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QMD模型是一个多体的半经典的微观动力学输运模型,核子被看作是有限宽度的高斯波包,同时考虑了平均场和两体碰撞两部分效应,被应用于从低能熔合反应到高能的核反应[30-31]。拓展的QMD模型被Maruyama等[32]提出,称为Extension of Quantum Molecular Dynamics (EQMD)模型。EQMD模型通过采用复数形式的高斯波包形式,引入泡利势,引入摩擦冷却过程,使模型具有比标准QMD更多的优势。EQMD 模型能够部分描述核子的费米子属性,在一定程度上唯象地实现费米系统的反对称性质描述,可以很好地描述原子核基态性质,尤其是原子核的团簇结构。另外EQMD模型沿袭了QMD两体碰撞部分,能够较好地描述碎裂反应。近年来EQMD模型在原子核团簇结构、巨共振、中低能核核碰撞、光核反应等研究中得到了应用和扩展,比如基于EQMD模型揭示了GDR能谱结构与12C、16O等原子核的
$ \alpha $ 团簇构型存在密切关系[19-20],在EQMD 模型框架加入($ {\rm{\gamma }}$ , np)反应道后使得EQMD模型可以研究准氘核能区的光核反应[28-29],加入费米能区的直接光子产生道后,使得EQMD模型可以研究此能区的光子发射谱[33]。 -
EQMD模型中对核子的描述仍然用高斯波包,只是波包宽度用了相对复杂的复数形式:
$${\phi _i}\left( {{{{r}}_i}} \right) = {\left( {\frac{{{\nu _i} + \nu _i^*}}{{2\pi }}} \right)^{3/4}}\exp \left[ { - \frac{{{\nu _i}}}{2}{{\left( {{{{r}}_i} - {{{R}}_i}} \right)}^2} + \frac{\rm i}{\hbar }{{{P}}_i} \cdot {{{r}}_i}} \right],$$ (1) 这里的
$ {{{R}}}_i $ 和$ {{{P}}}_i $ 分别表示波包的位置中心和动量中心。其中对于波包宽度$ \nu_i $ 的描述采用了如下复数的形式:$$ {\nu_i} = \frac{1}{{{\lambda _i}}} + {\rm i}{\delta _i} , $$ (2) 这里的
$ \lambda_i $ 和$ \delta _i $ 分别表示实数部分和复数部分。对波包函数形式做复共轭内积可得单核子对应的密度分布函数形式,其中坐标空间的密度形式为$$\begin{split}\rho \left( {{{{r}}_i}} \right) =& {\varphi _i}{\left( {{{{r}}_i}} \right)^ * } {\varphi _i}\left( {{{{r}}_i}} \right) \\=& {\left( {\frac{1}{{\pi {\lambda _i}}}} \right)^{\frac{3}{2}}}\exp \left[ { - \frac{1}{{{\lambda _i}}}{{\left( {{{{r}}_i} - {{{R}}_i}} \right)}^2}} \right]{\text{。}} \end{split}$$ (3) -
系统的哈密顿量如下:
$$ \begin{split} H =& \Big\langle {\varPsi \Big| {\sum\limits_i { - \frac{{{\hbar ^2}}}{{2{m}}}\nabla _i^2 - {{\hat T}_{\rm c.m.}} + {{\hat H}_{\rm int }}} } \Big|\varPsi } \Big\rangle \\ =& \sum\limits_i {\left[ {\frac{{{{p}}_i(t)^2}}{{2m}} + \frac{{3{\hbar ^2}\left( {1 + \lambda _i^2\delta _i^2} \right)}}{{4m{\lambda _i}}}} \right]} - {T_{\rm c.m.}} + {H_{\rm int}}, \end{split} $$ (4) 这里
$ H_{\rm int} $ 表示相互作用势能;$ {T_{\rm c.m.}} $ 代表零点质心动能,是由结团的总波函数决定的。它是由对于核子波函数的描述中,波包的宽度是动态的,系统演化过程中$ {T_{\rm c.m.}} $ 不再是常数,从而对于哈密顿量的变分计算须将零点质心动能项显示扣除。为了能够更好地描述碎裂过程,必须合理地扣除零点质心动能,Antisymmetrized Molecular Dynamics(AMD)模型等也做了类似处理[34]。每个碎片都有自己的零点质心动能,如果不扣除这个零点能,会导致系统衰变位垒升高。EQMD模型中零点质心动能是按照下面的方式扣除的。单高斯波包的零点质心动能可以表示为$$ t_i^{\rm c.m.} = \frac{{\left\langle {{\phi _i}} \right|\hbar {\nabla ^2}\left| {{\phi _i}} \right\rangle }}{{2m}} - \frac{{\left\langle {{\phi _i}} \right|\hbar \nabla {{\left| {{\phi _i}} \right\rangle }^2}}}{{2m}}{\text{。}} $$ (5) 碎片的整体的零点质心动能形式为
$$ {T_{\rm c.m.}} = \sum\limits_i {\frac{{t_i^{\rm c.m.}}}{{{M_i}}}}, $$ (6) 其中
$ M_i $ 表示第i个核子(波包)所在的碎片质量数。这样扣除的零点质心动能包含了所有碎片的零点能。这里既包含发射的碎片,也包含了原子核的不同团簇结构。这对团簇结构的判断很关键,决定了$ M_i $ 值的大小。EQMD选取的团簇判断机制如下:$$ {M_i} = \sum\limits_j {{F_{ij}}}, $$ (7) $$ {F_{ij}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\left( {\left| {{{{R}}_i} - {{{R}}_j}} \right| < a} \right)} \\ {{{\rm e}^{ - {{\left( {\left| {{{{R}}_i} - {{{R}}_j}} \right| - a} \right)}^2}/b}}}&{\left( {\left| {{{{R}}_i} - {{{R}}_j}} \right| \geqslant a} \right)}, \end{array}} \right., $$ (8) 上述是判断i,j的核子是否在一个团簇内的公式,类似于标准QMD模型中的coalescence方法,这里的参数取值分别为a=1.7 fm和b=4 fm2。确定系统哈密顿量后就可以通过如下变分公式得到系统的运动方程,系统波函数为单核子波包的直积:
$$ \delta \int_{{t_1}}^{{\;t_2}} \ell {\rm d}t = 0, $$ (9) $$ \ell \left( {{R_i},{P_i},{\lambda _i},{\delta _i}, {{\dot R}_i},{{\dot P}_i},{{\dot \lambda }_i}, {{\dot \delta }_i}} \right) = \Big\langle \varPsi \Big|{\rm i}\hbar \frac{{\rm d}}{{{\rm d}t}} - \widehat H\Big| \varPsi \Big\rangle{\text{。}} $$ (10) 通过对系统拉格朗日量的时间变分得到了一个8A维度的经典的运动方程。可以分解为如下4个运动方程:
$$ \begin{split}& {{\dot { R}}_i} = \frac{{\partial H}}{{\partial {{ P}_i}}},\quad {{\dot { P}}_i} = - \frac{{\partial H}}{{\partial {{ R}_i}}},\\ & \frac{{3\hbar }}{4}{{\dot \lambda }_i} = - \frac{{\partial H}}{{\partial {\delta _i}}}, \quad \frac{{3\hbar }}{4}{{\dot \delta }_i} = \frac{{\partial H}}{{\partial {\lambda _i}}}{\text{。}} \end{split} $$ (11) -
在原子核相空间初始化过程中,为了准确地描述系统的基态,需要对由随机抽样得到的相空间数据进行摩擦冷却的计算,以得到最低能量的相空间状态,也就是系统的基态。这种初始化冷却过程是通过对正则演化方程加入阻尼项来实现的。加入阻尼项的演化方程形式如下:
$$ \begin{split}& {{{\mathop {{R}}\limits^. }_i} = \frac{{\partial H}}{{\partial {{{P}}_i}}} + {\mu _{ R}}\frac{{\partial H}}{{\partial {{ R}_i}}}}, \quad {{{\mathop {{P}}\limits^. }_i} = - \frac{{\partial H}}{{\partial {{{R}}_i}}} + {\mu _{ P}}\frac{{\partial H}} {{\partial {{ P}_i}}}},\\ & {\frac{{3\hbar }}{4}{{\dot \lambda }_i} = - \frac{{\partial H}}{{\partial {\delta _i}}} + {\mu _\lambda }\frac{{\partial H}}{{\partial {\lambda _i}}}}, \quad {\frac{{3\hbar }}{4}{{\dot \delta }_i} = \frac{{\partial H}}{{\partial {\lambda _i}}} + {\mu _\delta }\frac{{\partial H}}{{\partial {\delta _i}}}}, \end{split} $$ (12) 这里的
$ \mu _{{{R}}} $ ,$ \mu _{{{P}}} $ ,$ \mu _{{\lambda }} $ ,和$ \mu _{{\delta }} $ 是阻尼系数,取小于0的值,阻尼系数的大小决定每一个时间步长内冷却的能量大小。计算这个演化方程可以使系统冷却到更低的能量状态。计算的最终结果会是所有核子静止在使系统处在最低能量的位置,这时有:$$ \begin{array}{l} {\mathop {{{R}}}\limits^. _i} = 0,\quad {\mathop {{{P}}}\limits^. _i} = 0,\\ {{\dot \lambda }_i} = 0,\quad {{\dot \delta }_i} = 0{\text{。}} \end{array} $$ (13) EQMD模型的费米动量主要是包含在可变的复数形式的波包展宽内。
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$ H_{\rm int} $ 是核子相互作用势,包含Skyrme势($ H_{\rm{Skyrme}} $ ),库仑势($ H_{\rm{Coulomb}} $ ),对称能($ H_{\rm{Symmetry}} $ )和泡利势($ H_{\rm{Pauli}} $ )[32]:$$ H_{\rm int} = H_{\rm Skyrme}+H_{\rm Coulomb}+H_{\rm Symmetry}+H_{\rm Pauli}, $$ (14) Skyrme 势包括两体相互作用和三体相互作用,形式如下:
$$ \begin{split} {H_{\rm Skyrme}} =& \frac{\alpha }{{2{\rho _0}}} \sum\limits_{i,j \ne i} {\int {\delta \left( {{r_i} - {r_j}} \right){\rho _i}\left( {{r_i}} \right){\rho _j}\left( {{r_j}} \right){{\rm d}^3}{r_i}{{\rm d}^3}{r_j}} }+ \\ & \frac{\beta }{{\left( {\gamma + 1} \right)\rho _0^\gamma }}\sum\limits_{i,j \ne i} {\int {\delta \left( {{r_i} - {r_j}} \right){\rho _i}{{\left( {{r_i}} \right)}^{\gamma - 1}}} }\times \\ & {\rho _i}\left( {{r_i}} \right){\rho _j}\left( {{r_j}} \right){{\rm d}^3}{r_i}{{\rm d}^3}{r_j}\equiv {H_2} + {H_{\gamma + 1}}{\text{。}}\\[-12pt] \end{split} $$ (15) 参数取值分别为:
$ \alpha \!=\! -124.3 $ MeV,$ \beta \!=\! 70.5 $ MeV,$ \gamma \!=\! 2 $ ,$ \rho_0 \!=\! 0.16 $ fm–3。不考虑核子的自相互作用。这里的密度依赖项$ H_{\gamma+1} $ 在实际的数值计算中,必须采用$ \gamma \!=\! 2 $ 的三层嵌套循环来求解。这是导致EQMD计算机时间远大于标准QMD模型的关键所在。密度项为所有核子密度函数的叠加:$$ {\rho}\left( {{r}} \right) = \sum\limits_i^A {{\rho _i}\left( r \right)} = \sum\limits_i^A\frac{1}{{{{\left( {\pi {\lambda _i}} \right)}^{{3/2}}}}}\exp \left[ {\frac{{ - {{\left( {{{r}} - {{r}}_i} \right)}^2}}}{{{\lambda _i}}}} \right]{\text{。}} $$ (16) 库仑势,形式如下:
$$ H_{\rm{Coulomb}} = \frac{1}{2}\int \rho _p({{r}})\frac{e^{2}}{|{{r-r}} ^{\prime }|}\rho _p({{r}}^{\prime }){\rm d}^3 r {\rm d}^3 r^{\prime}, $$ (17) 对称势,形式如下:
$$ {H_{\rm symmetry}} = \frac{{{c_{\rm s}}}}{{2{\rho _0}}}\sum\limits_{i,j \ne i} {\int {\big[ {2\delta \left( {{T_i},{T_j}} \right) - 1} \big]{\rho _i}\left( r \right){\rho _j}\left( r \right){{\rm d}^3}r} }, $$ (18) $ T_i $ 表示第i个核子的同位旋量子数。对于原子核物质可以简化为$$ {H_{\rm symmetry}} = \int {\frac{{{c_{\rm s}}}}{2}\frac{{{{\left( {{\rho _{\rm p}} - {\rho _{\rm n}}} \right)}^2}}} {{{\rho _0}}}{{\rm d}^3}r},$$ (19) 参数
$ C_{\rm s} \!=\! 25 $ MeV是对称能密度依赖系数。$ \rho_{\rm p} $ 和$ \rho_{\rm n} $ 分别表示质子和中子的密度。除了泡利势,EQMD模型中没有使用其它动量相关势。因为泡利势低于费米能,所以高于几十MeV的能区对动量依赖的描述不好。对于更高能量的核反应需要引入更合理的相互作用势。泡利势用的是一个唯象的排斥势,能够阻止相同同位旋、相同自旋的核子相空间距离太近。泡利势来补偿波函数的反对称化部分,形式如下:$$ \begin{split} H_{\rm{Pauli}} =& \frac{c_{\rm p}}{2}\sum_i(f_i-f_0)^\mu\theta(f_i-f_0), \\ f_i\equiv& \sum_j\delta(S_i,S_j)\delta(T_i,T_j)|\langle\phi_i|\phi_j\rangle|^2, \end{split} $$ (20) 这里
$ f_i $ 代表第$ i $ 个核子与其它核子的波包重叠函数。强度系数$ c_{\rm p} $ 、位垒参数$ f_0 $ 、指数项$ \mu $ 分别设置为15 MeV,1.0,1.3。通过无限大核物质的统计性性质,我们可以验证泡利势的有效性。在无限大核子系统极限下,使波包具有平面波的形式,这样使得坐标空间具有均匀的密度分布。这是区别于标准QMD模型的,固定的波包宽度在无限大核子系统极限下仍然没有均匀的物质密度分布。在只有泡利势的情况下,参数取为$ c_{\rm p} \!= $ $ 15 $ MeV,$ f_0\! =\! 1.05 $ ,$ \mu \!=\! 2.0 $ 。模拟结果显示,在低温区和费米气体相似,在高温区和玻尔兹曼气体符合。 -
在EQMD模型中,弹核和靶核的初始化不同于其它QMD类模型。EQMD初始化核中心的波包是随机分布的。初始化随机给定核子坐标和动量后,得到的原子核并不是处于基态(能量最低的状态),为了使初始化的核处于基态,在正则演化方程中加入了阻尼项,使其演化到能量最低的状态。大部分抽样的弹核和靶核不是很稳定,经过了摩擦冷却过程后,可以保持稳定。同时在保证结合能、均方根半径等物理量与实验数据相接近的基础上筛选出反应所需的不同构型的原子核。EQMD给出的初始化相空间中,
$ \alpha $ 团簇的构型类似于晶格结构的构型,比如16O存在4种可能的几何构型,分别为长链型、风筝型(3个$ \alpha $ 构成正三角形结构,第4个$ \alpha $ 出现在三角形结构的顶点外侧)、正方型、正四面体型。这4种构型可以通过判断不同$ \alpha $ 之间的距离进行区分,判选结果可以通过坐标空间的可视化程序进行验证。对于比较轻的原子核,由于核子数目少,需要大量的抽样次数才能找出想要的结构。得到弹靶核的相空间之后,在程序中根据碰撞参数,入射能等计算系统的正则演化方程,得到一个完整的反应事件。
Probing Clustering Configurations of 16O by the Yield Distribution in Heavy Ion Collisions at Fermi Energy
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摘要: 近几年来,原子核核内的
$\alpha$ 团簇结构引起了人们的广泛关注。本工作的目的是讨论在费米能区下重离子碰撞的碎片产额分布是否可以作为研究轻核中$\alpha$ 团簇结构的工具。本文基于扩展的量子分子动力学输运模型(EMQD)模拟了16O具有4种不同的初始化$\alpha$ 构型(长链型、风筝型、四方型以及正四面体型)的16O+16O反应,通过观察碎片产额多重数分布情况研究了具有不同结构的团簇核的核反应。计算结果表明,碰撞后产生的自由质子及4He的产额受不同构型的影响明显,表明4He/proton可以作为团簇结构的一个表征量。此外,自由质子及4He的出射$\theta$ 和$\phi$ 角及动能能谱可以用来提取16O的$\alpha$ 团簇构型信息。-
关键词:
- $\alpha$团簇结构 /
- 产额分布 /
- 重离子核反应 /
- EQMD模型
Abstract: In recent years, the cluster structure in nuclei has attracted a lot of attention. The goal of this work is to investigate the yield distribution of heavy ion collisions at Fermi energy and evaluate the$\alpha$ cluster configurations in light nuclei. The 16O+16O reactions with four different initialization$\alpha$ configurations (long chain, kite, square, tetrahedron)are simulated based on the Extended Quantum Molecular Dynamics (EQMD) transport model. The nuclei with different structures are investigated by observation of the multiplicity distribution of yields in nuclear reactions. It is found that the yields of free protons and 4He were affected by different cluster configurations, which indicates that 4He/proton can be used as a characterization of cluster structure. In addition, the$\alpha$ cluster configuration information of 16O can be extracted from the outgoing$\theta$ and$\phi$ and the kinetic energy spectrum of of free protons and 4He. -
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[1] WHEELER J A. Phys Rev, 1937, 52: 1083. doi: 10.1103/PhysRev.52.1083 [2] HAFSTAD L R, TELLER E. Phys Rev, 1938, 54: 681. doi: 10.1103/PhysRev.54.681 [3] FESHBACH H, IACHELLO F. Phys Lett B, 1973, 45: 7. doi: 10.1016/0370-2693(73)90239-6 [4] DENNISON D M. Phys Rev, 1954, 96: 378. doi: 10.1103/PhysRev.96.378 [5] ROBSON D. Phys Rev Lett, 1979, 42: 876. doi: 10.1103/PhysRevLett.42.876 [6] BAUHOFF W, SCHULTHEIS H, SCHULTHEIS R. Phys Rev C, 1984, 29: 1046. doi: 10.1103/PhysRevC.29.1046 [7] TOHSAKI A, HORIUCHI H, SCHUCK, et al. Phys Rev Lett, 2001, 87: 192501. doi: 10.1103/PhysRevLett.87.192501 [8] EBRAN J P, KHAN E, NIKSIC T, et al. Nature, 2012, 487: 341. doi: 10.1038/nature11246 [9] COOK C W, FOWLER W A, LAURITSEN C C, et al. Phys Rev, 1957, 107: 508. doi: 10.1103/PhysRev.107.508 [10] EPELBAUM E, KREBS H, LEE D, et al. Phys Rev Lett, 2011, 106: 192501. doi: 10.1103/PhysRevLett.106.192501 [11] EPELBAUM E, KREBS H, LAHDE T A, et al. Phys Rev Lett, 2012, 109: 252501. doi: 10.1103/PhysRevLett.109.252501 [12] MARIN-LAMBARRI D J, BIJKER R, FREER M, et al. Phys Rev Lett, 2014, 113: 012502. doi: 10.1103/PhysRevLett.113.012502 [13] CHERNYKH M, FELDMEIER H, NEFF T, et al. Phys Rev Lett, 2007, 98: 032501. doi: 10.1103/PhysRevLett.98.032501 [14] KANADA-EN'YO Y, KIMURA M, ONO A. PTEP, 2012, 2012: 01A. doi: 10.1093/ptep/pts001 [15] LIU L, ZHANG Z H, ZHAO P W. Phys Rev C, 2015, 92: 044304. doi: 10.1103/PhysRevC.92.044304 [16] ICHIKAWA T, MARUHN J A, ITAGAKI N, et al. Phys Rev Lett, 2011, 107: 112501. doi: 10.1103/PhysRevLett.107.112501 [17] EPELBAUM E, KREBS H, LÄHDE T A, et al. Phys Rev Lett, 2014, 112: 102501. doi: 10.1103/PhysRevLett.112.102501 [18] BIJKER R, IACHELLO F. Phys Rev Lett, 2014, 112: 152501. doi: 10.1103/PhysRevLett.112.152501 [19] HE W B, MA Y G, CAO X G, et al. Phys Rev Lett, 2014, 113: 032506. doi: 10.1103/PhysRevLett.113.032506 [20] HE W B, MA Y G, CAO X G, et al. Phys Rev C, 2014, 94: 014301. doi: 10.1103/PhysRevC.94.014301 [21] YANG Z H, YE Y L, LI Z H, et al. Phys Rev Lett, 2014, 112: 162501. doi: 10.1103/PhysRevLett.112.162501 [22] BRONIOWSKI W, RUIZ ARRIOLA E. Phys Rev Lett, 2014, 112: 112501. doi: 10.1103/PhysRevLett.112.112501 [23] GUO C C, MA Y G, AN Z D, et al. Phys Rev C, 2019, 99: 044607. doi: 10.1103/PhysRevC.99.044607, [24] GUO C C, HE W B, MA Y G. Chin Rev Lett, 2017, 34: 092101. doi: 10.1088/0256-307x/34/9/092101 [25] ZHANG S, MA Y G, CHEN J H, et al. Phys Rev C, 2017, 95: 064904. doi: 10.1103/PhysRevC.95.064904 [26] ZHANG S, MA Y G, CHEN J H, et al. Eur Phys J A, 2018, 54: 161. doi: 10.1140/epja/i2018-12597-y [27] XU Z W, ZHANG S, MA Y G, et al. Nucl Sci Tech, 2018, 29: 186. doi: 10.1007/s41365-018-0523-9 [28] HUANG B S, MA Y G, HE W B. Eur Phys J A, 2017, 53: 119. doi: 10.1140/epja/i2017-12300-0 [29] HUANG B S, MA Y G, HE W B. Phys Rev C, 2017, 95: 034606. doi: 10.1103/PhysRevC.95.034606 [30] AICHELIN J, STOECKER H. Phys Lett B, 1986, 176: 14. doi: 10.1016/0370-2693(86)90916-0 [31] AICHELIN J. Phys Rept, 1991, 202: 233. doi: 10.1016/0370-1573(91)90094-3 [32] MARUYAMA T, NIITA K, IWAMOTO A. Phys Rev C, 1996, 53: 297. doi: 10.1103/PhysRevC.53.297 [33] SHI C Z, MA Y G, CAO X G, et al. Phys Rev C, 2020, 102: 014601. doi: 10.1103/PhysRevC.102.014601 [34] ONO A, HORIUCHI H. Prog Part Nucl Phys, 2004, 53: 501. doi: 10.1016/j.ppnp.2004.05.002 [35] FIELDS D J, LYNCH W G, CHITWOOD C B, et al. Phys Rev C, 1984, 30: 1912. doi: 10.1103/PhysRevC.30.1912 [36] WILE J L, FIELDS D E, KWIATKOWSKI K, et al. Phys Rev C, 1992, 45: 2300. doi: 10.1103/PhysRevC.45.2300 [37] KIM Y D, DE SOUZA R T, BOWMAN D R, et al. Phy Rev C, 1992, 45: 338. doi: 10.1103/PhysRevC.45.338 [38] HAGEL K, GONIN M, WADA R, et al. Phys Rev C, 1994, 50: 2017. doi: 10.1103/PhysRevC.50.2017 [39] LI Q F, WANG Y J, WANG X B, et al. Sci China Phys Mech Astron, 2016, 59: 622001. doi: 10.1007/s11433-015-5768-2 [40] LI Q F, WANG Y J, WANG X B, et al. Sci China Phys Mech Astron, 2016, 59: 632002. doi: 10.1007/s11433-015-5775-3 [41] GUO C C, WANG Y J, LI Q F, et al. Sci China Phys Mech Astron, 2012, 55: 252-259. doi: 10.1007/s11433-011-4616-2 [42] LI C, TIAN J L, ZHANG F S. Phys Lett B, 2020, 809: 135697. doi: 10.1016/j.physletb.2020.135697