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极端相对论量子分子动力学(UrQMD)模型起源于20世纪90年代,经过多个研究组持续不断的更新,现已被广泛地用于模拟从费米能区到LHC能区相对论重离子碰撞[36-37]。在UrQMD模型框架下,具有一定宽度的高斯波包所表示的强子将在平均场和碰撞项的共同作用下进行演化,第$ i $个粒子的坐标$ \dot{\boldsymbol{r}}_{i} $和动量$ \dot{\boldsymbol{p}}_{i} $的时空演化遵循哈密顿运动方程:
$$ \begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} = \dfrac{\partial H}{\partial{\boldsymbol{p}}_{i}},\; \; \; \dot{\boldsymbol{p}}_{i} = -\dfrac{\partial H}{\partial {\boldsymbol{r}}_{\rm{i}}}, \end{array} $$ (1) 其中:$ H = \sum_{i}H_{i} $是系统的总哈密顿量;第$ i $个粒子的哈密顿量由动能和势能构成$ H_{i} = E_{i}^{\rm{kin}}+U_{i} $。
默认版本的UrQMD模型中势能包含两体Skyrme势能、三体Skyrme势能、Yukawa势能、Pauli势能和库仑势能[36-37]。在几个GeV以上能区的重离子碰撞中Yukawa势能、Pauli 势能对整个动力学演化过程影响较小[38],因此在本文的研究中被忽略。密度依赖的Skyrme势能$ U_{\rm{Skyrme}} $可以通过密度依赖的单粒子势得到并表达为
$$ \begin{array}{l} U_{\rm{Skyrme}} = \alpha\left(\dfrac{\rho_{{\rm{b}}}}{\rho_{0}}\right)+\beta\left(\dfrac{\rho_{{\rm{b}}}}{\rho_{0}}\right)^{\gamma}, \end{array} $$ (2) 其中:$ \rho_{0} = 0.16\; \text{fm}^{-3} $为核物质饱和密度;$ \,\rho_{{\rm{b}}} $为重子密度。通过选取不同的势能参数可以给出不同的状态方程。鉴于目前人们对高密区核物质状态方程的软硬尚未取得统一的认知[12],本文采用不可压缩系数$ K_0 = 200 $ MeV和$ K_0 = 380 $ MeV两种较软和较硬的状态方程,相应的参数如表1中所列。需要指出的是,本文暂时没有在平均场中考虑π介子-核子相互作用势,因为致密核物质中的π介子-核子相互作用势目前为止还没有得到很好的理解,尚存在一定的争议[39-42]。而且,在我们之前的工作中[43-44],通过在UrQMD模型中引入不同强度的πN相互作用势,发现π介子的集体流及其中心度、快度依赖的实验数据支持一个较弱的πN相互作用势。
表 1 Skyrme势能参数
参数 Hard EoS Soft EoS $ \alpha $ −124 −356 $ \beta $ 71 303 $ \gamma $ 2.0 1.17 除了上述基于Skyrme模型给出的EoS外,基于考虑不同强相互作用相变模式的手征平均场(Chiral Mean Filed, CMF)模型的EoS也被引入到了UrQMD模型中[23, 34-35, 45],通过基于CMF模型得到的平均每重子能量计算出粒子坐标和动量时空演化所需要的平均场势能[46],通过改变势能极小值点所处的密度区可以引入在不同密度区发生强子相与QGP相的一阶相变[23, 34-35]。
图1(a)展示了不同EoS给出的平均场势随重子密度的变化情况。由于根据压强来讨论核物质状态方程的属性更加具有指导意义且清晰明了,因此图1(b)展示了不同EoS下压强随重子密度的变化,其中压强计算公式为[35]
$$ \begin{array}{l} P(\rho_{\rm{b}},T) = P^{\rm id}(\rho_{\rm{b}},T) + \displaystyle\int\nolimits_0^{\rho_{\rm{b}}} \rho' \dfrac{\partial U(\rho')}{\partial \rho'} {\rm{d}}\rho', \end{array} $$ (3) 这里$P^{\rm id}(\rho_{\rm{b}},T)$是强子的理想费米气体压强;$ U(\rho_{\rm{b}}) $是密度依赖的单粒子势能。图1中,标准的CMF EoS含有从强子气到QGP的平滑过渡相变,CMF$ \_ $PT EoSs 中含有从强子气到QGP的一阶相变,其中CMF$ \_ $PT1 EoS中的QCD一阶相变发生在低重子密度区,CMF$ \_ $PT3 EoS中的QCD一阶相变发生在高重子密度区,CMF_PT2 EoS中的QCD一阶相变发生的密度区位于二者之间。在参考文献[35]中,作者探究了不同EoS对集体流的影响,通过与实验数据的比较排除了在$ 4 \rho_{0} $以下发生强相互作用相变的可能性,即排除了CMF_PT1 EoS。因此,接下来我们将重点研究CMF、CMF_PT2、CMF_PT3、Hard 和Soft EoSs对两π介子HBT关联的影响。
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本文将基于UrQMD模型,通过以下三步利用两π介子HBT关联抽取表征粒子发射源时空属性的HBT半径及参数。首先,利用UrQMD模型获得冻结点的π介子相空间信息,这里的冻结点指的是动力学冻结点,即最后一次发生相互作用(碰撞或者衰变)的时空点。然后,将粒子在冻结点的坐标和四动量作为Correlation After-Burner(CRAB)
1 模型的输入量构建关联函数:$$ \begin{array}{l} C({\boldsymbol{k}},{\boldsymbol{q}}) = 1+\dfrac{\displaystyle\int {\rm{d}}^4x_1 {\rm{d}}^4x_2 S(x_1,{\boldsymbol{p}}_1) S(x_2,{\boldsymbol{p}}_2) |\phi({\boldsymbol{q}}, {\boldsymbol{r}})|^2} {{\displaystyle\int {\rm{d}}^4x_1 S(x_1,{\boldsymbol{p}}_1)}{\displaystyle\int {\rm{d}}^4x_2 S(x_2,{\boldsymbol{p}}_2)}}, \end{array} $$ (4) 这里$ {\boldsymbol{q}} = {\boldsymbol{p}}_1-{\boldsymbol{p}}_2 $ 和 $ {\boldsymbol{k}} = ({\boldsymbol{p}}_{1}+{\boldsymbol{p}}_{2})/2 $分别是两粒子相对动量和平均动量。$ S(x,{\boldsymbol{p}}) $表示从时空点$ x = ({\boldsymbol{r}}, t) $处发射动量为$ {\boldsymbol{p}} $的粒子的概率,它包含了发射源的时空信息。两粒子的相对波函数$ \phi({\boldsymbol{q}}, {\boldsymbol{r}}) $包含粒子间的末态相互作用信息以及量子统计信息。
最后,采用三维高斯函数拟合构建的关联函数,提取出粒子发射源的三维半径:
$$ \begin{split} C(q_{\rm{L}},q_{\rm{O}},q_{\rm{S}}) = \;&N\left[1+\lambda \text{exp}\left(-R_{\rm{L}}^2q_{\rm{L}}^2-R_{\rm{O}}^2q_{\rm{O}}^2 \right.\right. - \\ &\left.\left. R_{\rm{S}}^2q_{\rm{S}}^2-2R_{{\rm{OL}}}^2q_{\rm{O}}q_{\rm{L}}\right)\right], \end{split} $$ (5) 其中:$ N $为归一化因子;$ \lambda $是相干因子。这里我们采用纵向协变运动坐标系(the longitudinal comoving system, LCMS)进行三维分析。粒子对的相对动量$ q $被分解为Out、Side、Long三个方向,其中纵轴Long (L)沿着束流方向,Out(O)轴与粒子对的横向动量方向${\boldsymbol{k}}_T = ({\boldsymbol{p}}_{\rm{T1}}+ {\boldsymbol{p}}_{\rm{T2}})/2$平行,Side(S)轴与Long轴及Out轴垂直。
当研究对象为带电粒子时,构建关联函数的过程中必须考虑末态相互作用中的库仑相互作用,同时在拟合过程中也应当进一步考虑库仑修正[23, 47-48]。本文主要研究目标为π介子,因此,为了和实验数据进行严格的对比,进而抽取更为可靠的核物质属性信息,在分析过程中我们采用和实验分析[28-29]一样的Bowler-Sinyukov方法来考虑库仑相互作用的修正[49],则式(5)变为
$$ \begin{split} C(q_{\rm{L}},q_{\rm{O}},q_{\rm{S}}) = & N\Big\{(1-\lambda)+\lambda K_{\rm{C}}(q_{\rm{inv}},R_{\rm{inv}})\Big[1+\text{exp}\big(-R_{\rm{L}}^2q_{\rm{L}}^2 -\\ & R_{\rm{O}}^2q_{\rm{O}}^2-R_{\rm{S}}^2q_{\rm{S}}^2-2R_{\rm{OL}}^2q_{\rm{O}}q_{\rm{L}}\big)\Big]\Big\}, \\[-12pt] \end{split} $$ (6) 其中$ K_{\rm{C}} $为$ q_{\rm{inv}} $和$ R_{\rm{inv}} $依赖的库仑修正因子,不变相对动量$ q_{\rm{inv}} $定义为
$$ \begin{array}{l} q^{}_{\rm{inv}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{({\boldsymbol{p}}_1 - {\boldsymbol{p}}_2)^2-(E_1-E_2)^2}。 \end{array} $$ (7) 通过拟合得到的$ R_{\rm{L}} $、$ R_{\rm{O}} $和 $ R_{\rm{S}} $分别对应三个方向的HBT半径;$ R_{\rm{OL}} $为交叉项,通常在分析对称碰撞体系中大快度区间的粒子关联时发挥作用。
The High-density Equation of State in Heavy-ion Collisions: Constraints from Two-pion HBT Correlation
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摘要: 高重子密度区核物质状态方程的研究是当前核物理研究的前沿热点问题之一。利用极端相对论量子分子动力学(UrQMD)模型,以两π介子Hanbury-Brown-Twiss(HBT)关联为例讨论了2~5倍饱和密度($\rho_{0}$)区核物质状态方程对两粒子关联效应的影响。通过使用不同的核物质状态方程,展示了密度依赖的势相互作用以及相变对两π介子HBT关联和π介子发射源时空属性的影响。结果显示,在$\sim 5 \rho_{0}$以下,π介子发射源的HBT半径及参数敏感于核物质状态方程的软硬,通过与实验数据的比较,现有的HBT半径实验数据排除了$\sim 4\rho_{0}$以下发生一阶相变的可能性,并支持一个在低密区($\lesssim4\rho_{0}$)表现偏硬,且在高密区由于相变而逐渐软化的核物质状态方程。研究结果强调了π介子发射源的HBT半径及参数敏感于核物质状态方程的软硬,可用于理解和约束高重子密度区的核物质状态方程。Abstract: The investigation of the equation of state(EoS) of nuclear matter, especially at high baryon densities is one of the hot topics in the frontier of nuclear physics. The impact of the EoS at 2~5 times saturation density $\rho_{0}$ on the two-particle correlation is discussed with the ultra-relativistic quantum molecular dynamics(UrQMD) model. Focusing on the two π Hanbury-Brown-Twiss(HBT) correlations, by adopting different EoSs, the effects of potential interaction and phase transition on the HBT correlation and the spatiotemporal properties of the emission source of π are investigated. The results show that below $\sim5 \rho_{0}$, the HBT radius and parameters are sensitive to the stiffness of the EoS. By comparing with the experiment data, first-order phase transition with a significant softening of the equation of state below 4 times nuclear saturation density can be excluded using HBT data, and the available data on the HBT radii in the investigated energy region favor a relatively stiff EoS at low densities, which then turns into a soft EoS at high densities. These results highlight that the pion's HBT radius and parameters are sensitive to the stiffness of the equation of state, and can be used to constrain and understand the equation of state in the high baryon density region.
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Key words:
- heavy-ion collision /
- equation of state /
- transport model /
- HBT correlation
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图 2 碰撞能量为$ \sqrt{s_{\rm{NN}}} = 4.5 $ GeV的Au+Au中心(0~10%)碰撞中,π−π−介子对的HBT关联函数(实验数据来自于STAR合作组[29])
图 3 $ \sqrt{s_\mathrm{NN}} = 2.4 $ GeV下Au+Au中心(0~10%)碰撞中横动量$ k_{\rm{T}} $依赖的HBT半径$ R_{\rm{O}} $,$ R_{\rm{S}} $和$ R_{\rm{L}} $。实验数据来自于HADES合作组[28]
表 1 Skyrme势能参数
参数 Hard EoS Soft EoS $ \alpha $ −124 −356 $ \beta $ 71 303 $ \gamma $ 2.0 1.17 -
[1] 马余刚, 许怒, 刘峰. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2020, 50(11): 112009. doi: 10.1360/SSPMA-2020-0302 MA Y G, XU N, LIU F. Sci Sin-Phys Mech Astron, 2020, 50(11): 112009. (in Chinese) doi: 10.1360/SSPMA-2020-0302 [2] 马余刚. 科技导报, 2023, 41(1): 14. doi: 10.3981/j.issn.1000-7857.2023.01.002 MA Y G. Sci Tech Rev, 2023, 41(1): 14. (in Chinese) doi: 10.3981/j.issn.1000-7857.2023.01.002 [3] HALASZ A M, JACKSON A D, SHROCK R E, et al. Phys Rev D, 1998, 58: 096007. doi: 10.1103/PhysRevD.58.096007 [4] BAZAVOV A, et al. Phys Rev D, 2012, 85: 054503. doi: 10.1103/PhysRevD.85.054503 [5] PANDAV A, MALLICK D, MOHANTY B. Prog Part Nucl Phys, 2022, 125: 103960. doi: 10.1016/j.ppnp.2022.103960 [6] BZDAK A, ESUMI S, KOCH V, et al. Phys Rept, 2020, 853: 1. doi: 10.1016/j.physrep.2020.01.005 [7] GUNKEL P J, FISCHER C S. Phys Rev D, 2021, 104(5): 054022. doi: 10.1103/PhysRevD.104.054022 [8] 尹伊. 核技术, 2023, 46(4): 040010. doi: 10.11889/j.0253-3219.2023.hjs.46.040010 YIN Y. Nucl Tech, 2023, 46(4): 040010. 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