Half-lives for One-proton Radioactivity within the Deformed Gamow-like Model

1970年，Jackson等^[1]发现了一种新的原子核衰变方式：单质子放射性，即不稳定原子核发射出一个质子转变成另一种元素的物理过程。由于能够发生单质子放射性的核素主要集中在$ 53 \leqslant Z \leqslant 83 $的中等质量区域，对单质子放射性的研究就成为了解中等质量原子核结构的一个重要手段^[2-6]。单质子放射性也是研究质子滴线附近核行为的重要工具，例如，壳结构以及原子核束缚态和非束缚态之间的耦合^[7]。此外， 由于单质子放射性母核的最后一个质子处于准束缚态,对单质子放射性的研究还有利于发展多体系统的准束缚量子理论^[2]。目前为止，已经有许多模型可以用来描述单质子放射性，例如，库仑势与亲和势模型^[8]、广义液滴模型^[9]、单折叠模型^[10-11]等，这些模型都在一定程度上再现了单质子放射性半衰期的实验数据。

2016年，Zdeb等^[12]提出的计算单质子放射性半衰期的Gamow-like模型引起了研究者的广泛关注^[13-15]。该模型仅用一个可调参数就能够很好地再现实验数据。在这个模型中，核势被看作为方形势阱，库仑势被看作为均匀带电球体产生的势。由于使用Gamow-like模型计算的理论半衰期对势垒形状以及外转折点的位置都非常敏感，而许多能够发射质子的母核都有较大的形变，这些原子核在球形近似下不能够获得准确的势垒形状和外转折点的位置。因此，使用Gamow-like模型计算单质子放射性半衰期时，很有必要考虑原子核的形变。在本工作中，我们通过引入原子核的形变来改进Gamow-like模型，并使用形变Gamow-like模型研究了原子核单质子放射性。此外，我们还利用该模型预测了形变核的单质子放射性半衰期，这些原子核已经被证实能够发生单质子放射性但其单质子放射性半衰期尚未定量。

本文的结构安排如下：第1节，给出了形变Gamow-like模型的理论框架；第2节，给出了详细的计算结果，并进行讨论和预测；第3节，对我们的工作和讨论结果做了总结。

在Gamow-like模型中，被发射质子穿过势垒的概率P由WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin)近似给出^[12]：

其中：$ \hbar $是约化普朗克常数；$ E_{{\rm{p}}}^{} = {Q_{\rm{p}}^{}}{\frac{A-1}{A}} $表示被发射质子的动能；$ A $是母核的质量数；$ Q_{\rm{p}}^{} $是单质子放射性衰变能。$ r_{{\rm{in}}}^{} $是方形势阱的半径，由以下公式给出：

其中：子核的质量数$ A_{{\rm{d}}}^{} = A-1 $；被发射质子的质量数$A_{\rm{p}}^{} = 1 $；$ r_0^{} $是可调参数；外转折点$ r_{{\rm{out}}}^{} $由条件$ V(r_{{\rm{out}}}^{}) = E_{{\rm{p}}}^{} $获得。$ V(r) $表示子核和被发射质子之间的总势能，它表示为

其中：$ V_0^{} $是方形势阱深度，库仑势$V_{\rm{C}}^{}(r)$、离心势$V_{\rm{l}}^{}(r)$可以分别由下式表示：

其中：$ Z_{\rm{d}}^{} $和$ Z_{\rm{p}}^{} $分别表示子核和被发射质子的质子数；$ \,\mu = \frac{m_{{\rm{d}}}^{}m_{{\rm{p}}}^{}}{(m_{{\rm{d}}}^{}+m_{{\rm{p}}}^{})} $表示子核和被发射质子在质心坐标下的折合质量，其中$ m_{{\rm{p}}}^{} $和$ m_{{\rm{d}}}^{} $分别是质子和子核的质量。根据角动量守恒以及选择定则，被发射质子带走的最小轨道角动量$ l_{\rm{min}}^{} $由下式得出^[16]：

其中：${\varDelta}_j^{} = |j_{\rm{p}}^{}-j_{\rm{d}}^{}-j_{\rm{p}}'|$；$ j_{\rm{p}}^{} $、$ j_{\rm{d}}^{} $和$j_{\rm{p}}'$分别代表母核、子核和被发射质子的自旋；${\pi }_{\rm{p}}^{}$和${\pi }_{\rm{d}}^{}$分别代表母核和子核的奇偶性。

这项工作通过引入原子核的形变，将方形势阱的半径改写为与被发射质子方向角$ \varphi $相关的函数：

其中：$ Y_{ml}^{}(\varphi) $是球谐函数；$ \beta_2^{} $、$ \beta_4^{} $和$ \beta_6^{} $是原子核的形变参数。考虑形变后的总穿透概率$ P $可以通过对所有方向的$ P(r,\varphi) $求平均得到^[17]：

这里的$ V({\boldsymbol r},\varphi) $是考虑形变之后的子核和被发射质子之间的总势能，由下式给出：

其中形变库仑势$ V_{\rm{C}}^{}({\boldsymbol r},\varphi) $由单折叠模型得到^[17-19]，它表示为

这里的$ {\boldsymbol r} $表示被发射质子和子核中心之间的位置矢量；$ {{\boldsymbol{r}}_1^{}} $是子核电荷分布的半径矢量；$ \,\rho_1^{} $是子核的密度分布。通过傅里叶变换对式(11)进行适当简化^[20-22]，形变库仑势$ V_{\rm{C}}^{}({\boldsymbol r},\varphi) $可以近似为

其中：$ V_{\rm{C}}^{(0)}({\boldsymbol r},\varphi) $、$ V_{\rm{C}}^{(1)}({\boldsymbol r},\varphi) $和$ V_{\rm{C}}^{(2)}({\boldsymbol r},\varphi) $分别代表裸库仑相互作用、线性库仑耦合和二阶库仑耦合^[20]。在该项工作中，我们使用简化后的库仑势计算单质子放射性半衰期。

为了更直观地体现考虑形变的作用，我们在图1中给出了考虑原子核形变和球形近似的子核与被发射质子之间的总势能曲线的示意图。其中，黄色曲线代表球形近似的总势能曲线，绿色曲线代表了考虑形变后某个发射角$ \varphi $对应的总势能曲线。我们可以清楚地看到，原子核的形变改变了总电势曲线的形状以及外部转折点的位置，从而影响了单质子放射性的穿透概率。

在本工作中，单质子放射性半衰期可以由以下公式给出：

其中：$ S_{\rm{p}}^{} $表示质子谱因子，来自另一个完全独立的模型RMF+BCS+NL3^[23]；$ \nu $表示质子在势垒中的碰撞频率，由Nilson势^[12]给出：

这项工作首先使用最小二乘法拟合形变Gamow-like模型的可调参数$ r_0^{} $。用于拟合的衰变能、半衰期、自旋宇称的实验数据大部分取自最新评估的原子质量表AME2020^[24-25]和最新评估的核数据表NUBASE2020^[26]。此外，$ ^{140} {\rm{Ho}}$、$ ^{144} {\rm{Tm}}$、$ ^{151}{\rm{Lu}} $、$ ^{164}{\rm{Ir}} $和$ ^{177} {\rm{Tl}}$这五个核的实验数据直接来源于参考文献[27]。形变参数$ \beta_2^{} $、$ \beta_4^{} $和$ \beta_6^{} $则均取自于FRDM2012^[28]。均方根偏差 $ \sigma $表示单质子放射性半衰期实验值与理论值之间的偏差，其定义为 $\sigma = \sqrt{\sum \big[{\rm{log}}_{10}^{}T_{1/2}^{\rm{exp}}(s)-{\rm{log}}_{10}^{}T_{1/2}^{\rm{cal}}(s)\big]^2/n}$。在本工作中，通过最小二乘法确定的可调参数$ r_0^{} $的值如下所示：

使用形变Gamow-like模型获得的$ 53\leqslant Z\leqslant 83 $的母核单质子放射性半衰期如表1所列。该表的前三列分别表示母核、衰变能$ Q_{\rm{p}}^{} $和被发射质子带走的轨道角动量$ l $。后面三列中的$ T_{1/2}^{\rm{exp}}$表示单质子放射性半衰期的实验值，$ T_{1/2}^{\rm{cal1}}$和$ T_{1/2}^{\rm{cal2}} $分别表示由形变Gamow-like模型和Gamow-like模型计算获得的单质子放射性半衰期理论值。从表1可以看出，对于大部分母核，相比于Gamow-like模型，使用形变Gamow-like模型计算得到的单质子放射性理论半衰期与实验数据符合的更好。为了更直观地说明这个结论，我们计算了形变Gamow-like模型和Gamow-like模型获得的理论半衰期与实验数据的均方根偏差$ \sigma $分别为$ {\sigma_{\rm{cal1}}} = 0.621 $和$ {\sigma_{\rm{cal2}}} = 0.832 $。所以，$ {\sigma_{\rm{cal1}}} $与$ {\sigma_{\rm{cal2}}} $相比，提高了$(0.832-0.621)/0.832 \approx {25.4}\%$，这说明通过考虑原子核的形变，Gamow-like模型能更好地再现实验数据。

为了更加直观地展现考虑原子核形变在计算形变核单质子放射性半衰期的作用，我们将表1中远离壳层的11个形变核($ Z \leqslant 67 $和$ Z = 83 $)的实验数据和理论半衰期绘制在图2中。其中，黑色的五角星代表实验数据，蓝色的实心圆点和红色的三角形分别代表使用形变Gamow-like模型和Gamow-like模型计算得到的单质子放射性理论半衰期。从图2中，我们可以看出，虽然这11个形变核的单质子放射性半衰期在$ 10^{-6} $s 到$ 10^{-1} $s之间，其变化范围高达5个数量级。但是对于所有的形变核，形变Gamow-like模型计算得到的单质子放射性理论半衰期与实验数据都有更好的一致性。这意味着对于形变核，在Gamow-like模型中考虑形变是必要的。

结团放射性和$ \alpha $衰变的普适曲线通过绘制穿透概率的负对数形式$ {-{\rm{log}}_{10}^{}{P}} $与实验半衰期的对数形式$ {{\rm{log}}_{10}^{}{T_{1/2}^{\rm{exp}}}} $得到^[29-31]。普适曲线显示了穿透概率与实验半衰期之间强烈的线性关系。这项工作将普适曲线扩展到单质子放射性的研究上^[30-31]。图3中显示了单质子放射性的普适曲线，其斜率与截距在图中左上角给出。可以看出，对于单质子放射性$ {{\rm{log}}_{10}^{}{T_{1/2}^{\rm{exp}}}} $和$ {-{\rm{log}}_{10}^{}{P}} $之间存在明显的线性关系，这表明了形变Gamow-like模型的可靠性。

作为应用，我们使用形变Gamow-like模型来预测5个形变核的单质子放射性半衰期，这些原子核已经在实验中被观察到有单质子放射性现象，但它们的半衰期尚未量化^[26]。用来预测的实验数据来自于NUBASE2020^[26]、AME2020^[24-25]和FRDM2012^[28]。作为比较，我们还使用质子通用衰变定律 (UDLP)^[32-34]、库仑势和亲和势理论模型(CPPM)^[35-37]、两势方法-密度依赖的单折叠模型(DDM3Y)^[3]、新Geiger-Nuttall定律(NGNL)^[16]和基于Skyrme-Hartree-Fock 的两势方法(TPA-SHF)^[38]来预测这五个变形核的单质子放射性半衰期，预测结果如表2所列。

从表中可以清楚地看到，对于同一个母核，不同模型计算得到的单质子放射性半衰期不同，计算结果的最大偏差接近两个数量级。对于大部分原子核，使用TPA-SHF模型计算得到的单质子放射性半衰期的理论值比其他模型要小，而使用NGNL模型计算得到的单质子放射性半衰期的理论值要比其他模型大。这意味着TPA-SHF模型和NGNL模型对应的单质子放射性半衰期的预测结果可能被低估和被高估。此外，形变Gamow-like模型的预测值在所有模型中处于中间位置，这说明我们的模型与其他模型的预测有很好的一致性。考虑到形变Gamow-like模型对应的理论半衰期与实验数据的均方根偏差$ {\sigma} = 0.621 $，因此，这项工作中预测的单质子放射性半衰期的偏差很可能在4.18倍之内。

1911年，Geiger和Nuttall提出了Geiger-Nuttall定律，该定律反映了原子核的半衰期和衰变能量之间最直接的关系^[39]。随着人们对Geiger-Nuttall定律的深入研究，许多重要的理论由此诞生，例如，通用衰变定律^{[32-33, 40]}、布朗型经验公式^[41]以及新Geiger-Nuttall定律^{[ 42]}等。这项工作将使用Geiger-Nuttall定律来验证单质子放射性半衰期的预测结果，考虑到单质子放射性轨道角动量$ l $的影响，使用形变Gamow-like模型计算得到的单质子放射性理论半衰期的对数形式$ {\rm{log}}_{10}^{}T_{1/2}^{{{\rm{This}}\ {\rm{work}}}} $与$ Z_{\rm{d}}^{}Q_{\rm{p}}^{-1/2} $之间的线性关系被分为四种情况并绘制在图4中。该图中不同颜色的实心圆点表示不同轨道角动量对应的单质子放射性半衰期理论值(表1中的$ {\rm{log}}_{10}^{}T_{1/2}^{\rm{cal1}} $)，不同颜色的空心圆点表示不同轨道角动量对应的单质子放射性半衰期预测值(表2中的$ {\rm{log}}_{10}^{}T_{1/2}^{{\rm{This}}\ {\rm{work}}} $)，不同颜色的虚线表示不同轨道角动量对应的线性关系。

从图4中不难看出，在轨道角动量$ l $相同情况下，$ {\rm{log}}_{10}^{}T_{1/2}^{{{\rm{This}}\ {\rm{work}}}} $和$ Z_{\rm{d}}^{}Q_{\rm{p}}^{-1/2} $之间有明显的线性关系。不同轨道角动量对应的线性关系的斜率会随着轨道角动量$ l $的增大而缓慢增大，这说明轨道角动量$ l $对单质子放射性半衰期有很大的影响。此外，在角动量相同的情况下，相同颜色的实心圆点和空心圆圈都在对应颜色的虚线附近，即理论值和预测值符合同一种线性关系，这种现象表明使用形变Gamow-like模型计算的半衰期都与Geiger-Nuttall定律相吻合，说明我们预测结果是可靠的。

在Zdeb等^[12]的研究中，对$ ^{109} {\rm{I}}$、$ ^{131} {\rm{Eu}}$、$ ^{177}{\rm{Tl}}^{m} $这三个半衰期理论计算值与实验数据差别较大的母核进行了分析，结果表明这三个母核对应的$ l $值更有可能是2、3、6。从表1中可以看出，在考虑形变之后，$ ^{177}{\rm{Tl}} ^{m} $的理论计算值与实验数据已经没有了明显的偏差，这说明其$ l = 5 $是准确的，导致较大偏差的原因可能是没有考虑原子核形变。对于母核$ ^{109} {\rm{I}}$和$ ^{131} {\rm{Eu}}$，考虑形变之后，理论计算值与实验数据的偏差虽然有所改善，但仍然达到一个数量级。在这项工作中，沿用与Zdeb相同的方法，我们分析了造成这种偏差的原因。计算结果如图5和6所示，从图中可以看出，半衰期的理论计算值对$ l $值非常敏感，在$ l $值较大时，其一个单位的变化会引起半衰期一个数量级的变化。此外，对于母核$ ^{109} {\rm{I}}$和$ ^{131} {\rm{Eu}}$，当$ l $值取到2和3时，理论计算值与实验数据几乎一致。这也验证了Zdeb等的结论：质子在$ ^{109} {\rm{I}}$中是从$ l = 2 $的态被发射的，在$ ^{131} {\rm{Eu}}$中是从$ l = 3 $的态被发射的。

这项工作通过引入原子核的形变来改进Gamow-like模型，并使用形变Gamow-like模型研究了单质子放射性半衰期。计算结果表明，形变Gamow-like模型在不增加新的可调参数的情况下，计算得到的单质子放射性的理论半衰期与实验数据的符合程度有明显提升。此外，利用形变Gamow-like模型预测了单质子放射性半衰期，预测结果遵循Geiger-Nuttall定律。最后，利用形变Gamow-like模型给出了母核$ ^{109} {\rm{I}}$和$ ^{131} {\rm{Eu}}$发射单质子时的角动量参考值。这项工作可以为单质子放射性半衰期的研究提供理论参考。