Fabrication of Multi-group Neutron Transport Cross Section Library for SN Program Based on OpenMC

中子输运方程的求解方法可以分为两大类——确定论计算和蒙特卡罗模拟。离散纵坐标方法，简称SN方法，是确定论计算中求解中子输运方程的重要方法之一。在SN方法中，中子输运方程是中子能量E、中子当前坐标r、中子运动方向Ω的函数。对于中子能量E，通常采用“分群”方法离散处理。SN方法主要是对中子当前坐标r和中子运动方向Ω，尤其是对中子运动方向Ω离散化处理^[1]。SN方法的特点是数值计算过程简单，基于该方法可以编写适用于多个离散方向数上的通用确定论求解程序，给核科学研究和核工程计算带来了极大的便利。

随着核能产业的快速发展，反应堆计算逐渐由单一的物理或热工计算发展成更加复杂的物理-热工耦合计算，对反应堆计算软件的要求也不断提高。与蒙特卡罗计算软件相比，确定论计算软件如ANISN程序计算速度更快，可以处理深穿透问题，能计算出详细的角度谱分布，更加适合这类复杂的耦合计算任务^[2]。从20世纪末期开始，国际上逐渐发展起来众多物理-热工耦合计算程序，西屋公司等单位研发的TRAC-M/PARCS、RELAP5/PARCS^[3]和POLCA-T^[4]程序，可以处理复杂三维物理-热工耦合问题；国内清华大学、中国核动力设计研究院以及西安交通大学等单位也纷纷开展物理-热工耦合研究计算工作，如西安交通大学NECP实验室开发的SARAX-LAVENDER程序便是适用于物理-热工耦合计算的确定论堆芯计算程序^[5]。对于此类确定论计算程序，其计算精度主要受制于多群截面数据库的制作，这意味着对用于确定论程序的截面库制作提出了新的挑战^[6]。

理论上可以用蒙特卡罗计算软件通过统计特定体积和能量内的中子通量和反应率，经过处理得到截面数据。经典的蒙特卡罗计算软件如TRIPOLI、MCNP、MCNPX等并不能统计中子多群勒让德散射反应率，而在2011年由麻省理工学院开发的开源蒙特卡罗计算程序OpenMC可以统计高阶勒让德散射反应率^[7]。确定论程序如ANISN快速准确的堆芯输运计算离不开准确可靠的多群截面数据，OpenMC是具有高分辨率、高精度的蒙特卡罗连续能量计算软件，且在计算过程中会自动考虑共振自屏能效应引起的误差，非常适合为确定论程序制作准确可靠的高精度截面数据。本文正是在OpenMC统计高阶勒让德散射反应率功能的基础上，分区分能群统计所需物理量，最终制作完成确定论程序可用的多群截面数据库。基于该方法制作精细截面数据库，研究人员进行了初步可行性分析，本文在此基础上，进行更加复杂的快堆和热堆基准题计算，并进一步讨论群间向上散射、能群结构优化对于计算结果的影响。

为了制作完整可靠的截面数据库，首先利用OpenMC进行建模计算，并分区分能群统计总反应率、裂变中子产生率、吸收反应率、中子通量分布以及高阶勒让德散射率^[8]，然后通过编写的Fortran截面转换程序经过处理得到核素的多群截面数据，转换成ASCII的BUGLE-96格式的截面库，最后提供给ANISN程序进行计算，将采用原始BUGLE-96库和采用新制作截面库的ANISN的计算结果分别与蒙特卡罗计算结果进行对比。详细计算流程如图1所示。

OpenMC是一款开源高速并行蒙特卡罗计算程序^[9-10]，它由美国麻省理工学院(Massachusetts Institute of Technology, MIT) 2011年开发，2012年12月正式公布。OpenMC使用连续能量截面和构造性立体几何表示方法，可以实现核反应堆和其他系统的高保真建模。OpenMC的输入文件采用XML格式，必须的输入文件包括材料、几何结构、参数设置和截面库文件。此外还包括统计文件、绘图文件以及用于设置收敛参数的文件等。与其他蒙特卡罗计算软件相比，OpenMC开发较晚，在计数中添加了PN(勒让德散射反应率)的计数结果。

本文首先使用OpenMC进行建模计算，统计数据提供给编写的Fortran截面转换程序进行处理，截面转换程序首先设置总能群数N_g和总核素数N_n，按能群读取每一区的体通量Φ和每种核素的吸收率R_a、裂变率R_f、总反应率R_t以及各阶勒让德散射率R_{s, g’-g}，然后各反应率除以对应能群通量得到宏观反应截面Σ，最后按BUGLE-96格式写入截面文件供ANISN调用计算。

ANISN程序是由美国橡树岭国家实验室(ORNL)的Engle所开发的用于中子、光子输运计算的一维、多群、各向异性散射离散纵标确定论计算程序，它被广泛应用于反应堆屏蔽问题、反应堆中子学以及反应堆物理计算中^[11]。ANISN程序由1966年开发的DTF-II程序发展而来^[12-13]，于1967年开发完成并投入计算。ANISN自带的BUGLE-96库包含47群中子、20群光子的P5多群勒让德散射截面^[14-15]，含有美国评价数据库ENDF/B-VII.0库所包含的大部分核素的响应函数和截面数据^[16]。作为反应堆物理确定论计算程序，ANISN程序具有计算速度快，便于精确处理一维物理模型的优点。ANISN程序中，对于散射截面Σ_s的处理是按勒让德多项式展开，然后代入散射积分中，具体处理过程如下：

由相空间小体积元内粒子数守恒，导出离散纵标下的输运方程差分格式为

式中：$ {A}_{i} $、$ {V}_{i+\frac{1}{2}} $是与几何形状有关的面积元和体积元；${\varSigma }_{g}$为g群总截面；$ \alpha $满足相应的递推公式。源项$ {S}_{g} $包括散射源、裂变源及外加独立项，记外源独立项为${Q}_{g,\,i+\frac{1}{2}}^{\mathrm{外}}$，此时裂变源为

散射源是将散射截面$ {\sigma }_{\mathrm{s}} $按勒让德多项式展开，取到L阶，再代入散射积分中，以平面几何为例：

球几何：

柱几何：

得到的最终源项为

OpenMC输出文件可以统计并给出本能群到其他各阶能群的散射分量^[17-18]。值得注意的是，OpenMC在处理散射分量时，不会自动通过执行权重调整来降低误差，相当于忽略散射反应中产生的任何额外粒子，这将导致计算结果缺乏准确性，因为总粒子数将不守恒。为了修正误差，OpenMC在生成库时可以根据需要减小吸收截面以保持粒子守恒。设总截面为${\sigma }_{\mathrm{t},\,g}$，OpenMC中吸收截面将调整为

这为本文基于蒙特卡罗方法制作用于反应堆中子输运SN程序的多群截面库提供了保证。

ANISN所用的截面库格式中，各物质截面数据按序按能群排列。以3群中子为例，具体的截面库格式如表1所列。在截面库中，每种物质的信息由两部分组成：标识行和截面表，标识行包含的基本信息有：群数N1、表长N2、控制数N3、标识N4和注释NOL；截面表前三行为吸收截面Σ_a、裂变截面νΣ_f和总截面Σ_t，接下来是按能群按散射阶数依次排列的散射截面Σ_{s, g’-g}，值得注意的是，在ANISN自带的BUGLE-96格式库中，群间向上散射截面默认为0。

为了检验该方法的可行性及准确性，本文基于ANISN程序使用手册自带的GODIVA临界球模型和压水堆基准题萨凡纳模型进行计算验证。GODIVA临界球半径为8.740 6 cm。萨凡纳反应堆在1962年建造并投入使用，它是典型的压水堆，设计功率为69 MW，采用富集度为4.4%的UO₂作为燃料，燃料总质量为8 050 kg。萨凡纳反应堆是由堆芯、热屏蔽层、压力容器、空气绝缘、一次屏蔽层、设备与二次屏蔽层组成的圆柱状反应堆，总半径达673.7 cm，其中堆芯半径为78.8 cm，总燃料活动区的长度为167.7 cm^[19]。由于蒙特卡罗计算软件无法处理深穿透问题，为了简化计算模型，我们采用萨凡纳反应堆堆芯进行计算。表2和表3给出了GODIVA临界球模型和萨凡纳堆芯模型的具体材料组分。由于ANISN是反应堆物理确定论计算一维计算软件，在进行圆柱模型计算时需要采用曲率修正因子，一般取1.420 892，表4给出了ANISN具体计算参数。OpenMC计算时默认温度为293.6 K，共计循环1 000代，其中非活跃代数为100代，每代粒子数为10⁶个，采用的数据库为国际上通用的ENDF/B-VII.0库，能群结构采用BUGLE-96参数，即中子47群结构，具体能群划分由表5给出。

利用Fortran截面转换程序将OpenMC的tallies.out统计输出文件处理得到BUGLE96格式的截面库文件，提供给ANISN进行计算。比较ANISN的原始BUGLE-96库、新制作截面库及蒙特卡罗计算结果之间的差异，这里列出有效增殖因子计算结果及通量统计结果。

利用OpenMC的统计结果经过处理得到截面库数据，表6给出了有效增殖因子计算的具体结果，计算结果表明，在进行GODIVA临界球计算时，ANISN采用自带的BUGLE-96库计算结果与OpenMC基于ENDF/B-VII.0库得到的结果符合得很好，相对偏差仅为0.055%，利用新制作的截面库的计算结果与OpenMC计算结果相对偏差为0.173%。总体而言，在进行一维GODIVA临界球计算时，无论是采用ANISN采用自带的BUGLE-96库，还是采用新制作的截面库，ANISN计算结果都与OpenMC符合得很好。但在进行圆柱状萨凡纳堆芯计算时，计算结果发生了明显变化，ANISN采用自带的BUGLE-96库得到的计算结果仅为0.528 41，与实际情况差距非常大。采用新制作的截面库提供给ANISN进行计算时，得到的计算结果为0.919 62，虽然与原始BUGLE-96库相比计算结果有所改善，但与OpenMC基于ENDF/B-VII.0库得到的结果相比，相对偏差为19.276%。

利用ANISN自带的BUGLE-96库和新制作的截面库通过计算统计中子通量，并与OpenMC计算结果进行对比。详细计算结果见图2，通过计算临界球模型和萨凡纳堆芯模型，在中能区，无论是BUGLE-96库还是新制作的截面库，ANISN计算结果都与OpenMC符合得很好；差异主要分布在低能区与高能区，在低能区，相比于ANISN自带的BUGLE-96库，采用新制作的截面库的ANISN计算结果与OpenMC符合得更好，相对偏差也由BUGLE-96库的80%降低到20%以内；在高能区，采用BUGLE-96库与采用新制作的截面库ANISN计算结果几乎相同，与OpenMC计算结果相对偏差达到40%以上。通过分析比较，引起低能区与高能区中子通量计算结果相对偏差较大的主要原因是由于能群划分较细(47群)，中子能量存在群间向上散射的影响。此外，低能区与高能区中子通量较小，统计误差较大，也是相对偏差较大的原因之一。总体而言，计算结果符合较好。

分析临界球模型和萨凡纳堆芯计算结果，相比于ANISN自带的BUGLE-96截面库，在计算中子增殖因子和通量分布时，采用基于蒙特卡罗方法制作的截面库计算结果与OpenMC计算结果符合得更好。通过进一步分析，新制作的截面库计算结果相较于ANISN自带的BUGLE-96截面库有了很大改善，在计算简单临界球模型时有效增殖因子计算结果很准确，但在计算更为复杂的萨凡纳反应堆堆芯时，无论是有效增殖因子，还是通量分布与OpenMC计算结果均有一定的偏差，经过深入分析，我们发现引起偏差的主要原因是，在制作新的截面库时，采用BUGLE-96库参数，即中子47群能群结构。BUGLE-96格式库里，群间散射截面从群内散射开始，群间向上散射截面为0。但由于能群划分较细，热群中子群间向上散射非常明显，此外萨凡纳堆芯中氢元素群间向上散射尤为严重，为了降低由于能群划分造成的群间向上散射的影响，我们将低能区前4群合并为一个能群，进行了萨凡纳堆芯43群计算，比较它们与47群计算结果的差异。

能群结构由原先ANISN自带的BUGLE-96库划分的47群通过合并前4群得到43群群结构，群间向上散射减弱。详细计算结果见表7，在有效增殖因子计算中，采用新制作截面库ANISN的计算结果与OpenMC计算结果的相对偏差由原来47群的19.276%降低到0.034%。详细通量统计对比结果见图3，在通量计算结果比较分析中，相较于47群中子通量计算结果，43群低能区通量分布相对偏差由原来的20%降低到2%以内。同时我们也看到，不论能群划分是47群还是43群，在高能区中子通量计算结果仍有80%左右的偏差，这是由于高能区中子通量相对来说比较小，统计误差较大造成的。但处于高能区的中子份额占比较少，对于计算结果的影响不大。总体来看，通过并群减轻群间向上散射的影响，计算结果明显改善。

本文采用MIT开发的反应堆中子输运蒙特卡罗程序OpenMC基于国际上通用的ENDF/B-VII.0库制作反应堆核素的47群中子截面库，用Fortran程序将OpenMC输出的截面结果转换成ASCII的BUGLE-96格式库。利用一维SN程序ANISN结合制作好的BUGLE-96格式的数据库进行GODIVA临界球基准题和萨凡纳堆芯模型计算，将采用原始BUGLE-96库和采用新制作截面库的ANISN计算结果分别与蒙特卡罗计算结果进行对比。计算结果表明，相比于ANISN自带的原始BUGLE-96截面库，新制作截面库计算结果更加准确。在此基础上，通过对BUGLE-96库的深入探究，我们发现BUGLE-96库中子群间向上散射截面默认置为0，但在实际热堆模型萨凡纳堆芯计算中，低能区中子群间向上散射不可忽略，通过改进新制作截面库能群结构，有效增殖因子计算结果相对偏差由原来的17.329%降低到0.034%，低能区通量分布也符合得较好。

在此工作基础上，未来有必要进一步开展更加复杂快堆基准题、热堆基准题计算验证工作，给出科学合理的能群划分准则。在中子输运截面库制作完成后，在OpenMC源代码中添加中-光子耦合输运多群勒让德散射反应率统计功能，制作更加完善的中光子输运多群截面库。