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UrQMD模型是一个典型的处理微观多体非平衡动力学输运的理论模型[30–35]。经过不断的改进与更新,UrQMD目前可以很好地用于分析大入射能量范围(从INDRA到LHC能区,
$ E_{\rm{lab}}\!=\!0.04 $ AGeV到$ \sqrt{s^{}_{\rm{NN}}}\!=\!8 $ TeV)内的p+p,p+A和A+A等多种类型的核反应。UrQMD目前有3个主要的发展模式:第一个是级联模式(Cascade model,UrQMD/C),所有粒子都被看做自由流(free-streaming)来处理[36–40];第二个分支是混合模式(Hybrid model,UrQMD/H),将微观输运过程与宏观流体动力学相结合而成,可以在流体动力学过程中考虑不同的核物质状态方程[28, 41-42];第三个是考虑了平均场势作用后的模式(Mean-field model,UrQMD/M)[43–48]。本文通过比较UrQMD/C模式和UrQMD/M模式下的结果来探究平均场势修正对正反质子椭圆流的影响。UrQMD中的平均场势修正部分采用了和量子分子动力学(Quantum Molecular Dynamics,QMD)[49]相同的做法,碰撞项部分类似于相对论量子分子动力学(Relativistic Quantum Molecular Dynamics,RQMD)[50]的处理。初始化时,重子由相空间中具有一定宽度的高斯波包来表示:
$$ \phi_{i}({{r}},t)=\frac{1}{(2\pi L)^{3/4}}{\rm{e}}^{-\frac{({{r}}-{{r}}_{i})^{2}}{4L}}{\rm{e}}^{\frac{{\rm{i}}{{p}}_{i}\cdot{{r}} }{\hbar}}\text{,} $$ (1) 波包宽度L与原子核的大小有关,越大的核系统,波包宽度越大,对于197Au,取
$ L\!=\!2~{\rm fm}^2 $ 。$ {{r}}_{i} $ 和$ {{p}}_{i} $ 是第$ i $ 个重子波包中心的坐标和动量。通过Wigner变化可以得到第$ i $ 个重子的相空间分布函数:$$ f_{i}({{r}},\,{{p}})=\frac{1}{(\pi\hbar)^{3}}{\rm{e}}^{-\frac{({{r}}-{{r}}_{i})^{2}}{2L}}{\rm{e}}^{-\frac{({{p}}-{{p}}_{i})^{2}\cdot2L}{\hbar^{2}}}\text{。} $$ (2) 强子的运动遵循哈密顿运动方程:
$$ \dot{{{r}}}_{i}=\frac{\partial H}{\partial{{ p}}_{i}},\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \dot{{{p}}}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial {{r}}_{i}}\text{。} $$ (3) 哈密顿量H按非相对论形式可以分解为动能T和有效的两体相互作用势能
$ U $ ,即$ H\!=\!T+U $ 。其中,$$ T=\sum\limits_{i}(E_{i}-m_{i})=\sum\limits_{i}(\sqrt{{{p}}_{i}^{2}+m_{i}^{2}}-m_{i})\text{,} $$ (4) $$ U=U_{\rm{Sky}}^{(2)}+U_{\rm{Sky}}^{(3)}+U_{\rm{Yuk}}+U_{\rm{Cou}}+U_{\rm{Pau}}+U_{\rm{md}}+U_{\rm{sym}}\text{。} $$ (5) 势能
$ U $ 主要有二体和三体Skyrme势能项、Yukawa势能项、库仑势能项、Pauli势能项、动量相关项以及对称势能项等。在中低能区,相互作用部分可以用Skyrme能量密度泛函来描述[51–53]。在高能时,Yukawa势能项、Pauli势能项、以及对称势能项对整个动力学演化过程影响较小,可以忽略,而Skyrme势能项和动量相关项依然影响整个核反应过程。密度依赖的Skyrme势能可以写为$$ U=\alpha\left(\frac{\rho_{h}}{\rho_{0}}\right)+\beta\left(\frac{\rho_{h}}{\rho_{0}}\right)^{\gamma}\text{,} $$ (6) 其中
$ \rho_{h} $ 是强子密度,$ \alpha $ ,$ \beta $ 和$ \gamma $ 为决定核物质状态方程软硬的参数,这里取$ \alpha\!=\!-268\; {\rm{MeV}} $ ,$ \beta\!=\!345\; {\rm{MeV}} $ ,$ \gamma\!=\!1.167 $ [54],对应的核物质不可压缩系数K=$ 314\; {\rm{MeV}} $ 。为了正确描述光学势的实部,动量相关项被提出[55]。在这项工作中我们采用了JAM(Jet AA Microscopic transportation model)模型所使用的基于平均场理论的动量相关项,单粒子势表示为
$$ U_{md}=\sum\limits_{k=1,2}\frac{t_{md}^{k}}{\rho_{0}}\int {\rm{d}}{{p}}_{j}\frac{f({{r}}_{i},{{p}}_{j})}{1+\big[({{p}}_{i}-{{p}}_{j})/a_{md}^{k}\big]^{2}}\text{,} $$ (7) 其中
$ t_{md} $ 和$ a_{md} $ 是参数,详细的描述请参阅文献[54-55]。当反应能量较高时,在UrQMD中,粒子主要是由弦激发和成块所产生,强子从弦碎块中产生的形成时间由“yo-yo”模式来确定[30-31]。在形成时间之前的预形成粒子的输运按照自由流的形式去处理,只对头强子考虑了压低截面,对预形成粒子之间没有考虑任何相互作用。我们在之前的工作中发现,由于UrQMD/C模式在反应早期缺乏足够的压强,一些物理现象得不到较好地描述,比如RHIC能区实验上观测到的较大的集体流[37, 56]以及HBT两粒子关联中表征火球存活时间的
$ R_{\rm{o}}/R_{\rm{s}} $ 之比小于理论计算结果[36]。因此,除了已形成粒子之外,预形成粒子之间的相互作用也有必要加以考虑。作为初步尝试,简单地对预形成粒子考虑一个类似于已形成粒子之间的平均场势修正。详细的势修正考虑如下:对于已形成的重子,采用上面介绍到的势修正;对于已形成的介子,只考虑了库仑项;对于预形成的重子,采用和已形成的重子一样的势修正,但只考虑Skyrme势能项,其他项暂时不考虑;对于预形成的介子,采用和预形成的重子一样的处理方式,但是由于夸克数的差异,相应的势修正乘以一个因子(2/3) 加以约化;已形成的重子和预形成的重子之间暂没考虑势相互作用。相应的强子密度为$ \rho_{h}\!=\!\sum_{i\neq j}c_{i}c_{j}\rho_{ij} $ ,其中对于重子、预形成的介子和已形成的介子,$ c_{i,j} $ 分别为1、2/3和0。随着碰撞能量的升高,动力学的相对论处理变得越来越重要。由于RQMD在描述高能量大体系碰撞时存在的CPU耗时较长等问题[57],Maruyama等[57]给出了简化版的相对论分子动力学模型(RQMD/S)。与JAM模型[54]一样,我们采用RQMD/S中协变形式的平均场,哈密顿量可以表达为
$$ H=\sum\limits_{i=1}^{N}\sqrt{{{p}}_{i}^{2}+m_{i}^{2}+2m_{i}V_{i}} \text{,} $$ (8) 其中
$ V_{i} $ 为第$ i $ 个粒子的有效相互作用势。在两体相互作用势的计算中相对距离$ {{r}}_{ij}\!=\!{{r}}_{i}-{{r}}_{j} $ 和相对动量$ {{p}}_{ij}\!= $ ${{p}}_{i}-{{p}}_{j} $ 的洛伦兹收缩需要被考虑:$$ \tilde{{{r}}}_{ij}^{2} = {{r}}_{ij}^{2}+\gamma_{ij}^{2}({{r}}_{ij}\cdot\beta_{ij})^{2}\text{,} $$ (9) $$ \tilde{{{p}}}_{ij}^{2} = {{p}}_{ij}^{2}-(E_{i}-E_{j})^{2}+\gamma_{ij}^{2}\left(\frac{m_{i}^{2}+m_{j}^{2}}{E_{i}+E_{j}} \right)\text{,}$$ (10) 其中在第
$ i $ 个和第$ j $ 个粒子间的快度$ \beta_{ij} $ 和$ \gamma_{ij} $ 因子为$$ \beta_{ij}=\frac{{{p}}_{i}+{{p}}_{j}}{E_{i}+E_{j}},\; \; \; \; \; \gamma_{ij}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{ij}^{2}}}\text{。} $$ (11) 运动方程最后可以表示为
$$ \frac{{\rm{d}}{{r}}_{i}}{{\rm{d}}t} \approx \frac{\partial H}{\partial {{p}}_{i}}=\frac{{{p}}_{i}}{E_{i}}+\sum\limits_{j=1}^{N}\frac{m_{j}}{E_{i}}\frac{\partial V_{i}}{\partial{{p}}_{i}}\text{,}$$ (12) $$ \frac{{\rm{d}} {{p}}_{i}}{{\rm{d}}t} \approx -\frac{\partial H}{\partial {{r}}_{i}}=-\sum\limits_{j=1}^{N}\frac{m_{j}}{E_{i}}\frac{\partial V_{i}}{\partial{{r}}_{i}}\text{。} $$ (13) 各向异性的集体流是探测重离子碰撞产生的高温高密核物质信息的有效观测量。通常基于反应平面
$ \varPsi_{\rm{RP}} $ 对出射粒子的方位角$ \phi $ 分布作傅里叶展开[58-59],$$ E\frac{{\rm{d}}^{3}N}{{\rm{d}}^{3}p}=\frac{1}{2\pi}\frac{{\rm{d}}^{2}N}{p_{\rm{t}}{\rm{d}}p_{\rm{t}}{\rm{d}}y}\left\{1+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_{n}\cos\big[n(\phi-\varPsi_{\rm{RP}})\big]\right\}\text{,} $$ (14) $ v_{n} $ 为傅里叶展开系数,也被称为流系数,其中:第一项$ v_{1} $ 被称为直接流;第二项$ v_{2} $ 为椭圆流;第三项$ v_{3} $ 为三角流,以此类推。其中被广泛关注和使用的椭圆流$ v_{2} $ 可以表达为$$ v_{2}\equiv \langle \cos[2(\phi-\varPsi_{\rm{RP}})]\rangle=\left\langle\frac{p_{x}^{2}-p_{y}^{2}}{p_{\rm{t}}^{2}}\right\rangle\text{。} $$ (15) 其中
$p_{\rm t}\!=\!\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}$ 为横动量,尖括号表示对所有的粒子进行平均。
${\sqrt{{{s}}_{\bf{NN}}}\!=\!5\thicksim12}$ GeV能区${^{\bf{197}}{\bf{Au}}+^{\bf{197}}{\!\!\bf{Au}}}$ 碰撞中正反质子椭圆流劈裂的研究
doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC04
Investigation of the Splitting in Elliptic Flow Between Protons and Anti-protons in ${^{{\bf{197}}}{\bf{Au}}}$ +${^{{\bf{197}}}{\bf{Au}}}$ Collisions at ${\sqrt{{{s}}_{\bf{NN}}}\!=\!{\bf{5}}\thicksim{\bf{12}}~{\bf{GeV}}}$
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摘要: 利用极端相对论量子分子动力学(Ultra-relativistic Quantum Molecular Dynamics,UrQMD) 模型研究了质心系能量
$\sqrt{s^{}_{\rm{NN}}}=5\thicksim12~{\rm{GeV}}$ 能区下$^{197}{\rm{Au}}+^{197}{\!\!\rm{Au}}$ 碰撞中正反质子的椭圆流$v_{2}$ 及椭圆流$v_{2}$ 流差。通过对比含势相互作用与不含势相互作用的两种UrQMD模式下的结果,分析了正反质子椭圆流$v_{2}$ 以及椭圆流$v_{2}$ 流差随横动量$p_{\rm{t}}$ 、碰撞能量$\sqrt{s^{}_{\rm{NN}}}$ 、快度$y$ 和中心度的变化。发现在考虑平均场势修正后,可以较好地描述质子椭圆流$v_{2}$ 、正反质子椭圆流$v_{2}$ 流差随横动量$p_{\rm{t}}$ 、碰撞能量$\sqrt{s^{}_{\rm{NN}}}$ 变化的实验数据,并且流差的能量依赖受观测窗口(如:快度和中心度)大小的影响。这些信息对深入理解高密区核物质属性以及探究QCD(Quantum-ChromoDynamical) 相图结构有着积极的意义。Abstract: Utilizing ultra-relativistic quantum molecular dynamics (UrQMD) model, the elliptic flow$v_{2}$ for proton and anti-protons as well as the$v_{2}$ difference between proton and anti-protons from$^{197}{\rm{Au}}$ +$^{197}{\rm{Au}}$ collisions at center-of-mass energies$\sqrt{s^{}_{\rm{NN}}}=5\thicksim12$ GeV are investigated. By comparing the results from the UrQMD model with and without potential interactions, the$v_{2}$ of protons and anti-protons and their difference as a function of the transverse momentum$p_{\rm{t}}$ , incident energy$\sqrt{s^{}_{\rm{NN}}}$ , rapidity and centrality are analyzed. It is found that by including mean-field potentials, the transverse momentum, incident energy dependence of$v_{2}$ of protons and the$v_{2}$ difference in protons and anti-protons could be described well. And the$v_{2}$ difference is affected by the size of the windows (i.e. rapidity and centrality). These information are useful to understand the properties of nuclear matter at high density and thus exploring the structure of QCD (Quantum-ChromoDynamical) phase diagrams.-
Key words:
- heavy ion collisions /
- elliptic flow /
- mean field
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图 2 (在线彩图) 不同碰撞能量、不同中心度下平均场势修正对正反质子椭圆流
$ v_2$ 的横动量pt谱的影响。实验数据来自于STAR合作组[10]图 5 (在线彩图) 不同中心度和快度观测窗口下正反质子椭圆流相对流差的激发函数。实验数据来自于文献[12]
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