The SU(3) Dynamics in the Identical Fermion and Boson Systems

核物理是新世纪科学发展最重要的前沿学科之一，而新一代核物理实验装置^[1-3]的建造和运行必将大大促进现代核物理研究的发展。例如，在我国广东省惠州市正在建造的国家“十二五”重大科技基础设施——强流重离子加速器(HIAF)^[1]将成为国际上脉冲束流强度最高的重离子加速器装置，其主要科学目标之一就是解决包括超重元素合成、远离稳定线核区幻数和壳层演化、认识原子核内有效相互作用、理解宇宙中重元素的来源等一系列重要的核物理前沿问题。虽然传统核结构模型(如壳层模型和集体模型)已经在理解原子核结构性质及其演化规律上获得了巨大成功，但随着未来这些大科学装置上核物理实验的开展^[1-3]及相关核实验理论方法^[4-7]的改进，有可能产生对原子核基本性质的突破性认识，进而促进现有核结构模型的新发展甚至催生新的核结构理论。

群代数理论在许多核结构模型的发展过程中发挥着非常重要的作用，除了可以用来描述核多体系统对称性，还可以指导核结构模型求解甚至是具体物理模型构建。一个重要例子就是相互作用玻色子模型(简称IBM)^[8]，该模型假定价核子(费米子)在低激发运动中主要配成S、D两种费米子对(库伯对)，并假定这些费米子对可以近似用s, d玻色子来描述，进而偶偶核的低能四极集体结构可以用s, d相互作用玻色子系统来对应。s, d玻色子生成的最大动力学对称群为U(6)，包含一个子群对称性就是SU(3),该对称性可以自然应用于描述中重质量形变核的转动能谱性质。由于在具体计算中两种玻色子的单粒子能量取值不同，可以等价认为全同玻色子仅占据s, d两个轨道能级。另一方面，SU(3)群代数理论在壳模型的发展中同样发挥着重要作用。特别是近年来有关壳模型中的近似SU(3)对称性^[9]，赝SU(3)对称性^[10] 以及更大的包含SU(3)的辛群对称性模型^[11]的发展和应用，进一步彰显了SU(3)群代数理论对于基于微观模型理解核形变及与之相关集体运动的重要理论意义，这些SU(3)相关对称性大多可以看作是对Elliott当初在轻核系统引入SU(3)对称性解释集体转动谱的理论方案^[5]的进一步拓展，而s, d壳SU(3)群代数理论是本文的讨论对象。

全同性原理对量子多体系统波函数形式的约束可以方便地从二次量子化角度来描述。首先引入单粒子产生湮灭算符$b_{l{m_l},\;s{m_s}}^ +$和${b_{l'{{m'}_l},\;s'{{m'}_s}}}$，其中$ l,{m_l} $为轨道角动量量子数及其三分量，$ s,{m_s} $为自旋量子数及其三分量。当粒子的自旋s为半整数，单粒子算符为费米子的产生湮灭算符；而自旋s为整数时，则为玻色子产生湮灭算符。本文研究的主要目的就是对比分析单粒子自旋分别为s = 1/2和s = 0时全同多粒子系统在两轨道能级下的SU(3)动力学，探讨SU(3)对称性对于理解原子核低能转动性质的理论意义^[12]。

假定核子仅占据s, d两个轨道能级，对应l = 0, 2，则满足核子数守恒的共144个双线性算子集合{$b_{l{m_l^{}},\;s{m_s}}^ +$${b_{l'{{m'}_l},\;s'{{m'}_s}}}$}生成幺正群U(12)。当进一步区分轨道位形和自旋位形，可知U(12)包含直积子群U(6)$\otimes $SU(2)，其中U(6)描述核子的轨道波函数对称性，SU(2)描述核子的自旋波函数对称性。根据泡利不相容原理，n个全同费米子(核子)构成的总波函数对于交换两个粒子必须是完全反对称的，对应U(12)群的全反对称性不可约表示，用 [1ⁿ](n个方格的一列杨图)来标记。考虑到总角动量守恒，与全同费米子系统态矢量空间完备基底对应的群链可表示为^[12]

除了与自旋轨道耦合对应的角动量直积群的约化之外，该群链中最重要的体现全同性原理约束的群表示约化的规则为

根据全同费米子波函数反对称性，要求U(6)群不可约表示与SU(2)群不可约表示应由一组互为共轭的杨图描述，以确保U(6)$ \otimes $SU(2)直积群的表示是从U(12)群的全反对称表示中约化出来的，具体约化过程可以利用杨图方法给出。SU(2)群的表示可用两行杨图[f₁, f₂]来描述，即第一行包含f₁个方块，第二行包含f₂个方块，其共轭表示[f₁, f₂]^T为杨图[f₁, f₂]转置后得到了两列杨图，而总自旋量子数表示为S = (f₁−f₂)/2，总的粒子数为n = f₁+f₂。 进而与群链(1)对应的完备基矢量可表示|[1ⁿ][f]β (λ, μ)χ(LS)JM$\left. {} \right\rangle $，这里用f和S简记U(6)群与SU(2)群的不可约表示，而β 与χ 分别为U(6)$\supset $SU(3)和SU(3)$\supset $SO(3)的约化重复度指标^[12]。

下面举例说明如何确定s, d壳全同费米子系统满足泡利不相容原理约束的态矢量空间^[13]。前面提到，描述n个全同费米子组成的多体系统总波函数必须是全反对称的，对应U(12)的[1ⁿ]表示。图1中给出了两费米子系统U(12)群的表示约化杨图示意图。当n = 2时，从图1(a)中可以看出，U(12)群的全反对称表示[1²]包含了轨道位形U(6)群的两个不可约表示，分别为对称表示[20]和反对称表示[11]。相应自旋群SU(2)的表示则为U(6)群表示的共轭表示，进一步根据公式S = (f₁−f₂)/2得到自旋量子数S = 0以及S = 1。U(6)群的不可约表示进一步约化到SU(3)群的不可约表示的约化规则比较复杂，但对于简单的n = 2情形也可以利用杨图方法来描述。由于s，d壳层单粒子波函数按照SU(3)群的六维[20]表示变换，可以用图中所示的1行2列方块杨图来标记，两粒子系统对应的SU(3)不可约表示就由两个[20]表示的直积给出，即U(6)群的[20]表示约化可从中提取。采用杨图方法可直接证明，两粒子系统的SU(3)群不可约表示杨图仅包含[40]，[22]和[31]三种情况。进一步利用幺正群维数公式计算出这三个SU(3)不可约表示的维数分别为15，6和15，而U(6)群的对称表示[20]维数是21，反对称表示[11]维数是15，总的维数正好等于36。利用(λ = f₁−f₂, μ = f₂−f₃)，SU(3)群的三个不可约表示重新标记为(λ, μ) = (4, 0), (0, 2), (2, 1)。再考虑到U(6)群的对称表示一定包含子群的对称表示。如图1(b)所示，结合表示维数可以推断出U(6)群的对称不可约表示[20]可以约化出SU(3)群两个不可约表示[40]与[22]，对应(λ, μ) = (4, 0)和(0, 2)。同理，而U(6)的反对称表示[11]表示则直接约化为SU(3)表示[31]，对应(λ, μ) = (2, 1)。进一步，SU(3)约化到 SO(3)群的不可约表示(由轨道角动量量子数L来标记)可由下面的规则定出：

其中：K = min[λ, μ]，min[λ，μ]−2,···, 0 or 1，每个SO(3)群的不可约表示的维数为2L+1。据此可以证明SU(3)的(4, 0)表示包含L = 0, 2, 4，而(0, 2)表示包含L = 0, 2, (2, 1)表示则包含L = 1, 2, 3。总角动量由轨道角动量和自旋角动量按照角动量法则J = |L−S|，|L−S|+1，|L−S|+2，…，L+S给出，可能取值为J = 0, 1, 2, 3, 4。这样，我们得就到了s，d壳两费米子系统空间的完备组态。包含更多全同费米子的s, d壳组态位形可以在文献[14]中找到，本文关于全同费米子SU(3)位形推导参考了文献[15]中的讨论。

假定单粒子自旋s = 0，同样只允许占据l = 0和l = 2两条轨道，则多粒子体系对应一个两能级全同玻色子(boson)系统，相应模型其实就是IBM模型^[8]。只不过IBM中的玻色子更多理解为价核子配成总角动量J^π = 0⁺或者J ^π = 2⁺的集体对(可参考SD对壳模型^[16-18])，而不是简单地认为是两个价核子同时占据在单粒子s轨道或d轨道。虽然物理含义上有区别，然而从群表示理论决定态矢量空间的计算来看，是把s, d玻色子直接看成分别占据在s, d壳(l = 0和l = 2两个能级轨道)上的玻色子还是看成源于S、D费米子对(角动量为0和2的对)近似的玻色子，这两种观点在数学处理上没有区别，所以仍然可以从两轨道能级(s, d)的SU(3)群代数理论出发来确定全同玻色子系统波函数。为方便表述，本文统一用s, d壳上全同粒子来描述自旋S = 1/2的费米子和自旋S = 0的玻色子。s, d玻色子系统的最大动力学对称群同样为U(6), 单玻色子产生湮灭算符满足相应对易关系，保证组态空间波函数满足交换对称性。也就是说n个全同玻色子体系中的U(6)群只包含一个全对称表示，用一行杨图[n]来标记。由于已经假定单粒子自旋s = 0，总波函数仅由轨道部分来描述，完备基矢空间对应的群链为[这里只考虑SU(3)对称性]U(6)$ \supset $SU(3)$ \supset $SO(3), 相应态矢量标记为|n(λ, μ)χLM$\left. {} \right\rangle $，可以看出各种量子数标记与前面费米子系统轨道部分一样。U(6)群全对称不可约表示到SU(3)的表示约化相对简单，可由下面的规则定出：

可以看出，U(6)群全对称不可约表示到SU(3)群的表示约化是简单可约的，不需要引入约化重复度指标；而进一步SU(3)群到SO(3)群的约化规则已经由前面给出的式(3)得出，这样我们就完全确定了任意n个全同玻色子系统的态矢量位形。

下面以长程四极-四极相互作用Q·Q作为方案哈密顿量来对比分析两种全同粒子系统中的SU(3)谱结构。为了简化计算，这里的四极矩算符Q选为SU(3)代数生成元，进而Q·Q相互作用项就可以用SU(3)群的卡西米尔算符和角动量算符来表达。对于全同费米子(fermion)系统，角动量算符和四极矩算符定义为^[12]：

这里的求和是对所有核子求和。而全同玻色子系统中的角动量和四极矩算符我们采用IBM模型中的定义：

可以证明上面两种定义给出角动量算符与四极算符满足同样的对应关系：

进而构成了SU(3)的8个代数生成元。相应二阶卡西米尔算符可以统一表示为

其本征值为$\left\langle {{\rm{C}}_2[{\rm{SU}}(3)]} \right\rangle $ = λ²+λμ+μ²+3λ+3μ。

接下来， 我们以n = 4为例对比分析全同费米子与全同玻色子系统中的四极-四极动力学。需要指出，s, d壳轨道最多能填12个全同费米子，考虑到粒子-空穴对称性，4费米子与8费米子的s, d壳组态位形是一样的。所以n = 4时，全同费米子系统和全同玻色子系统就相当于给出了4对核子分别在考虑不相容原理约束和没有考虑不相容原理(近似成玻色子)两种情况下的比较。另一方面，如果把玻色子看成价核子对，n = 4费米子系统则又对应n = 2的玻色子系统。为同时从这两个不同角度进行比较，我们在下面的图中给出n = 2与n = 4的玻色子系统能谱以及n = 4费米子系统能谱。我们首先在表1中列出n = 4时s, d两轨道能级全同费米子系统和全同玻色子系统的全部组态位形。从表中可以看出，全同费米子体系包含更多SU(3)表示位形，意味着给定角动量体系的完备组态空间更大。例如，玻色子系统只包含1个3⁺态和3个4⁺态，而全同费米子系统包含了13个3⁺激发态和16个4⁺态，而且全同费米子系统还包含了全同玻色子系统所不包含的多个1⁺激发态，这些结果一定程度上反映了壳模型的组态空间要远远大于玻色子模型组态空间。

如上所述，图2中给出n = 4时全同费米子以及n = 2,4时全同玻色子系统在四极-四极相互作用下生成的转动谱，注意Q·Q相互作用强度通常取负值。从图2中可以看到，n = 4时两种全同粒子系统在四极相互作用下均可以生成多条转动带结构，但全同玻色子系统中的最大角动量为J = 8，出现在基态转动带中；然而对应的费米子系统的最大角动量为J = 6，出现在伽马带中，其基态带的最高角动量仅为J = 4。这意味着费米子系统晕态中的B(E2; 6₁→4₁)的跃迁为带间跃迁，其跃迁强度较弱，而同样的跃迁在玻色子系统中为带内跃迁，属于强跃迁。除此之外，还需要强调的是四极-四极相互作用主导的全同玻色子系统的基态位形总是由SU(3)的全对称表示(λ, μ) = (2n, 0)来决定，对应一个长椭球形变；而相应费米子系统的基态位形由所谓领头阶SU(3)表示来决定，通常对应刚性三轴形变，例如n = 4时(见图1)的领头阶表示为(λ, μ) = (4, 2)。另外，从图中还可以看到，全同玻色子系统仅包含K为偶数的转动带，而全同费米子系统除了K为偶数的转动带还包含K为奇数的转动带，这些特征均表明相同条件下全同费米子系统具有更为丰富复杂的多体动力学结构。进一步从图中可以看到，如玻色子数进一步减小至n = 2，则玻色子模型空间将变得极为简单，仅包含两条K = 0转动带共五条能级。

值得提及的是，文献[19]也讨论了s, d壳全同费米子系统对称性相关问题，并重点强调了U(5)动力学对称性对³²S低激发能级的描述，而本文采用的Q·Q相互作用更多强调的是SU(3)动力学对称性，这一点可以从公式(10)中的SU(3)卡西米尔算符的定义明确看出。另外，本文讨论没有考虑同位旋自由度，而文献[19]中关于全同费米子系统的对称性分析包含了同位旋自由度。还需要指出的是，本文讨论的两轨道能级全同玻色子系统与全同费米子系统对应的模型应用范围并不相同，前者对应IBM模型的SU(3)极限，主要应用于描述中重质量区大形变核性质，而后者对应s, d壳模型，更多应用于描述轻核转动谱。因此，两者的动力学差别更多体现在不同质量区低能转动结构的差别。虽然本文给出的例子仅限于理论讨论，类似于图2中的玻色子型转动谱已经在大形变稀土核(如¹⁷⁰Er)中观测到，而形如图中的费米子型转动能谱也可在中等质量核(如²⁴Mg)中近似看到，但更准确的描述实验可能还需要考虑除Q·Q相互作用外其它相互作用(如对力)的贡献。

自从20世纪60年代Elliott在壳模型中引入SU(3)对称性方案以来^[13]，SU(3)对称性及SU(3)群代数理论在包括IBM等多个重要核结构模型的发展过程中扮演着不可或缺的角色，近年来又在近似SU(3)对称性模型^[9]和无芯壳模型^[20]计算发展中发挥重要作用。本文介绍了如何利用SU(3)群代数技术生成s, d两轨道能级下全同费米子和全同玻色子系统动力学，据此对比分析了全同性原理对这两种全同粒子系统转动谱结构的影响。结果表明，两能级系统下的全同费米子系统动力学要远比全同玻色子系统动力学更为丰富，也更复杂。当前的比较仅限于轨道和自旋自由度，进一步考虑需要引入同位旋自由度，进而全同费米子s, d两能级系统的最大动对称群为U(24) ^{[12, 19]}，而相应玻色子系统(IBM-3)的最大动力学对称群则为U(18) ^[12]，可以想象此时的两类全同粒子系统的能谱结构将更为复杂。另外，本文仅考虑了四极-四极相互作用，当引进对相互作用后，还可以比较两类全同粒子系统在不同相互作用竞争下的动力学演化行为(形状相变)，这些都是我们进一步的研究方向。