2.434 0.242 PAR-2 0.170 0.040 0.150 0.026 0.030 0.100 0.080 表 2 变分方法给出的能量极值、形变参数与集体对权重(权重小于0.1的集体对将被忽略)
参数 值 PRA-1 PRA-2 $E_{\rm{min}}$ /MeV–12.334 –15.418 $\beta$ 0.106 0.102 $\gamma$ /$(^\circ )$ $<10^{-4}$ 16 中子 $S$ 对权重0.463 0.428 中子 $D$ 对权重0.453 0.449 质子 $S$ 对权重0.447 0.520 质子 $D$ 对权重0.489 0.444 -
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