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在本工作中, 我们将注意力集中在一些偶-偶Os和Pt核的三轴自由度上,特别是三轴形变参量
$ \gamma $ 的软度上。我们将用对力−形变−转动频率自洽的推转壳模型计算一些核转晕带的总Routhian面和转动惯量[16-17]。TRS计算中, 单粒子能量由非轴对称形变的Woods-Saxon(WS)势获得[18],计算过程中使用的WS势参数[19, 20]为:(a) 半径参数:r0(p) = r0(n) = r0-so(p) = r0-so(n) = 1.190 fm;(b) 中心势阱参数:V0 = 53.754 MeV,κ = 0.791;(c) 自旋-轨道耦合强度参数:λ(p) = λ(n) = 29.494;(d) 表面弥散参数:a0(p) = a0(n) = a0-so(p) = a0-so(n) = 0.637 fm。用Lipkin-Nogami(LN)方法处理对关联[21],这避免了在更加简单的BCS方法中遇到的假配对相变。单极对力强度参数$ {G^0} $ 由平均能隙方法确定[22]。一个组态的总能量包括宏观部分(由标准液滴模型得到[23])以及微观部分(来自于Strutinsky壳修正[24],$ \delta {E_{{\text{shell}}}} = {E_{{\text{LN}}}} - {\tilde E_{{\text{Strut}}}} $ )。计算在四极形变($ {\beta _2} $ ,$ \gamma $ )的网格上进行而十六极形变$ {\beta _4} $ 可变。对一个给定的转动频率ω,对关联由在形变网格的任一给定的点上解推转LN方程自洽地处理(即前面提到的“对力-形变-转动频率自洽”推转壳模型), 然后平衡形变由最小化获得的TRS确定(具体细节参见文献[16-17])。四极对力在双拉伸的坐标空间[25]对能量的效应可忽略,但是被包括进来(其强度由定域伽利略不变性的恢复决定),因为它对集体角动量有重要影响[17]。总集体角动量计算如下:$$ {I_x} = \sum\limits_{\alpha ,\;\beta > 0} {\left\langle {\beta \left| {{{\hat j}_x}} \right|\alpha } \right\rangle {\rho _{\alpha \beta }}} + \sum\limits_{\alpha ,\;\beta > 0} {\left\langle {\tilde {\beta} \left| {{{\hat j}_x}} \right|\tilde \alpha } \right\rangle {\rho _{\tilde \alpha \tilde{ \beta }}}} , $$ (1) 这里
$ \rho $ 是推转LN模型的密度矩阵在旋称基中的表示, 明确地由$ \alpha $ ,$ \beta $ 表示($ \tilde \alpha $ ,$ \tilde {\beta} $ 是与$ \alpha $ ,$ \beta $ 相对的旋称)[16]。转动惯量由$ {\Im ^{(1)}} = {I_x}/\omega $ 获得,这里$ \omega $ 是转动频率。在本工作中我们将主要讨论偶−偶Os和Pt同位素链的四极形变,特别是在这些核中的三轴形变自由度。对实例190Pt的总Routhian面(TRS)计算结果如图2所示,图中采用极坐标平面(
$ {\beta _2} $ ,$ \gamma $ )。在各个网格点,总Routhian对十六极形变$ {\beta _4} $ 最小化。长椭球(扁椭球)形状对应于三轴形变参数$ \gamma $ = 0°(−60°)。相邻等位线间隔200 keV。图 2 对190Pt的正宇称态在给定转动频率
$ \hbar \omega $ = 0.15 MeV (a)、$ \hbar \omega $ = 0.25 MeV (b)、$ \hbar \omega $ = 0.35 MeV (c)和0.45 MeV (d)下计算得到的总Routhian面,其对应于自旋$ I \sim (3.5 - 40)\hbar $ TRS计算所得176-202Os基态的形变参量
$ {\beta _2} $ 和$ \gamma $ 如表1所列。从176Os到194Os基本上是轴对称的核,196Os为偏离轴对称较大的核,198Os和200Os为扁椭球核,而202Os基本为球形核,是因为其中子数为126(幻数);另一方面,从176Os到202Os,轴对称四极形变参数$ {\beta _2} $ 在逐渐减小,直至202Os接近球形。而Fossion等[26]的工作指出在188-200Os链中能看到从长椭球向扁椭球形状的转变,在188-192Os中长椭球极小值比扁椭球极小值低,但是相反情况发生在194,196Os,在196Os中TRS已经是相当平了,发展到200Os中的振动形状[26]。作为比较,Möller和Nix的编评参数$ {\beta _2} $ [27]也列在表1中。$ {\beta _2} $ 和${\beta _4}$ 的定义见文献[27]的式(37)。表 1 通过类Hartree-Fock-Bogoliubov形状计算最小化得到的176-202Os基态四极形变参数
${\beta _2} $ 和$\gamma $ (最后一列列出了Möller和Nix(MN)编评的轴对称四极形变参数${\beta _2} $ [27])核素 $ {\beta _2}({\text{TRS}}) $ $ \gamma ({\text{TRS}}) $ ${\beta _2} $(MN) 176Os 0.239 −0.019° 0.246 178Os 0.236 −1.059° 0.247 180Os 0.223 −1.567° 0.238 182Os 0.219 −1.506° 0.239 184Os 0.208 0.000° 0.229 186Os 0.194 0.000° 0.220 188Os 0.179 −3.290° 0.192 190Os 0.163 −4.442° 0.164 192Os 0.147 0.000° 0.155 194Os 0.129 0.085° 0.145 196Os 0.117 −26.379° −0.156 198Os 0.101 −60.000° −0.096 200Os 0.068 −60.000° −0.061 202Os 0.002 0.000° 0.008 在现在的工作中,对铂同位素182-204Pt基态TRS计算结果如表2所示,可以看到从184Pt适度三轴形变
$ \gamma $ = −12.381°的长椭球形状、到190Pt的三轴形变$ \gamma $ = −30.431°(是接近最大的三轴形变$ \gamma $ = −30°)、 到198Pt非常小的三轴形变$ \gamma $ = −57.262°、到最后的200, 202Pt的扁椭球(对那些非转动态,TRS对于$ \gamma $ = 0°和−60°是对称的, 因此当转动频率$ \omega $ = 0,即核处于静态,$\gamma \ $ = −30°(−120°)等价于$ \gamma \ $ = 30°(0°),即最大的三轴(长椭球)形状),所以在这些同位素中,计算得出$\gamma $ 随中子数增加比较光滑的变化,即与上面的Os同位素不同的是,从182Pt的长椭球逐渐变到202Pt的扁椭球,而204Pt基本为球形核,是因为其中子数为126(幻数);另一方面,与上面的Os同位素相似,从182Pt到204Pt,轴对称四极形变参数$ {\beta _2} $ 在逐渐减小,直至204Pt接近球形。同时我们注意到,总Routhian面(TRS)计算显示188-194Pt基态有显著的(有效的)三轴形变。 这个情况在核基态是非常罕见的,但经常发生在高自旋激发态。在往年,对高自旋态对轴对称的可能偏离被广泛地讨论过(文献[28]及其参考文献),然而,较少注意到核基态的非轴对称性, 故早先的结果是非常稀少的[2]。文献中有一些暗示: 非轴对称一般是动态的,即核要在基态牢固地建立起刚性三轴形变几乎很难(参见文献[29-30]及其参考文献)。为比较,从采用激光光谱的同位素移动(IS)测量提取出的$ {\beta _2} $ 实验值[31]和Möller和Nix的编评参数$ {\beta _2} $ [27]也列在表2中。表 2 通过类Hartree-Fock-Bogoliubov形状计算最小化得到的182-204Pt基态四级形变参数
$ {\beta _2} $ 和$\gamma $ (表中还列出了使用激光光谱的同位素位移(IS)测量提取的${\beta _2} $ 实验值[31],最后一列列出了Möller和Nix(MN)编评的轴对称四极形变参数${\beta _2} $ [27])核素 $ {\beta _2}({\text{TRS}}) $ $\gamma ({\text{TRS} })$ $ \left| {{\beta _2}({\text{IS}})} \right| $ $ {\beta _2}({\text{MN}}) $ 182Pt 0.254 0.000° 0.255 184Pt 0.231 −12.381° 0.210(1) 0.247 186Pt 0.212 −13.752° 0.200(1) 0.239 188Pt 0.166 −25.527° 0.180(1) −0.164 190Pt 0.157 −30.431° 0.160(1) −0.156 192Pt 0.151 −33.045° 0.150(1) −0.156 194Pt 0.141 −35.672° 0.143(3) −0.148 196Pt 0.131 −53.464° 0.130(1) −0.139 198Pt 0.115 −57.262° 0.120(1) −0.139 200Pt 0.094 −60.000° −0.087 202Pt 0.049 −60.000° −0.061 204Pt 0.001 0.000° 0.008 我们的计算得出的形状与文献[27, 31]符合。在铂同位素情况下,Fossion等[26]的TRS计算展示了在186Pt(长椭球)与188Pt(扁椭球)之间从长椭球向扁椭球形状的转变。在184-192Pt中出现两个极小值,在184, 186Pt中长椭球的极小值比扁椭球极小值低, 相反情况发生在188-192Pt中。194Pt以上的同位素其TRS变平,发展到振动形状, 直到202Pt[26]。
总Routhian面计算显示196Os和188-194Pt基态具有明显的三轴形变,为了确定这些核的三轴形变是软性的(动态的)还是刚性的(静态的),我们在对力-形变-转动频率自洽推转壳模型框架下对其中的196Os和190Pt核进行了讨论,即把从推转壳模型算出的运动学转动惯量(也叫第一类转动惯量)
${\Im ^{(1)}} $ 与对应的从实验测到的能级能量提取出的运动学转动惯量作比较,如图3所示,发现理论计算值与实验值存在明显差异,总Routhian面计算基于推转壳模型,其只考虑转动,没有考虑振动,理论计算值与实验值的明显差异说明196Os和190Pt有振动行为,这与用对力-形变-转动频率自洽推转壳模型对74Ge和74Se的计算所得结果相同,参见文献[32]的图4。然而核基态
$\gamma $ 形变的大小在实验中不能很直接地测量。所以最后作为补充,我们尝试使用以下简单公式计算三轴形变参量$\gamma $ :$$ {E_{1,\,2}}({I^\pi } = {2^ + }) = \frac{{{\hbar ^2}}}{{{\Im _0}}}\frac{9}{{{{\sin }^2}3\gamma }}\left[ {\left. {1 \pm \sqrt {1 - \frac{8}{9}{{\sin }^2}3\gamma } } \;\right]} \right. , $$ (2) 这是Bohr哈密顿量对软性三轴形变核的解析结果[33-34],核188Pt的
$\gamma $ 值由比率$ \frac{{{E_2}({2^ + })}}{{{E_1}({2^ + })}} $ 给出是−25.857°(需要指出的是这里的$\gamma $ = −25.857°等价于$ \gamma $ = 25.857°,因为对非转动态,即当核是静态时,TRS对于$ \gamma $ = 0°和$ \gamma $ = −60°是反射对称的),两个能级的实验值$ {E_1}({2^ + }) = 265.62 \;{\text{keV }} $ 和$ {E_2}({2^ + }) = 605.71 \; {\text{keV}} $ 取自文献[35]。采用同样方法得出核190Pt的$ \gamma $ 值是31.103°, 这里这个核的$ {E_1}({2^ + }) $ 和$ {E_2}({2^ + }) $ 值取自文献[36]。这显示尽管采用不同的方法来获得那些值,它们与TRS计算结果符合得很好。这里提出的TRS计算也许可以作为分析在各质量区内核基态和激发态形状的一个好起点,这里三轴形变被用来充当一个相关的角色,特别是软性的三轴形变。
Triaxial Shape of Ground State in Os-Pt Region
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摘要: 在偶-偶核基态中寻找稳定的三轴形状, 其中最大三轴形变为
$ \left| \gamma \right| $ ≈30°,仍然是核结构的一个主要主题。 在本工作中,使用推转Woods-Saxon(WS)壳模型来研究Os-Pt区基态和集体转动态中可能的三轴形状。为寻找核态可能存在的三轴形变,具体用对力-形变-转动频率自洽推转壳模型对偶-偶176-202Os和182-204Pt同位素进行了总Routhian面计算。计算是在四极形变($\;{\beta _2} $ ,$ \gamma $ )网格中进行的,而十六极形变$\;{\beta _4} $ 可变。事实上,在四极形变($\;{\beta _2} $ ,$\gamma $ )的每个网格点上,计算的能量相对于十六极形变$\; {\beta _4} $ 最小化。发现某些核的基态譬如196Os和188-194Pt既非扁椭球亦非长椭球, 而是在这些核中基态极小值是形状非轴对称的,即三轴形变。同时, 我们把从实验数据提取出的转动惯量与我们的计算结果作比较, 显示实验数据不能很好地与转动假定相一致,说明有振动行为。此外,我们使用一种辅助的方法提取了平衡$\gamma _{0} $ 值,该值支持我们的预言。-
关键词:
- 三轴形变 /
- 总Routhian面 /
- 形状演化
Abstract: The search for stable triaxial shapes in the ground states of even-even nuclei, with a maximum triaxial deformation of$ \left| \gamma \right| $ ≈30°, is still a major theme in nuclear structure. In the present work, we use the cranked Woods-Saxon(WS) shell model to investigate possible triaxial shapes in ground and collective rotational states of Os-Pt region. Specifically, total-Routhian-surface calculations by means of the pairing-deformation-frequency self-consistent cranked shell model have been carried out for even-even 176-202Os and 182-204Pt isotopes, in order to search for possible triaxial deformations of nuclear states. Calculations are performed in the lattice of quadrupole ($\, {\beta _2} $ ,$ \gamma $ ) deformations with the hexadecapole$\, {\beta _4} $ variation. In fact, at each grid point of the quadrupole deformation ($\, {\beta _2} $ ,$\gamma $ ) lattice, the calculated energy has been minimized with respect to the hexadecapole deformation$\, {\beta _4} $ . It is found that some nuclear ground states such as in 196Os and 188-194Pt are neither oblate nor prolate. Instead, the ground states minima in these nuclei are axially asymmetric in shape, i.e., triaxial deformation. At the same time, we compare the experimentally deduced moments of inertia with our calculated results, which show that the experimental data do not agree well with the assumption of rotational motion. This indicates that they have vibrational behavior. In addition, a complementary approach is used to extract equilibrium${ \gamma _0} $ value, which support our predictions.-
Key words:
- triaxial deformation /
- total Routhian surface /
- shape evaluation
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表 1 通过类Hartree-Fock-Bogoliubov形状计算最小化得到的176-202Os基态四极形变参数
${\beta _2} $ 和$\gamma $ (最后一列列出了Möller和Nix(MN)编评的轴对称四极形变参数${\beta _2} $ [27])核素 $ {\beta _2}({\text{TRS}}) $ $ \gamma ({\text{TRS}}) $ ${\beta _2} $(MN) 176Os 0.239 −0.019° 0.246 178Os 0.236 −1.059° 0.247 180Os 0.223 −1.567° 0.238 182Os 0.219 −1.506° 0.239 184Os 0.208 0.000° 0.229 186Os 0.194 0.000° 0.220 188Os 0.179 −3.290° 0.192 190Os 0.163 −4.442° 0.164 192Os 0.147 0.000° 0.155 194Os 0.129 0.085° 0.145 196Os 0.117 −26.379° −0.156 198Os 0.101 −60.000° −0.096 200Os 0.068 −60.000° −0.061 202Os 0.002 0.000° 0.008 表 2 通过类Hartree-Fock-Bogoliubov形状计算最小化得到的182-204Pt基态四级形变参数
$ {\beta _2} $ 和$\gamma $ (表中还列出了使用激光光谱的同位素位移(IS)测量提取的${\beta _2} $ 实验值[31],最后一列列出了Möller和Nix(MN)编评的轴对称四极形变参数${\beta _2} $ [27])核素 $ {\beta _2}({\text{TRS}}) $ $\gamma ({\text{TRS} })$ $ \left| {{\beta _2}({\text{IS}})} \right| $ $ {\beta _2}({\text{MN}}) $ 182Pt 0.254 0.000° 0.255 184Pt 0.231 −12.381° 0.210(1) 0.247 186Pt 0.212 −13.752° 0.200(1) 0.239 188Pt 0.166 −25.527° 0.180(1) −0.164 190Pt 0.157 −30.431° 0.160(1) −0.156 192Pt 0.151 −33.045° 0.150(1) −0.156 194Pt 0.141 −35.672° 0.143(3) −0.148 196Pt 0.131 −53.464° 0.130(1) −0.139 198Pt 0.115 −57.262° 0.120(1) −0.139 200Pt 0.094 −60.000° −0.087 202Pt 0.049 −60.000° −0.061 204Pt 0.001 0.000° 0.008 -
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