-
$$ \begin{split} \\ M\left( R\right) =\sum\limits_{i}\omega _{i}+\frac{4}{3}\pi R^{3}B- \frac{Z_{0}}{R}+\langle \varDelta H\rangle , \end{split} $$ (1) $$ \omega _{i}=\left( m_{i}^{2}+\frac{x_{i}^{2}}{R^{2}}\right) ^{1/2} 。 $$ (2) 式(1)中第一项为强子内所有价夸克的相对论能量;
$ i $ 代表夸克指标;$ \omega_i $ 为夸克能量;包含质量$ m_i $ 和动量$ x_i/R $ 。参数$ x_i $ 、R分别由边界条件和质量公式变分所得,它们之间满足超越方程$$ \tan x_{i}=\frac{x_{i}}{1-m_{i}R-\left( m_{i}^{2}R^{2}+x_{i}^{2}\right) ^{1/2}} 。 $$ (3) 式(1)中第二项为袋模型体积能;B为袋常数,其物理意义是强子内外两侧的真空能密度差,在数量上等于强子稳定时内部物质场能量密度。由于MIT袋模型在球近似下描述强子结构,所以这里的体积为球状袋子的体积,整个质量公式也是袋半径R的函数。式中第三项为袋内的真空零点能,
$ Z_0 $ 为可调参数。最后$ \langle \varDelta H\rangle $ 为夸克间的相互作用能,主要包含色磁相互作用和重夸克间的束缚能[1, 8]。色磁相互作用通常由下式表示:
$$ H_{{\rm{CMI}}}=-\sum\limits_{i<j}\left( {\boldsymbol{\lambda _{i}}}\boldsymbol\cdot {\boldsymbol{\lambda _{j}}}\right) \left( {\boldsymbol{\sigma _{i}}}\boldsymbol\cdot {\boldsymbol{\sigma _{j}}} \right) C_{ij} , $$ (4) 其中:
$ i $ 、$ j $ 代表强子构型中夸克或反夸克指标;$ \lambda $ 、$ \sigma $ 为Gell-Mann矩阵和Pauli矩阵,它们的卡西米尔算符形式也被称为颜色因子和自旋因子,计算方法如下:$$ {\langle {\boldsymbol{\lambda}}_{i}\boldsymbol \cdot {\boldsymbol{\lambda}}_{j}\rangle }_{nm} = \sum\limits_{\alpha =1}^{8}Tr\left( c_{in}^{\dagger }\lambda^{\alpha }c_{im}\right) Tr\left( c_{jn}^{\dagger }\lambda ^{\alpha}c_{jm}\right) , $$ (5) $$ {\langle {\boldsymbol{\sigma}}_{i} \boldsymbol \cdot {\boldsymbol{\sigma}}_{j}\rangle }_{xy} = \sum\limits_{\alpha =1}^{3}Tr\left( \chi _{ix}^{\dagger}\sigma ^{\alpha }\chi ^{}_{iy}\right) Tr\left( \chi _{jx}^{\dagger }\sigma^{\alpha }\chi ^{}_{jy}\right) 。 $$ (6) 其中:
$ n $ 、$ m $ 和$ x $ 、$ y $ 分别代表强子颜色波函数和自旋波函数基矢;$ c $ 和$ \chi $ 为夸克的颜色和自旋空间基矢。这两种因子的计算依赖于颜色-自旋波函数,在方法上属于$ SU(3)\times SU(2) $ 群代数,而公式(4)中的$ C_{ij} $ 则与夸克空间波函数有关。在MIT袋模型中,$ C_{ij} $ 的计算方法为$$ C_{ij}=3\frac{\alpha _{\rm s}\left( R\right) }{R^{3}}\bar{\mu}_{i}\bar{\mu} _{j}I_{ij} , $$ (7) $$ \alpha_{\rm s}(R)=\frac{0.296}{{\rm{ln}}\left[1+{\left(0.281R\right)}^{-1}\right]} , $$ (8) $$ \bar{\mu}_{i}=\frac{R}{6}\frac{4\alpha _{i}+2\lambda _{i}-3}{2\alpha _{i}\left( \alpha _{i}-1\right) +\lambda _{i}} , $$ (9) $$ I_{ij}=1+2\int\nolimits_{0}^{R}\frac{{\rm d}r}{r^{4}}\bar{\mu}_{i}\bar{\mu} _{j}=1+F(x_{i}, x_{j}) 。$$ (10) 公式(8)为文献[1]给出的强耦合常数跑动形式,它可以很好地控制整个质量谱的计算误差。公式(9)为夸克磁矩中不包含电荷的部分,其中
$ \alpha _{i}\equiv \omega _{i}R $ ,$ \lambda _{i}\equiv m_{i}R $ 。公式(10)是关于参数$ x_i $ 和$ x_j $ 的有理函数,$ F(x_{i}, x_{j}) $ 计算方法为$$ \begin{split} F(x^{}_{i}, x^{}_{j}) = & {\left(x^{}_{i} {\rm sin}^{2}x^{}_{i}-\frac{3}{2}y_{i}\right)}^{-1} {\left(x^{}_{j} {\rm sin^{2}}x^{}_{j}-\frac{3}{2}y_{j}\right)}^{-1} \times \\& \left\{- \frac{3}{2}y_{i}y_{j}-2x^{}_{i}x^{}_{j} {\rm sin}^{2}x^{}_{i} {\rm sin}^{2}x^{}_{j} +\frac{1}{2}x^{}_{i}x^{}_{j}\Big\{2x^{}_{i} {\rm Si}(2x^{}_{i}) \right. + \\& \left.\left. 2x^{}_{j} {\rm Si}(2x^{}_{j}) -(x^{}_{i}+x^{}_{j}) {\rm Si}\big[2(x^{}_{i}+x^{}_{j})\big] \right.\right. - \\& \left.(x^{}_{i}-x^{}_{j}) {\rm Si}\big[2(x^{}_{i}-x^{}_{j})\big] \right\} \Bigg\} 。\\[-15pt] \end{split} $$ (11) 其中
$ y_{i}=x_{i}-{\mathrm{cos}}(x_{i}){\mathrm{sin}}(x_{i}) $ ,$ x_{i} $ 为超越方程(3)的解,另外$$ {\mathrm{Si}}(x)=\int\nolimits_{0}^{x}\ \frac{{\rm sin}(t)}{t}{\rm d}t 。 $$ (12) 通过以上方法,我们可以按照强子的颜色-自旋波函数构造色磁相互作用,写出质量公式的完整表达形式。相互作用中的束缚能部分将会在下一节着重介绍。我们对质量公式进行变分,使得质量关于袋半径R最小,从而得到稳定的强子质量。在计算过程中为了保证公式(1)只是关于R的函数,还需要输入一组初始的
$ x_i $ ,并通过迭代法获得稳定的$ x_i $ 、R参数组。这一系列工作完成后,强子磁矩和电荷半径便可以计算出来。MIT袋模型中夸克电荷半径由下式给出[14]:
$$ \begin{split} {\langle r_{E}^{2} \rangle}_{i}=& Q_{i}R^{2} \frac{\alpha_{i} \left[2x_{i}^{2}\left(\alpha_{i}-1\right)+4\alpha_{i}+2\lambda_{i}-3\right]} {3x_{i}^{2} \left[2\alpha_{i}\left(\alpha_{i}-1\right)+\lambda_{i}\right]} - \\& Q_{i}R^{2} \frac{\lambda_{i} \left[4\alpha_{i}+2\lambda_{i}-2x_{i}^{2}-3\right]} {2x_{i}^{2} \left[2\alpha_{i}\left(\alpha_{i}-1\right)+\lambda_{i}\right]} , \end{split} $$ (13) 其中:
$ Q_i $ 为夸克电荷。强子的电荷半径由夸克求和得到[15]$$ r^{}_{{\rm{E}}}={\left\vert \sum\nolimits_{i}{\langle r_{E}^{2}\rangle } _{i}\right\vert }^{1/2} 。 $$ (14) 强子的磁矩由自旋波函数求和得到[16]
$$ \mu _{i}=Q_{i}\bar{\mu}_{i}=Q_{i}\frac{R}{6}\frac{4\alpha _{i}+2\lambda _{i}-3}{2\alpha _{i}\left( \alpha _{i}-1\right) +\lambda _{i}} , $$ (15) $$ \mu =\langle \psi _{{\rm{spin}}}\left\vert \sum\nolimits_{i}2\mu _{i}S_{iz}\right\vert \psi _{{\rm{spin}}}\rangle 。 $$ (16) 另外,如果自旋波函数是叠加态
$$ \left| {{\psi^{} _{{\rm{spin}}}}} \right\rangle =C^{}_{1}\chi _{1}+C^{}_{2}\chi ^{}_{2} , $$ (17) 磁矩求和公式应为[17]
$$ \begin{array}{l} \mu =C_{1}^{2}\mu \left( \chi^{} _{1}\right) +C_{2}^{2}\mu \left( \chi ^{} _{2}\right) +2C^{}_{1}C^{}_{2}\mu ^{{\mathrm{tr}}}\left( \chi^{} _{1}, \chi ^{}_{2}\right) , \end{array} $$ (18) 其中:
$ \mu^{{\mathrm{tr}}} $ 是推导产生的交叉项,与跃迁磁矩有关。 -
本文的主要工作是在文献[1]结论的基础上,用跑动形式取代重夸克束缚能的参数形式,所以原文中大部分参数和公式将会直接引用在本文中。对于轻味强子态,MIT袋模型的参数取为
$$ \begin{array}{l} \begin{Bmatrix} m_{{\rm{n}}}=0, m_{{\rm{s}}}=0.279\; {\rm{GeV}} \\ Z_{0}=1.83, B^{1/4}=0.145\; {\rm{GeV}} \end{Bmatrix} 。 \end{array} $$ (19) 对于重味强子态,以下参数由矢量介子
${D}^{\ast}$ 、${B}^{\ast}$ 拟合得到$$ \begin{array}{l} \begin{Bmatrix} m_{{\rm{c}}}=1.641\ {\rm{GeV}},\quad m_{{\rm{b}}}=5.093\ {\rm{GeV}} \end{Bmatrix} 。 \end{array} $$ (20) 对于双重味强子态,以及含有重夸克和奇异夸克的强子态,五种束缚能由矢量介子
${D}_{{\rm{s}}}^{\ast}$ 、${B}_{{\rm{s}}}^{\ast}$ 、${J}/\Psi$ 、$\Upsilon$ 和${B}_{{\rm{c}}}^{\ast}$ 分别拟合得到,且使用如下方法标度:$$ \begin{array}{l} \begin{Bmatrix} B_{{\rm{Qs}}}=B_{{\rm{Q}}\bar{{\rm{s}}}}/2, \quad B_{{\rm{QQ}}^{\prime}}=B_{\rm{Q}\bar{\rm{Q}}^{\prime}}/2 \end{Bmatrix} 。 \end{array} $$ (21) 公式(21)使用了标度因子
$ 1/2 $ 转换不同颜色态下的束缚能。这是因为考虑到重夸克束缚能的贡献之一为夸克间的色电相互作用,其中颜色因子(5)在不同颜色态下具有不同结果[8]。例如,对于介子的色单态$ 1 $ 和重子的反三重态$ \bar{3} $ ,颜色因子如下:$$ {\langle {\boldsymbol{\lambda}}_{i}\cdot {\boldsymbol{\lambda}}_{j}\rangle }^{1}=-\frac{16}{3} ,\quad {\langle {\boldsymbol{\lambda}}_{i}\cdot {\boldsymbol{\lambda}}_{j}\rangle }^{\bar{3}}=-\frac{8}{3} , $$ (22) 它们的比值为标度因子
$ 1/2 $ 。在文献[1]中,由介子$J/\psi$ 拟合得到的束缚能$B_{{\rm{cc}}}=B_{\rm{c}\bar{{\rm{c}}}}/2$ 可以较好地得到$ \varXi_{{\rm{cc}}} $ 的质量,这为束缚能中存在颜色因子提供了佐证。基于此,我们提出了一种束缚能跑动形式:
$$ H_{BE}=\sum\limits_{i<j}\left( {\boldsymbol{\lambda _{i}}}\cdot {\boldsymbol{\lambda _{j}}}\right) \frac{\alpha_s(R)}{R} E_{ij} , $$ (23) 其本质为色电相互作用,与色磁相互作用在形式上相似。式中:R为袋半径;强耦合常数
$ \alpha_{\rm s}(R) $ 取公式(8);($ E_{ij} $ )为五个可调参数,分别对应五种束缚能$ B_{{\rm{cs}}} $ 、$ B_{{\rm{cc}}} $ 、$ B_{{\rm{bs}}} $ 、$ B_{{\rm{bb}}} $ 、$ B_{{\rm{bc}}} $ 。我们使用矢量介子${D}_{{\rm{s}}}^{\ast}$ 、${B}_{{\rm{s}}}^{\ast}$ 、${J}/\Psi$ 、$ \Upsilon $ 和${B}_{{\rm{c}}}^{\ast}$ 分别拟合得到$ E_{ij} $ ,结果如下:$$ \left\{ \begin{array}{l} E_{{\rm{cs}}}=0.079, \quad E_{{\rm{cc}}}=0.237 \\ E_{{\rm{bs}}}=0.098, \quad E_{{\rm{bb}}}=0.304 \\ E_{{\rm{bc}}}=0.287, \end{array} \right\} 。 $$ (24) 以上参数均为无量纲数,不包含颜色因子,只吸收了相互作用动力学部分。因此我们可以很方便地将公式(23)代入质量公式中,并进行整体变分,实现束缚能的跑动过程。图1为
$ \bar{3} $ 颜色态下五种束缚能随袋半径R的变化趋势,并对比原始文献[1]的结果。我们发现$ B_{{\rm{cs}}} $ 和$ B_{{\rm{bs}}} $ 变化趋势较平稳,即采用参数形式和跑动形式得到的结果相差不大;而$ B_{{\rm{cc}}} $ 、$ B_{{\rm{bc}}} $ 和$ B_{{\rm{bb}}} $ 变化趋势显著,即双重重子和三重重子其计算结果应当变化较大。下一节我们将计算并列出相关强子的质量、磁矩等计算结果。 -
本文计算的是所有可能存在束缚能的重味介子和重子,包括重轻介子
$ D_{{\rm{s}}} $ 、$ B_{{\rm{s}}} $ ,双重介子,还有奇异数$S < 0$ 的单重重子、双重重子以及三重重子。在${{SU}}(2)$ 味道对称性下,某些重子会存在色磁混合的情况,针对这些粒子我们会计算其本征态的质量和磁矩。表1、2、3、4、5 列出了以上强子态的计算结果,并与文献[1]中参数形式得到的结果$ M_{{\rm{org}}} $ 对比。某些在实验上发现的粒子还会和实验值$ M_{{\rm{exp}}} $ 对比。表 1 重味介子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $M_{{\rm{exp}}}$ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $r^{}_{{\rm{E}}}$ ${\rm{D}}_{{\rm{s}}}^{+}$ 3.74 1.959 1.961 1.968 − 0.46 ${\rm{B}}_{{\rm{s}}}^{0}$ 3.29 5.345 5.346 5.367 − 0.16 $\eta_{ {\rm{c} } }$ 3.03 2.995 3.002 2.984 − 0.00 ${\rm{B}}_{{\rm{c}}}^{+}$ 2.33 6.254 6.273 6.274 − 0.27 $\eta_{{\rm{b}}}$ 1.43 9.381 9.396 9.399 − 0.00 表 2 非色磁混合单重重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$ M^{}_{{\rm{bag}}} $ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $M_{{\rm{exp}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$ $\Omega_{{\rm{c}}}$ 4.91 2.682 2.680 2.695 −1.07 0.28 $\Omega_{{\rm{c}}}^{\ast}$ 5.08 2.767 2.764 2.766 −0.89 0.29 $\Omega_{{\rm{b}}}$ 4.74 6.085 6.080 6.046 −0.85 0.59 $\Omega_{{\rm{b}}}^{\ast}$ 4.82 6.117 6.112 − −1.43 0.60 表 3 非色磁混合双重重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果。其中$\varXi_{{\rm{cc}}}^{++}$ 的质量已有实验结果,为$ 3\;621.6\;{\rm{MeV}} $ 强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $r^{}_{ {\rm{E} } }$ $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{++}$ 4.39 3.609 3.604 0.13 0.77 $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{+}$ 0.91 0.45 $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast ++}$ 4.61 3.720 3.714 2.63 0.81 $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast +}$ 0.16 0.47 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{0}$ 3.63 10.342 10.311 −0.55 0.28 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{-}$ 0.10 0.44 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast 0}$ 3.80 10.392 10.360 1.19 0.29 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast -}$ −0.85 0.46 $\Omega_{ {\rm{cc} } }$ 4.44 3.733 3.726 0.86 0.47 $\Omega_{ {\rm{cc} } }^{\ast}$ 4.64 3.828 3.820 0.33 0.49 $\Omega_{ {\rm{bb} } }$ 3.72 10.440 10.408 0.06 0.44 $\Omega_{ {\rm{bb} } }^{\ast}$ 3.86 10.485 10.451 −0.74 0.45 表 4 色磁混合重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $ (GeV)、磁矩$ \mu^{}_{{\rm{bag}}} $ ($ \mu^{}_{N} $ )和电荷半径$ r^{}_{{\rm{E}}} $ (fm)计算结果。磁矩和电荷半径数据按同位旋第三分量$ I_{3}=\frac{1}{2}, \, -\frac{1}{2} $ 排列强子 本征矢 $ R_{0} $ $ M_{{\rm{bag}}} $ $ M_{{\rm{org}}} $ $ M_{{\rm{exp}}} $ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $ r^{}_{{\rm{E}}} $ $\left(\Xi_{ {\rm{c} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{c} } }\right)$ (0.05, 1.00) 4.88 2.437 2.436 2.469 0.37, 0.50 0.63, 0.32 (−1.00, 0.05) 4.87 2.546 2.544 2.578 0.67, −1.20 0.62, 0.32 $\Xi_{ {\rm{c} } }^{\ast}$ 1.00 5.05 2.638 2.636 2.646 1.61, −1.10 0.65, 0.33 $\left(\Xi_{ {\rm{b} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{b} } }\right)$ (0.01, 1.00) 4.62 5.807 5.805 5.794 −0.12, −0.08 0.29, 0.60 (−1.00, 0.01) 4.69 5.958 5.956 5.935 0.74, −0.97 0.30, 0.61 $\Xi_{ {\rm{b} } }^{\ast}$ 1.00 4.78 5.993 5.991 5.954 0.95, −1.60 0.31, 0.62 $\left(\Xi_{ {\rm{bc} } }, \ \Xi_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.39, 0.92) 4.17 7.028 7.015 $ \dots$ 1.46, −0.32 0.57, 0.19 (−0.92, 0.39) 4.04 6.966 6.953 $ \dots$ −0.20, 0.09 0.55, 0.18 $\Xi_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.26 7.058 7.044 $ \dots$ 1.92, −0.36 0.58, 0.20 $\left(\Omega_{bc}, \ \Omega_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.40, 0.92) 4.22 7.131 7.117 $ \dots$ −0.20 0.14 (−0.92, 0.40) 4.11 7.078 7.064 $ \dots$ 0.06 0.14 $\Omega_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.30 7.158 7.143 $ \dots$ −0.21 0.15 表 5 三重重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$ $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.12 4.853 4.841 1.44 0.67 $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 3.59 8.132 8.112 0.65 0.42 $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 3.69 8.156 8.133 0.86 0.43 $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 2.96 11.407 11.373 −0.26 0.11 $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 3.11 11.441 11.402 0.28 0.11 $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 2.34 14.679 14.626 −0.25 0.26 表1列出了赝标介子的计算结果。由于赝标介子的
$ J^P=0^- $ ,其磁矩理论上为零。我们发现介子的质量计算结果相较于$ M_{{\rm{org}}} $ 偏小,这是因为五种束缚能的参数均由矢量介子拟合得到,又因为在本文中束缚能随着袋半径R跑动,赝标介子能量较低,袋半径R比矢量介子小,所以呈现这样的结果。除此之外我们发现,尽管质量计算误差存在增大和减小的情况,但均在大致$ 20\;{{\rm{MeV}}} $ 以内,说明束缚能跑动形式不会对介子计算结果产生太大的偏差。表2列出了非色磁混合单重重子的计算结果,即
$ \Omega_{\rm{c}} $ 、$ \Omega_{\rm{b}} $ 系统,色磁混合的情况我们将单独考虑。单重重子内的束缚能为$ {{B}}_{{\rm{cs}}} $ 和$ {{B}}_{{\rm{bs}}} $ ,在图1中的变化趋势较平缓,即它们的质量计算结果与$ {{M}}_{{\rm{org}}} $ 相比变化较小。表2中的结果表明,$ {{M}}_{{\rm{bag}}} $ 要比$ {{M}}_{{\rm{org}}} $ 略大,这是因为重子的袋半径大多为$ R=5\;{{\rm{GeV}}^{-1}} $ 左右,大于介子的$ R=3\;{{\rm{GeV}}^{-1}} $ 左右,束缚能压低的效应减弱,导致重子质量增大。表3列出了非色磁混合双重重子的计算结果。其中已被实验上发现的是
$\Xi_{{\rm{cc}}}$ ,质量为$ 3\;621\;{{\rm{MeV}}} $ [2]。由于双重重子的束缚能为$ B_{{\rm{cc}}} $ 、$ B_{{\rm{bc}}} $ 和$ B_{{\rm{bb}}} $ ,其质量计算结果变化较为显著。从表中我们看到$\Xi_{{\rm{cc}}}$ 的质量增加$ 5\;{{\rm{MeV}}} $ ,更加靠近实验值;而$\Xi_{{\rm{cc}}}^{\ast}$ 的质量增加$ 6\;{{\rm{MeV}}} $ ,更加靠近预测的结果$ 3\;727\;{{\rm{MeV}}} $ [18];这样的束缚能修正会使得$\Xi_{{\rm{cc}}}$ 的计算结果较为准确。但是对于含束缚能$ B_{{\rm{bb}}} $ 的双重重子,质量增大均在$ 30\;{{\rm{MeV}}} $ 左右,其准确性有待实验考证。表4列出了存在色磁混合的单重重子和双重重子计算结果。这些粒子之所以会出现色磁混合,是因为在
$ {\rm{SU}}(2) $ 味道对称性下它们的味道波函数不具有对称性,导致两种颜色-自旋波函数发生简并。我们仍然使用变分法计算,使得本征态的质量随着袋半径R最小。结果表明,单重重子的质量增加$ 2\;{{\rm{MeV}}} $ 左右,双重重子质量增加$ 15\;{{\rm{MeV}}} $ 左右,且单重重子计算误差没有超出模型误差$ 40\;{{\rm{MeV}}} $ 。表5列出了三重重子计算结果。此类重子两两夸克之间存在束缚能
$ B_{{\rm{cc}}} $ 、$ B_{{\rm{bc}}} $ 和$ B_{{\rm{bb}}} $ ,其中$ B_{{\rm{bb}}} $ 跑动行为最显著,这使得它们的质量计算结果比$ M_{{\rm{org}}} $ 相比增大$ 10 \sim 50\;{{\rm{MeV}}} $ 。从物理图像上来讲,三个重夸克在重子中自由运动,其间距应当比介子中大,色电相互作用就不能再拟合为固定参数,跑动形式是一种合理的考虑。表6列出了不同方法计算得到的三重重子质量。本文的结果与其他工作相比较大,这不仅仅是因为束缚能跑动,还和袋模型本身的机制有关。我们发现$ M_{{\rm{org}}} $ 也大于表6中列出的其它工作的结果,这说明袋模型中某些效应可能未被充分研究。表 6 三重重子的质量计算结果与其它工作的比较(质量单位为GeV)
强子 $M_{{\rm{bag}}}$ $ M $[19] $ M $[20] $ M $[21] $ M $[22] $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.853 4.712 4.81 4.798 4.799 $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 8.132 7.984 8.02 8.004 8.019 $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 8.156 7.999 8.03 8.023 8.056 $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 11.407 11.198 11.22 11.200 11.217 $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 11.441 11.217 11.23 11.221 11.251 $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 14.679 14.468 14.43 14.396 14.398
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摘要: 最近,文献[
1 ]在MIT袋模型的基础上引入了一种强耦合常数跑动形式和重夸克束缚能,较好地计算了所有已确认的基态强子谱。考虑到束缚能的贡献之一为重夸克间的短程束缚作用,即色电相互作用,其跑动形式将会取代之前的拟合参数。此跑动形式为类库仑势,随着袋半径R变化,并且在质量公式中参与变分。结果表明,色电相互作用的引入同样会将基态强子质量计算误差控制在大致40 MeV以内,且与拟合参数的方法相比得到了较为准确的结果。这为重夸克色电相互作用的研究提供了参考依据。Abstract: Recently, Ref. [1 ] introduced a running form of strongly coupled constant and heavy quark binding energies for MIT bag model, and better calculated all confirmed ground state hadron spectra. Considering that one contribution of binding energy is short-range binding between heavy quark, that is, chromoelectric interaction, a running form will replace the previous fitting parameters. This running form is coulombic potential, which varies with the bag radius R and participates in the variation of mass formula. The results show that the introduction of the chromoelectric interaction will also control the mass error within the approximate 40 MeV, and obtain more accurate results compared with the method of fitting parameters. This provides a reference for the exploration of the chromoelectric interaction between heavy quarks.-
Key words:
- bag model /
- binding energy /
- chromoelectric interaction /
- hadron spectrum /
- doubly heavy baryon
-
图 1
$\bar{3}$ 颜色态下束缚能随着袋半径R变化趋势(在线彩图)文献[1]中五个束缚能参数为$B_{{\rm{cs}}}=-0.025\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{cc}}}= $$ -0.077\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{bs}}}=-0.032\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{bb}}}=-0.128\;{\rm{GeV}}$、$B_{{\rm{bc}}}= $$ -0.101\;{\rm{GeV}}$。
表 1 重味介子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $M_{{\rm{exp}}}$ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $r^{}_{{\rm{E}}}$ ${\rm{D}}_{{\rm{s}}}^{+}$ 3.74 1.959 1.961 1.968 − 0.46 ${\rm{B}}_{{\rm{s}}}^{0}$ 3.29 5.345 5.346 5.367 − 0.16 $\eta_{ {\rm{c} } }$ 3.03 2.995 3.002 2.984 − 0.00 ${\rm{B}}_{{\rm{c}}}^{+}$ 2.33 6.254 6.273 6.274 − 0.27 $\eta_{{\rm{b}}}$ 1.43 9.381 9.396 9.399 − 0.00 表 2 非色磁混合单重重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$ M^{}_{{\rm{bag}}} $ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $M_{{\rm{exp}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$ $\Omega_{{\rm{c}}}$ 4.91 2.682 2.680 2.695 −1.07 0.28 $\Omega_{{\rm{c}}}^{\ast}$ 5.08 2.767 2.764 2.766 −0.89 0.29 $\Omega_{{\rm{b}}}$ 4.74 6.085 6.080 6.046 −0.85 0.59 $\Omega_{{\rm{b}}}^{\ast}$ 4.82 6.117 6.112 − −1.43 0.60 表 3 非色磁混合双重重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果。其中$\varXi_{{\rm{cc}}}^{++}$ 的质量已有实验结果,为$ 3\;621.6\;{\rm{MeV}} $ 强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $r^{}_{ {\rm{E} } }$ $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{++}$ 4.39 3.609 3.604 0.13 0.77 $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{+}$ 0.91 0.45 $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast ++}$ 4.61 3.720 3.714 2.63 0.81 $\Xi_{ {\rm{cc} } }^{\ast +}$ 0.16 0.47 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{0}$ 3.63 10.342 10.311 −0.55 0.28 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{-}$ 0.10 0.44 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast 0}$ 3.80 10.392 10.360 1.19 0.29 $\Xi_{ {\rm{bb} } }^{\ast -}$ −0.85 0.46 $\Omega_{ {\rm{cc} } }$ 4.44 3.733 3.726 0.86 0.47 $\Omega_{ {\rm{cc} } }^{\ast}$ 4.64 3.828 3.820 0.33 0.49 $\Omega_{ {\rm{bb} } }$ 3.72 10.440 10.408 0.06 0.44 $\Omega_{ {\rm{bb} } }^{\ast}$ 3.86 10.485 10.451 −0.74 0.45 表 4 色磁混合重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$ M_{{\rm{bag}}} $ (GeV)、磁矩$ \mu^{}_{{\rm{bag}}} $ ($ \mu^{}_{N} $ )和电荷半径$ r^{}_{{\rm{E}}} $ (fm)计算结果。磁矩和电荷半径数据按同位旋第三分量$ I_{3}=\frac{1}{2}, \, -\frac{1}{2} $ 排列强子 本征矢 $ R_{0} $ $ M_{{\rm{bag}}} $ $ M_{{\rm{org}}} $ $ M_{{\rm{exp}}} $ $\mu^{}_{ {\rm{bag} } }$ $ r^{}_{{\rm{E}}} $ $\left(\Xi_{ {\rm{c} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{c} } }\right)$ (0.05, 1.00) 4.88 2.437 2.436 2.469 0.37, 0.50 0.63, 0.32 (−1.00, 0.05) 4.87 2.546 2.544 2.578 0.67, −1.20 0.62, 0.32 $\Xi_{ {\rm{c} } }^{\ast}$ 1.00 5.05 2.638 2.636 2.646 1.61, −1.10 0.65, 0.33 $\left(\Xi_{ {\rm{b} } }^{\prime}, \ \Xi_{ {\rm{b} } }\right)$ (0.01, 1.00) 4.62 5.807 5.805 5.794 −0.12, −0.08 0.29, 0.60 (−1.00, 0.01) 4.69 5.958 5.956 5.935 0.74, −0.97 0.30, 0.61 $\Xi_{ {\rm{b} } }^{\ast}$ 1.00 4.78 5.993 5.991 5.954 0.95, −1.60 0.31, 0.62 $\left(\Xi_{ {\rm{bc} } }, \ \Xi_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.39, 0.92) 4.17 7.028 7.015 $ \dots$ 1.46, −0.32 0.57, 0.19 (−0.92, 0.39) 4.04 6.966 6.953 $ \dots$ −0.20, 0.09 0.55, 0.18 $\Xi_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.26 7.058 7.044 $ \dots$ 1.92, −0.36 0.58, 0.20 $\left(\Omega_{bc}, \ \Omega_{ {\rm{bc} } }^{\prime}\right)$ (0.40, 0.92) 4.22 7.131 7.117 $ \dots$ −0.20 0.14 (−0.92, 0.40) 4.11 7.078 7.064 $ \dots$ 0.06 0.14 $\Omega_{ {\rm{bc} } }^{\ast}$ 1.000 4.30 7.158 7.143 $ \dots$ −0.21 0.15 表 5 三重重子的袋半径
$ R_{0} $ (GeV−1)、质量$M_{{\rm{bag}}}$ (GeV)、磁矩$\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ ($\mu^{}_{N}$ )和电荷半径$r^{}_{{\rm{E}}}$ (fm)计算结果强子 $ R_{0} $ $M_{{\rm{bag}}}$ $M_{{\rm{org}}}$ $\mu^{}_{{\rm{bag}}}$ $r^{}_{{\rm{E}}}$ $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.12 4.853 4.841 1.44 0.67 $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 3.59 8.132 8.112 0.65 0.42 $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 3.69 8.156 8.133 0.86 0.43 $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 2.96 11.407 11.373 −0.26 0.11 $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 3.11 11.441 11.402 0.28 0.11 $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 2.34 14.679 14.626 −0.25 0.26 表 6 三重重子的质量计算结果与其它工作的比较(质量单位为GeV)
强子 $M_{{\rm{bag}}}$ $ M $[19] $ M $[20] $ M $[21] $ M $[22] $\Omega_{{\rm{ccc}}}$ 4.853 4.712 4.81 4.798 4.799 $\Omega_{{\rm{ccb}}}$ 8.132 7.984 8.02 8.004 8.019 $\Omega_{{\rm{ccb}}}^{\ast}$ 8.156 7.999 8.03 8.023 8.056 $\Omega_{{\rm{cbb}}}$ 11.407 11.198 11.22 11.200 11.217 $\Omega_{{\rm{cbb}}}^{\ast}$ 11.441 11.217 11.23 11.221 11.251 $\Omega_{{\rm{bbb}}}$ 14.679 14.468 14.43 14.396 14.398 -
[1] ZHANG W X, XU H, JIA D. Phys Rev D, 2021, 104(11): 114011. doi: 10.1103/PhysRevD.104.114011 [2] AAIJ R, ADEVA B, ADINOLFI M, et al. Phys Rev Lett, 2017, 119(11): 112001. doi: 10.1103/PhysRevLett.119.112001 [3] CHEN H X, CHEN W, LIU X, et al. Rept Prog Phys, 2017, 80(7): 076201. doi: 10.1088/1361-6633/aa6420 [4] LIU Y R, CHEN H X, CHEN W, et al. Prog Part Nucl Phys, 2019, 107: 237. doi: 10.1016/j.ppnp.2019.04.003 [5] ALI A, LANGE J S, STONE S. Prog Part Nucl Phys, 2017, 97: 123. doi: 10.1016/j.ppnp.2017.08.003 [6] OLSEN S L, SKWARNICKI T, ZIEMINSKA D. Rev Mod Phys, 2018, 90(1): 015003. doi: 10.1103/RevModPhys.90.015003 [7] LUO S Q, CHEN K, LIU X, et al. Eur Phys J C, 2017, 77(10): 709. doi: 10.1140/epjc/s10052-017-5297-4 [8] KARLINER M, ROSNER J L. Phys Rev D, 2014, 90(9): 094007. doi: 10.1103/PhysRevD.90.094007 [9] KARLINER M, KEREN-ZUR B, LIPKIN H J, et al. Annals Phys, 2009, 324: 2. doi: 10.1016/j.aop.2008.05.003 [10] KARLINER M, LIPKIN H J. Phys Lett B, 2006, 638: 221. doi: 10.1016/j.physletb.2006.05.032 [11] KARLINER M, NUSSINOV S. JHEP, 2013, 07: 153. doi: 10.1007/JHEP07(2013)153 [12] CHEN H X, CHEN W, LIU X, et al. arXiv: 2204.02649, 2022. [13] JOHNSON K. Acta Phys Polon B, 1975, 6: 865. [14] DEGRAND T A, JAFFE R L, JOHNSON K, et al. Phys Rev D, 1975, 12: 2060. doi: 10.1103/PhysRevD.12.2060 [15] CHODOS A, JAFFE R L, JOHNSON K, et al. Phys Rev D, 1974, 10: 2599. doi: 10.1103/PhysRevD.10.2599 [16] WANG G J, CHEN R, MA L, et al. Phys Rev D, 2016, 94(9): 094018. doi: 10.1103/PhysRevD.94.094018 [17] BERNOTAS A, SIMONIS V. arXiv: 1209.2900, 2012. [18] EBERT D, FAUSTOV R N, GALKIN V O, et al. Phys Rev D, 2004, 70: 014018. doi: 10.1103/PhysRevD.70.014018 [19] FAUSTOV R N, GALKIN V O. Phys Rev D, 2022, 105(1): 014013. doi: 10.1103/PhysRevD.105.014013 [20] WANG Z G. AAPPS Bull, 2021, 31: 5. doi: 10.1007/s43673-021-00006-3 [21] YANG G, PING J, ORTEGA P G, et al. Chin Phys C, 2020, 44(2): 023102. doi: 10.1088/1674-1137/44/2/023102 [22] SILVESTRE-BRAC B. Few Body Syst, 1996, 20: 1. doi: 10.1007/s006010050028