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为了研究BP神经网络方法的可行性,图2展示了不同方法计算的
$ {2}_{1}^{+} $ 和$ {4}_{1}^{+} $ 的log10E与实验数据的均方根偏差。从$ {2}_{1}^{+} $ 和$ {4}_{1}^{+} $ 实验数据中随机选取60个激发能量作为验证集,剩余的569个和534个$ {2}_{1}^{+} $ 和$ {4}_{1}^{+} $ 实验激发能量作为学习数据集。作为比较,图2还给出了5DCH方法相应的均方根偏差。从图2(a)可以明显看出,两种BP神经网络都很好地拟合了学习集中的激发能量,尤其是BP-ZNP网络。相比5DCH模型,BP-ZNP网络对$ {2}_{1}^{+} $ 和$ {4}_{1}^{+} $ 的log10E的均方根偏差分别减少约76%和78%。对于验证集,两种BP神经网络的均方根偏差相比于学习集均略有增大,但是仍然小于5DCH的均方根偏差,这表明本文采用的BP神经网络对于原子核的$ {2}_{1}^{+} $ 和$ {4}_{1}^{+} $ 低激发能量具有较好的预言能力。无论对于学习集还是验证集,BP-ZNP网络的均方根偏差都小于BP-ZN网络,说明加入与原子核集体性相关的输入变量P,神经网络可以更好地预言原子核的低激发态能量。为了更好地提取原子核的物理特征来获得更高的预言精度,之后将使用所有的实验数据训练BP神经网络。图3中展示了BP-ZNP神经网络方法通过拟合原子核的
$ {E(2}_{1}^{+}) $ 和$ {E(4}_{1}^{+}) $ 获得的结果,并与5DCH方法的理论值进行比较。可以发现,BP-ZNP网络方法在0.1 MeV到数MeV的能量范围内很好地拟合了低激发态的能量。BP-ZNP网络方法对$ {2}_{1}^{+}\mathrm{和}{4}_{1}^{+} $ 的计算结果与实验log10E的均方根偏差分别为0.041 1和0.041 8,相比于5DCH方法分别减少了约80%和75%,这与单任务神经网络的改进程度基本一致,其对$ {2}_{1}^{+}\mathrm{和}{4}_{1}^{+} $ 方均根偏差的减少量分别约75%和79%[47]。5DCH方法也较好地再现了相应的实验值,但是对部分核的计算出现了较大的偏差,例如图4中的40Ca、100Sr、 188Pb、208Po,5DCH对这4个核$ {E(2}_{1}^{+}) $ 和$ {E(4}_{1}^{+}) $ 的计算结果与实验值的均方根偏差分别为2.95和3.88 MeV,而BP-ZNP网络方法对这些核的计算结果更好地符合了实验数据,相应的均方根偏差显著降低,分别为0.010 3和0.013 1 MeV。这说明可以使用多任务神经网络实现多种激发能量的统一精确计算。由于多任务神经网络可以通过共享层模拟输出变量之间的关联性,相比单任务神经网络,可能具有更好的外推能力。此外,需要指出,本工作中使用的5DCH结果是采用PC-PK1有效相互作用计算得到的[49],PC-PK1是通过拟合60个选定球形核的基态性质来确定,不像神经网络那样直接拟合低激发实验数据,因此,BP-ZNP网络方法应该取得比5DCH模型更高的数值精度。相比于BP-ZNP网络方法,尽管5DCH模型精度较差,但是它具有更清晰的物理基础,而且可以描述除低激发能之外的各种低激发性质,因此通常被认为具有更好的外推能力,在实验数据未知区域,其结果可以作为神经网络的重要参考。由于
$ {2}_{1}^{+} $ 和$ {4}_{1}^{+} $ 的实验数据量不一致,其中一些原子核目前只有单个激发态的实验值,使用BP神经网络可以预测所有原子核的$ {2}_{1}^{+} $ 和$ {4}_{1}^{+} $ 低激发能量,因此,我们使用BP神经网络预测了部分没有实验数据的低激发能,可以作为未来实验的参考。为了更具体地比较不同方法预言的低激发能的同位素趋势,图5展示了5DCH、BP-ZN网络和BP-ZNP网络计算的Mg、Ca、Kr、Sm、Pb同位素的低激发能量。从图5可见,5DCH方法较为合理地描述了这些同位素链的低激发能,但对部分核素的预言仍然出现较大偏差,这些较大偏差主要出现在传统中子幻数附近,例如40Ca的$ {E(2}_{1}^{+}) $ 和$ {E(4}_{1}^{+}) $ 、86Kr和144Sm的$ {E(4}_{1}^{+}) $ 。另外,5DCH还整体高估了Mg同位素链的$ {E(4}_{1}^{+}) $ 。表1给出了不同方法计算的Mg、Ca、Kr、Sm、Pb同位素的低激发能量与实验数据的均方根偏差,由表可见,BP-ZN网络对Ca和Pb同位素链的计算结果与实验激发能存在较大的均方根偏差,这主要是由于BP-ZN网络严重低估了双幻原子核48Ca和208Pb的激发能,而BP-ZNP网络的结果与实验激发能量非常符合,很好地再现了低激发能量的同位素趋势,甚至包括在幻数处由于壳效应导致的激发能急剧增加,这很大程度上是由于BP-ZNP网络加入了一个与原子核集体性相关的输入变量P,这一输入对描述幻数原子核的激发能具有重要作用。此外,从图中可见,当外推到没有实验数据的区域时,BP-ZNP网络结果的演化趋势和5DCH的结果类似。同位素 激发能量 5DCH /MeV BP-ZN /MeV BP-ZNP /MeV Mg $ E\left({2}_{1}^{+}\right) $ 0.432 3 0.002 8 0.001 5 $ {E(4}_{1}^{+}) $ 2.229 7 0.014 5 0.004 1 Ca $ E\left({2}_{1}^{+}\right) $ 1.391 5 0.807 2 0.090 5 $ {E(4}_{1}^{+}) $ 1.934 3 0.478 2 0.018 1 Kr $ E\left({2}_{1}^{+}\right) $ 0.052 9 0.040 8 0.003 1 $ {E(4}_{1}^{+}) $ 0.279 9 0.035 3 0.037 4 Sm $ {E(2}_{1}^{+}) $ 0.049 0 0.012 6 0.001 5 $ {E(4}_{1}^{+}) $ 0.319 1 0.013 7 0.010 5 Pb $ E\left({2}_{1}^{+}\right) $ 0.608 9 0.598 0 0.041 5 $ {E(4}_{1}^{+}) $ 1.360 2 0.488 6 0.036 7 低激发态
$ {4}_{1}^{+} $ 和$ {2}_{1}^{+} $ 的能量比值R42是辨别原子核属于轴对称形变转子(R42 = 3.33)、球形振动核(R42 = 2.0)还是三轴形变转子(R42 = 2.5)的常用手段。从图5可见,5DCH虽然高估了Mg同位素链的$ {E(4}_{1}^{+}) $ ,但很好地描述了Mg的R42。由于32Mg是典型的反转岛核,因此即便它的中子数是传统幻数20,其R42大约是2.6而不是球形核的2.0。对于中子数大于20的丰中子Mg同位素,R42大约是3.0,这意味它们的集体性进一步增强。两种BP网络都很好地反映了这些位于原子核反转岛核区的复杂物理现象,显著优于5DCH模型。5DCH还低估了Kr和Pb的缺中子核区的$ {E(2}_{1}^{+}) $ ,因此其预言的这一核区的R42与实验数据存在较大偏差,BP-ZN网络的结果在Kr和Pb同位素链中也出现了一些较大的偏差,而BP-ZNP网络较好地再现了Kr和Pb同位素链R42的实验数据。对于Sm同位素,众所周知,存在从近球形核146Sm(N = 84)到长椭形变核154Sm(N = 92)的一级形状相变,临界点在152Sm(N = 90)附近[50]。R42在该区域的急速增加反映了该区域的一级形状相变,BP-ZNP和5DCH都很好地再现了该形状相变过程。对于实验R42未知的130Sm,BP-ZN网络预言了过大的R42,与5DCH的结果具有很大差异,相比而言,BP-ZNP网络的预测结果与5DCH的结果较为接近,这可能暗示BP-ZNP网络具有相对可靠的外推能力。通过在核素图上展示理论值与实验值的差,可以更直观地了解神经网络对不同质量区原子核激发能的预言能力。鉴于BP-ZNP网络对原子核低激发能有更好的学习能力和外推能力,图6中展示了BP-ZNP网络得到的log10E和R42,与相应的实验值以及BNN理论值[47]之间的差值。从图可见,BP-ZNP网络很好地拟合了从轻核、中重核到重核的实验激发能,其计算的log10E和实验数据的差别基本在0.05以下。
$ {R}_{42}^{\mathrm{E}\mathrm{X}\mathrm{P}} $ 与$ {R}_{42}^{\mathrm{B}\mathrm{P}-\mathrm{Z}\mathrm{N}\mathrm{P}} $ 之间较大的差值主要集中在中重核区域。BNN方法的结果在轻核区以及部分丰质子核区与实验数据存在较大偏差,而BP-ZNP网络与实验数据在这些区域的偏差相对较小,说明BP-ZNP网络比BNN更好地再现了轻核区以丰质子核区的低激发能。
Studies of Nuclear Low-lying Excitation Spectra with Multi-task Neural Network
doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022043
- Received Date: 2022-03-29
- Rev Recd Date: 2022-04-14
- Available Online: 2022-11-09
- Publish Date: 2022-09-20
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Key words:
- back propagation neural network /
- nuclear low-lying excitation spectra /
- nuclear shell effect
Abstract: The nuclear low-lying excitation spectra are very important for understanding nuclear structure. The excitation energies of
Citation: | Yifu WANG, Zhongming NIU. Studies of Nuclear Low-lying Excitation Spectra with Multi-task Neural Network[J]. Nuclear Physics Review, 2022, 39(3): 273-280. doi: 10.11804/NuclPhysRev.39.2022043 |