-
Skyrme相互作用在坐标表象中的表达形式为[38, 56-58]:
$$ \begin{split} {V_{12}} = &{t_0}(1 + {x_0}{P_\sigma })\delta ({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2}) + \\ &\frac{1}{2}{t_1}(1 + {x_1}{P_\sigma })[\delta ({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2}){{\boldsymbol{k}}^{'2}} + \delta ({r_1} - {{\boldsymbol{r}}_2}){{\boldsymbol{k}}^2}] + \\ &\frac{1}{2}{t_2}(1 + {x_2}{P_\sigma })\delta ({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2}){{\boldsymbol{k}}'} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{k} + \\ &\frac{1}{6}{t_3}(1 + {x_3}{P_\sigma })\delta ({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2}){P^\sigma }\left( {\frac{1}{2}({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2})} \right) + \\ & {\rm{i}} {W_0}\delta ({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2})({\sigma _1} + {\sigma _2}) \cdot {{\boldsymbol{k}}'} \times {\boldsymbol{k}}. \end{split} , $$ (1) 其中:t0, t1, t2, t3, x0, x1, x2, x3,W0和α为自由参数。t0项描述一个带有自旋交换算符的纯δ力,t1和t2项反映相互作用的动量依赖性,于是,相互作用是有限力程的,而不是零力程的,t3表示三体相互作用强度,最后一项为自旋-轨道耦合项。这些参数通常由拟合有限核的结合能、电荷均方根半径、自旋-轨道劈裂等实验数据和核物质饱和点的性质得到。
$ {P_\sigma } $ 为自旋交换算符,k是两核子之间的相对动量算符,在坐标表象中为$$ {\boldsymbol{k}} = \frac{1}{{2{\rm{i}}}}({\nabla _1} - {\nabla _2}),\;{{\boldsymbol{k}}'} = - \frac{1}{{2{\rm{i}}}}({\nabla _1} - {\nabla _2}), $$ (2) 前者作用在右边,后者作用在左边。
在粒子-粒子道中,采用密度依赖的
$ \delta $ 配对相互作用[38, 56-57]:$$ V({r_1},{r_2}) = {V_0}\left[ {1 - \eta {{\left( {\frac{\rho }{{{\rho _0}}}} \right)}^\gamma }} \right]\delta ({r_1} - {r_2}), $$ (3) 其中:
$ {V_0} $ 是中子之间或质子之间的配对强度,一般由原子核的奇偶质量差的实验数据来确定;$ \rho $ 是总核子密度;$ {\rho _0} $ 是饱和密度,取固定值0.16 fm−3;在本工作的计算中,γ = 1。根据$ \eta $ 的选择不同,可以得到不同的对力。η = 0.0, 0.5和1.0分别对应着体积、混合和表面对力。在SHFB理论框架下,原子核的总能量为[38, 56-58]:
$$ \begin{split} E =& K + {E_{{\rm{Skyrme}}}} + {E_{{\rm{Coul}}}} + {E_{{\rm{pair}}}} \\[1.5pt] =& \int {{{\text{d}}^3}{\boldsymbol{r}}\big[k({\boldsymbol{r}}) + {\varepsilon _{{\rm{Skyrme}}}}({\boldsymbol{r}}) + {\varepsilon _{{\rm{Coul}}}}({\boldsymbol{r}}) + {\varepsilon _{{\text{Pair}}}}({\boldsymbol{r}})\big]} ,\\ \\[-10pt] \end{split} $$ (4) 其中:K,ESkyrrme,ECoul和Epair分别为原子核的动能、Skyrme能量、库仑能和对能。而k,εSkyrme,εcoul和εpair 是上述各物理量对应的能量密度。
因此,能量密度泛函HTotal(r)可以写成[38, 56-58]:
$$ {H}_{\rm Total}(r) = H(r)+\tilde {H}(r), $$ (5) 其中
$ H(r) $ 为式(4)中前三项能量密度之和,其形式为:$$ \begin{split} H(r) = & \frac{{{\hbar ^2}}}{{2m}}\tau + \frac{1}{2}{t_0}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_0}} \right){\rho ^2} - \left( {\frac{1}{2} + {x_0}} \right)\sum\limits_q {\rho _q^2} } \right] + \\ & \frac{1}{2}{t_1} \left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_1}} \right)\rho \left( {\tau - \frac{3}{4}\Delta \rho } \right) - \left( {\frac{1}{2} + {x_1}} \right)\sum\limits_q {{\rho _q}} \left( {{\tau _q} - \frac{3}{4}\Delta {\rho _q}} \right)} \right] + \\ & \frac{1}{2}{t_2} \left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_2}} \right)\rho \left( {\tau + \frac{1}{4}\Delta \rho } \right) - \left( {\frac{1}{2} + {x_2}} \right)\sum\limits_q {{\rho _q}} \left( {{\tau _q} + \frac{1}{4}\Delta {\rho _q}} \right)} \right] + \\ & \frac{1}{{12}}{t_3}{\rho ^\alpha }\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_3}} \right){\rho ^2} - \left( {\frac{1}{2} + {x_3}} \right)\sum\limits_q {\rho _q^2} } \right] - \\ & \frac{1}{8}({t_1}{x_1} + {t_2}{x_2})\sum\limits_{ij} {J_{ij}^2} + \frac{1}{8}({t_1} - {t_2})\sum\limits_{q,\,ij} {J_{q,\,ij}^2} -\\ & \frac{1}{2}{W_0}\sum\limits_{ijk} {{\varepsilon _{ijk}}\left[ {\rho {\nabla _k}{J_{ij}} + \sum\limits_q {{\rho _q}} {\nabla _k}{J_{q,\,ij}}} \right]} + \\ & \frac{{{e^2}}}{2}{\rho _q}\int {\frac{{{\rho _q}({r'})}}{{\left| {r - {r'}} \right|}}} {\text{d}}{r'} - \frac{{3{e^2}}}{4}{\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^{1/3}}\rho _q^{4/3} 。\\[-13pt] \end{split} $$ (6) $ \tilde H (r) $ 为对能密度泛函,其形式为$$ \tilde H (r) = {V_0}\left[ {1 - \eta {{\left( {\frac{\rho }{{{\rho _0}}}} \right)}^\gamma }} \right]\sum\limits_q { {\tilde \rho _q^2} } 。 $$ (7) $$ \begin{split} & \sum\limits_{{\sigma '}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {h(r,\sigma ,{\sigma'})}&{ \tilde h (r,\sigma ,{\sigma '})} \\ {\tilde h (r,\sigma ,{\sigma '})}&{ - h(r,\sigma ,{\sigma '})} \end{array}} \right)} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {U(E,r,{\sigma '})} \\ {V(E,r,{\sigma '})} \end{array}} \right) =\\[1.5pt] &\qquad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {E + \lambda }&0 \\ 0&{E - \lambda } \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {U(E,r\sigma )} \\ {V(E,r\sigma )} \end{array}} \right) \text{,} \end{split} $$ (8) 其中:局域场
$ h(r,\sigma ,{\sigma '}) $ 和$\tilde h (r,\sigma ,{\sigma '}) $ 在坐标空间中的具体表达式为$$\begin{split} {h_q}(r,\sigma ,{\sigma '}) \,=& - \nabla {M_q}\nabla + {U_q} + \\ &\frac{1}{{2i}}\sum\limits_{ij} {({\nabla _i}} {\sigma _j}{B_{q,\,ij}} + {B_{q,\,ij}}{\nabla _i}{\sigma _j}), \end{split} $$ (9) $$ \tilde h (r,\sigma ,{\sigma '}) = {V_0}\Big[1 - \eta {\Big(\frac{\rho }{{{\rho _0}}}\Big)^\gamma }\Big]{ \tilde \rho _q}。 $$ (10) 在式(9)和(10)中,有效质量
$ {M_q} $ 、自旋-轨道耦合场$ {B_{q,ij}} $ 和平均场$ {U_q} $ 的形式为$$\begin{split} {M_q} = &\frac{{{\hbar ^2}}}{{2m}} + \frac{{{t_1}}}{4}\left[ {\left( {1 + \frac{{{x_1}}}{2}} \right)\rho - \left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right){\rho _q}} \right] +\\ &\frac{{{t_2}}}{4}\left[ {\left( {1 + \frac{{{x_2}}}{2}} \right)\rho - \left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right){\rho _q}} \right],\end{split} $$ (11) $$\begin{split} {B_{q,\,ij}} =& - \frac{1}{4}({t_1}{x_1} + {t_2}{x_2}){J_{ij}} + \frac{1}{4}({t_1} - {t_2}){J_{q,\,ij}} + \\ & \frac{1}{2}{W_0} \sum\limits_{ijk} {{\varepsilon _{ijk}}} {\nabla _k}(\rho + {\rho _q}), \end{split} $$ (12) $$ \begin{split} {U_q} =& {t_0}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_0}} \right)\rho - \left( {{x_0} + \frac{1}{2}} \right){\rho _q}} \right] + \\[4.7pt] &\frac{1}{4}{t_1}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_1}} \right)\left( {\tau - \frac{3}{2}\Delta \rho } \right) - \left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right)\left( {{\tau _q} - \frac{3}{2}\Delta {\rho _q}} \right)} \right] + \\ &\frac{1}{4}{t_2}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_2}} \right)\left( {\tau + \frac{1}{2}\Delta \rho } \right) + \left( {{x_2} + \frac{1}{2}} \right)\left( {{\tau _q} + \frac{1}{2}\Delta {\rho _q}} \right)} \right] + \\[4.7pt] &\frac{1}{{12}}{t_3}{\rho ^\alpha }\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2}{x_3}} \right)(2 + \alpha )\rho - \left( {{x_3} + \frac{1}{2}} \right)\left( {2{\rho _q} + \frac{\alpha }{\rho }\sum\limits_{{q'}} {\rho _{{q'}}^2} } \right)} \right] - \\[4.7pt] &\frac{{\gamma {V_0}\eta }}{{2\rho }}{\left( {\frac{\rho }{{{\rho _0}}}} \right)^\gamma }\sum\limits_q {{\tilde \rho _q^2} } - \frac{1}{2}{W_0}\sum\limits_{ijk} {{\varepsilon _{ijk}}{\nabla _k}} [{J_{ij}} + {J_{q,\,ij}}]。\\[-19pt] \end{split} $$ (13) 求解式(8)可得到原子核的结合能、半径、形变、准粒子能量等基态性质。另外,用约束形变的方法可以得到不同形变下的原子核的能量(结合能),即位能面。若仅考虑四极形变,在计算原子核的位能面时,形变约束条件采用如下形式[56]:
$$ {E^Q} = {C_Q}{\left( {\left\langle {\hat Q } \right\rangle - \bar Q} \right)^2}, $$ (14) 这里:
$\bar Q$ 为质量四极矩的约束值;$ {C_Q} $ 为强度系数;$\left\langle {\hat Q } \right\rangle$ 为质量四极矩算符的平均值,质量四极矩算符在柱坐标中的表达式为$$ \hat Q = 2{{\textit{z}}^2} - {r^2} 。 $$ (15) 为了求解SHFB方程,人们编写了多种版本的计算程序,如HFBTHO[38, 56]和HFODD[57]。本研究工作采用的是HFBTHO(V1.66p)计算程序[56]。
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在本工作中,利用SLy4相互作用参数研究296Og的基态性质[59]。在具体的计算过程中,选取20个谐振子壳层,利用谐振子基展开的办法求解方程(8),从而可以得到本征波函数和本征能量。为了避免粒子数不守恒,在Lipkin-Nogami方法的基础之上,做了精确的粒子数投影(在变分之后再投影)。方程(3)中的对力强度V0是可以调的,它的大小通过120Sn的经验中子对能隙1.31 MeV来确定[44-45]。具体的做法是,连续改变V0的大小,计算120Sn的中子对能隙,当程序输出的对能隙恰好等于1.31 MeV时,便可以把V0的值确定下来。通过计算,确定出了体积、混合和表面对力下的V0值,分别是−225.19, −345.82和−596.04 MeV·fm3。由这三个V0的值可知,表面对力最强,混合对力次之,体积对力最弱。在计算过程中,对力窗口截断能量取60 MeV。在上述条件下,本工作所有的计算结果均收敛。
图1为利用体积、混合和表面对力计算得到的296Og的位能面。从图1可以看出,体积和混合对力预言的296Og的基态形状接近于球形,而表面对力预言的296Og的基态形状为扁椭球(四极形变参数β2 ≈ −0.1),且具有明显的扁椭球和长椭球(β2 ≈ 0.1)的形状共存。同时,还发现三种对力预言的位能面在β2 = 0.5处均有极小值,表明此处存在该原子核的超形变。随着对力的不断增强,超形变处的结合能在不断增加,且表面对力对超形变态的结合能影响最为明显。此外,还计算了在三种对力下超形变态的位阱深度ΔE(外垒能量与超形变态能量之差)和激发能E*(超形变态与基态之间的能量差),如表1所列。从表1中可看出,随着对力的不断增强,ΔE和E*都在不断减小,且表面对力使ΔE和E*变得更小。由于SHFB方程同时包含平均场和对力场[38, 56-58],所以,对力不同,得到的准粒子能量和位能面就不同。
表 1 在三种对力情况下,296Og超形变态的位阱深度ΔE和激发能E*
ΔE /MeV E* /MeV 体积对力 3.43 2.00 混合对力 3.18 1.26 表面对力 2.75 0.15 为了考察N=178是否为幻数,图2给出了在体积、混合和表面对力下不同极值点的正则基下的单中子能谱。单中子能谱用符号2Ωπ [N, nz, m]来表示。Ωπ为总角动量在z轴上的投影量子数和宇称,N为谐振子的主量子数,nz为z轴上的量子数,m为轨道角动量l在z轴上的投影量子数,前置系数2是考虑到能级的二重简并。从图2可以看到,体积和混合对力预言的单中子谱比较接近,而表面对力预言的单中子能谱却与前两种对力预言的差别很大。而且,对于任何一种对力,无论是基态、亚稳态还是超形变态,N = 178处均不是最宽的能隙,表明N = 178在这些状态下可能不是幻数。
为了进一步检验N = 178是否为幻数,我们给出了在三种对力下Z = 118同位素链上原子核在基态和超形变态下的双中子分离能S2n随中子数N的演化情况,如图3所示。从图3可以看到,表面对力对S2n的影响最明显。不管296Og处于哪种状态,任何对力预言的S2n在N = 178处均没有“突变”,表明178不是中子幻数。不过需要说明的是,若采用其它Skyrme相互作用参数,则计算结果很可能会发生变化。因此,178是否为中子幻数有待将来的实验检验。
α衰变是超重核最主要的衰变模式之一[1-9]。通常人们只关心从母核基态到子核基态的α衰变。296Og 经α衰变后的子核为292Lv。图4给出了在体积、混合和表面三种对力下292Lv的位能面。从图1和图4中可以看到,除基态外,这两个核都存在亚稳态和超形变态。所以可以推测,当母核发生α衰变时,可以从基态、亚稳态和超形变态跃迁到子核的各个状态。这样,就会形成多个分支的α衰变,如图5所示。在图5中,1, 2和3分别表示原子核处于扁椭球、长椭球和超形变三种状态。若母核和子核都存在这三种状态,母核和子核之间的α衰变会有9种可能的途径。按照图5的物理含义,计算了在三种对力情况下,296Og的基态或亚稳态跃迁到子核292Lv的α衰变能Qα,如表2所列。从表2中可以看到,在体积和混合对力情况下,不同类型跃迁的Qα值不同。但在表面对力情况下,不同类型跃迁的Qα值却比较接近。另外,从表2还可以看到,对于同一类跃迁,如状态1衰变到状态3,不同对力对Qα值有一定影响。
表 2 在三种对力情况下,从296Og的基态、亚稳态和超形变态跃迁到子核292Lv的 α 衰变能和半衰期
衰变能与半衰期 体积对力 混合对力 表面对力 Qα1→1 /MeV 11.02 11.18 10.91 Qα1→2/MeV 10.57 10.71 11.04 Qα1→3/MeV 9.28 10.08 11.00 Qα2→1/MeV 13.02 12.40 11.26 Qα2→2/MeV 12.58 11.97 11.38 Qα2→3/MeV 11.28 11.34 11.35 Qα3→1/MeV − − 11.42 Qα3→2/MeV − − 11.54 Qα3→3/MeV − − 11.5 $ \log T_{1/2}^{1 \to 1} $/s −1.22 −1.61 −0.97 $ \log T_{1/2}^{1 \to 2} $/s −0.10 −0.46 −1.27 $ \log T_{1/2}^{1 \to 3} $/s 3.67 1.25 −1.17 $ \log T_{1/2}^{2 \to 1} $/s −5.52 −4.39 −1.82 $ \log T_{1/2}^{2 \to 2} $/s −4.67 −3.42 −2.10 $ \log T_{1/2}^{2 \to 3} $/s −1.86 −1.99 −2.01 $ \log T_{1/2}^{3 \to 1} $/s − − −2.18 $ \log T_{1/2}^{3 \to 2} $/s − − −2.46 $ \log T_{1/2}^{3 \to 3} $/s − − −2.37 为了有助于将来实验上寻找在各个状态下296Og的α衰变,有必要预言它们的半衰期。众所周知,α衰变本质上是量子位垒的穿透过程。在这个图像的基础上,人们发展了多种描述α衰变的模型[34-36, 60-66]。这些模型不同精度地再现了α衰变半衰期的实验数据,并对超重核α衰变的半衰期做出了理论预言[34-36, 60-66]。最近,我们在考虑精确的电荷半径、包含核结构信息的碰撞频率、α粒子带走的轨道角动量和同位旋等物理因素的基础上,提出了一个高精度的计算α衰变半衰期的经验公式[67]:
$$ \begin{split} {\log _{10}}{T_{1/2}} = & a - b{\log _{10}}Q_\alpha ^{1/2} - c{\log _{10}}{R_{\rm{p}}} - d{\log _{10}}P +\\ &e\frac{{l(l + 1)}}{{\sqrt {({A_{\rm{p}}} - 4)({Z_{\rm{p}}} - 2)A_{\rm{p}}^{ - 2/3}} }} + fI + g{I^2}, \end{split} $$ (16) 其中:
$ a $ ,$ b $ ,$ c $ ,$ d $ ,$ e $ ,$ f $ 和$ g $ 为参数,由拟合515个从母核基态到子核基态的α衰变的实验数据得到。$I = (N - Z)/A$ 表示同位旋,l为在衰变过程中α粒子带走的轨道角动量。穿透概率
$ P $ 的表达式如下:$$ - {\log _{10}}P = {({\mu _{\rm{A}}}{Z_{\rm{d}}}{Z_\alpha }{R_{\rm{b}}})^{1/2}} \times \left[\arccos \sqrt r - \sqrt {r(1 - r)} \right] 。 $$ (17) 其中
$r = {R_{{\rm{in}}}}/{R_{{\rm{out}}}}$ ,即为入射点${R_{{\rm{in}}}}$ 与出射点${R_{{\rm{out}}}}$ 的比值。入射点${R_{{\rm{in}}}} = {R_{\rm{d}}} + {R_{\alpha} }$ ,${R_{\rm{d}}}$ 为子核的电荷半径,${R_{\alpha} }$ 为$ \alpha $ 粒子的电荷半径,${R_{\alpha} } = 1.675\,5\;$ fm。出射点${R_{{\rm{out}}}}$ 的形式为$$ {R_{{\rm{out}}}} = \frac{{{Z_{\rm{d}}}{Z_{\alpha} }{e^2}}}{{2{Q_{\alpha} }}} + \sqrt {{{\left(\frac{{{Z_{\rm{d}}}{Z_{\alpha} }{e^2}}}{{2{Q_{\alpha} }}}\right)}^2} + \frac{{l(l + 1){\hbar ^2}}}{{2{\mu _{\rm{A}}}{Q_{\alpha} }}}} \text{。} $$ (18) 式(16)中的
$ {R_{\rm{p}}} $ 为母核的电荷半径,母核和子核的电荷半径由下式计算得到:$$ {R_{{\rm{p}}({\rm{d}})}} = {r_0}\left(1 - {r_1}\frac{{{N_{{\rm{p}}({\rm{d}})}} - {Z_{\rm{p}\rm{(d)}}}}}{{{Z_{{\rm{p}}({\rm{d}})}}}} + {r_2}\frac{1}{{{Z_{{\rm{p}}({\rm{d}})}}}}\right){Z_{{\rm{p}}({\rm{d}})}}^{1/3}, $$ (19) 其中
$ {r_0} $ ,$ {r_1} $ 和$ {r_2} $ 为拟合常数,取自参考文献[68]。将各种不同对力和各种不同跃迁类型的Qα值输入到式(16)中,计算了各个对应的α衰变的半衰期,为将来在实验上寻找这些α衰变提供理论参考。从表2可以看到,不同类型的对力引起的Qα值的变化,如从状态1衰变到状态3的Qα值的变化,会引起半衰期的数量级改变。
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摘要: 在变形的Skyrme-Hartree-Fock-Bogoliubov(SHFB)理论框架下,利用SLy4相互作用研究体积、表面和混合对力对超重核296Og基态性质,如位能面、单粒子能谱、双中子分离能及α衰变能的影响。研究表明:1) 体积和混合对力预言的296Og的基态形状接近于球形,而表面对力预言其有着明显的形状共存;2) 三种对力预言296Og都具有超形变,对力对超形变态的结合能、位阱深度和激发能有着一定的影响,且表面对力的影响最大;3) 对力对296Og的壳结构、双中子分离能、α衰变能和α衰变半衰期有着一定的影响。同样地,表面对力的影响也最明显。而且,由对力引起的α衰变能的变化,有时会导致α衰变半衰期的数量级发生改变。Abstract: The nuclear ground state properties of the superheavy nucleus 296Og, such as the potential energy surface, single-particle energy spectrum, two-neutron separation energy and α-decay energy, are studied with the volume, surface and mixed pairings based on the SLy4 interaction in the framework of the deformed Skyrme-Hartree-Fock-Bogoliubov(SHFB) theory. It is found that 1) The ground state shape of 296Og is nearly spherical with the volume and mixed pairings. However, the shape coexistence of 296Og is predicted with the surface pairing. 2) The super-deformed states are predicted by all of the three kinds of pairings. The binding energy, potential well depth and excitation energy of the super-deformed states are influenced by the pairings. At the same time, the surface pairing effect on the properties of the super-deformed states is the most evident. 3) The pairings have certain influence on the shell structure, two-neutron separation energy, α-decay energy and α-decay half-life of 296Og and the impact from the surface pairing is the strongest. Moreover, the order of magnitude of α-decay half-life is varied occasionally owing to the change of the α-decay energy caused by the pairings.
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Key words:
- deformed SHFB theory /
- pairing correlation /
- potential energy surface /
- magic number /
- α-decay
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表 1 在三种对力情况下,296Og超形变态的位阱深度ΔE和激发能E*
ΔE /MeV E* /MeV 体积对力 3.43 2.00 混合对力 3.18 1.26 表面对力 2.75 0.15 表 2 在三种对力情况下,从296Og的基态、亚稳态和超形变态跃迁到子核292Lv的 α 衰变能和半衰期
衰变能与半衰期 体积对力 混合对力 表面对力 Qα1→1 /MeV 11.02 11.18 10.91 Qα1→2/MeV 10.57 10.71 11.04 Qα1→3/MeV 9.28 10.08 11.00 Qα2→1/MeV 13.02 12.40 11.26 Qα2→2/MeV 12.58 11.97 11.38 Qα2→3/MeV 11.28 11.34 11.35 Qα3→1/MeV − − 11.42 Qα3→2/MeV − − 11.54 Qα3→3/MeV − − 11.5 $ \log T_{1/2}^{1 \to 1} $/s −1.22 −1.61 −0.97 $ \log T_{1/2}^{1 \to 2} $/s −0.10 −0.46 −1.27 $ \log T_{1/2}^{1 \to 3} $/s 3.67 1.25 −1.17 $ \log T_{1/2}^{2 \to 1} $/s −5.52 −4.39 −1.82 $ \log T_{1/2}^{2 \to 2} $/s −4.67 −3.42 −2.10 $ \log T_{1/2}^{2 \to 3} $/s −1.86 −1.99 −2.01 $ \log T_{1/2}^{3 \to 1} $/s − − −2.18 $ \log T_{1/2}^{3 \to 2} $/s − − −2.46 $ \log T_{1/2}^{3 \to 3} $/s − − −2.37 -
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