-
中国科学院近代物理研究所在兰州重离子研究装置(HIRFL)上新建了一台CW直线加速器SSC-LINAC,作为分离扇回旋加速器(SSC)的注入器[1],提高了整个HIRFL系统的运行效率。SSC-LINAC由1个RFQ加速器[2]和4个DTL(Drift Tube Linac)组成[3]。SSC-LINAC RFQ谐振腔主要参数见表1[4]。
表 1 SSC-LINAC RFQ腔体主要参数
参数 数值 工作频率/MHz 53.667 设计粒子 238U34+ 输入能量/(keV/u) 3.728 输出能量/(keV/u) 143 腔体电压/kV 70 传输效率/% 94.1 结构长度/cm 250.846 功率消耗/kW 30 馈入功率会引起腔体温度升高,引发腔体受热形变,导致腔体谐振频率变化[5]。SSC-LINAC RFQ腔体调谐通过其侧面安装的四根直径为55 mm的调谐杆完成,如图1所示。调谐杆位置与腔体谐振频率改变量关系见图2[6]。
四根调谐杆同步移动,移动范围为0~350 mm。移动调谐杆可以使得腔体谐振频率发生改变,由图2可见,最大改变量为125 kHz。通过调整调谐杆位置,可以使腔体处于谐振状态。
高频谐振腔失谐会导致高频电压降低和功率源系统的损坏[7]。为了保证腔体时刻处于调谐状态需要为腔体设计自动调谐系统[8]。调谐系统的作用是令腔体在选定频率上谐振,可以使腔体与功率源阻抗匹配,保证功率源向腔体馈入功率的效率[9]。高频谐振腔的调谐方法主要分为基于相位差与基于反射信号的调谐方法[10]。基于相位差的调谐方法缺点为启动时间较长,需要经常性的人为干预且准确性易受环境温度影响。结合Lyapunov稳定性理论[11],对滑模极值搜索算法进行改进。将改进后的算法应用在基于反射信号的调谐系统设计中,可以减小腔体调谐过程受环境温度变化的影响程度,提高调谐过程准确性,缩短启动时间,实现腔体功率的自动加载且满足调谐过程的频率稳定度[12]要求。
-
Korovin等[13]于1974年提出了一种基于滑模控制的非线性算法,即滑模极值搜索算法的雏形。滑模极值搜索算法的特点是收敛速度可以预先设置、鲁棒性强[14]。滑模极值搜索算法的收敛过程分为三个阶段[15]。系统由初始状态收敛于滑模面的过程为到达段,系统沿滑模面运动收敛于极值点的过程为滑动段,系统脱离滑模面稳定在极值点附近的过程为稳态段。
经典控制理论中用来判断系统稳定性的判据不适用于非线性系统。Lyapunov稳定性理论不仅适用于线性系统,而且适用于非线性系统。利用Lyapunov稳定性理论,结合SSC-LINAC RFQ高频系统特点对传统滑模极值搜索算法[16]的参考信号g(t)和控制增益ku进行改进,可以提高调谐系统的调谐精度和算法收敛速度。传统滑模极值搜索算法中,有
$$ \left\{ \begin{split}& \frac{{{{\rm{d}}}u}}{{\rm d}{t}} = {k_{{{u}}}}{\rm{\rm{sgn}}} \left[\sin \left(\frac{{\pi \sigma }}{{{\bf{\varepsilon }}}}\right)\right] \\ & \dot {g(t)} = - \rho \end{split} \right.{\text{ 。}} $$ (1) 改进前的控制参数u一阶导数的绝对值即为控制增益ku,算法收敛速度由参考信号的导数
$ |\dot {g(t)} | $ 决定。改进后的滑模极值搜索算法示意图如图3所示。其中:参数ku、ε、ρ、β均为大于零的控制器参数;vrc, amp为腔体反射电压信号幅度;y为系统代价函数;σ为系统的切换函数;控制参数u反映了调谐杆的位移。ε的值必须保证系统移动到可控范围外之前改变符号函数的取值。
改进后的算法中,控制参数u的一阶导数满足
$$ \begin{split}\dot {u} =& {k_{{u}}}{v_{{{\rm{rc,\,amp}}}}}{\rm{sgn}} \left[\sin \left(\frac{{\pi \sigma }}{\varepsilon }\right)\right] \\=& {k_{{u}}}{v_{{{\rm{rc,\, amp}}}}}{\rm{sgn}} \left[2\sin \left(\frac{{{{\pi}}\sigma }}{{{{{2}}}\varepsilon }}\right)\cos \left(\frac{{{{\pi}}\sigma }}{{{{{2}}}\varepsilon }}\right)\right]{\text{ 。}}\end{split} $$ (2) 结合Lyapunov稳定性理论,构造Lyapunov函数如下:
$$ \left\{ \begin{array}{l} {V_1} = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}\left( {\dfrac{{{{\pi}}\sigma }}{{2\varepsilon }}} \right) \\ {V_2} = \dfrac{1}{2}{\cos ^2}\left( {\dfrac{{{{\pi}}\sigma }}{{2\varepsilon }}} \right) \\ \end{array} \right. {\text{。}} $$ (3) 根据Lyapunov稳定性理论,对两式求导并令其小于零。此时,有V1、V2趋于常数。即σ=y–g(t)趋于常数。则有y的一阶导数等于–ρ+β/t。则y以–ρ+β/t的速度收敛于极小值,解得
$$ \big|\frac{{{{\rm{d}}}{v_{{{\rm{rc,\,amp}}}}}}}{{{{\rm{d}}}u}}\big| > \frac{{|\dot {g(t)} |}}{{{k_{u}}}} {\text 。} $$ (4) 由式(4)可见若要使系统能够稳定于滑模面,需满足
$ |\dot {g(t)} | $ 较小,ku较大。而系统位于滑动段时,代价函数以固定斜率$ \dot {g(t)} $ 向极值处收敛,此时要求$ |\dot {g(t)} | $ 较大。同时,过大的ku值会导致系统在稳态段振荡剧烈。所以ku应随时间减小。$ |\dot {g(t)} | $ 应随时间增大。结合高频腔调谐过程中,腔体反射电压信号幅度随时间的增加而减小。不同于传统滑模极值搜索算法,改设$$ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{{\rm{d}}}u}}{{{{\rm{d}}}t}} = {k_{u}}{v_{{{\rm{rc,\, amp}}}}}{\rm{sgn}} \left[\sin \left(\dfrac{{\pi \sigma }}{\varepsilon }\right)\right] \\ \dot {g(t)} = - \rho + \dfrac{\beta }{t} \\ \end{array} \right.{\text{ 。}} $$ (5) 应用改进后的滑模极值搜索算法进行基于反射信号的SSC-LINAC RFQ腔体频率稳定系统的软件仿真,还应求得系统的代价函数,即腔体反射电压信号幅度关于时间和调谐杆位置的函数。在此基础上结合滑模极值搜索算法,驱动调谐杆移动至使得腔体反射电压信号幅度最小的位置。
高频谐振腔等效电路模型为一个并联型RLC电路。结合基尔霍夫电流定律,求解微分方程,由于高频谐振腔谐振频率的变化速率相对输入信号的频率可忽略不计,可忽略暂态部分,只考虑稳态部分[17],得到腔体信号的稳态解如式(6)所示[18]:
$$\begin{split} \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } x(t) =& \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } ({C_{{{1}}}}{{{\rm{e}}}^{\frac{{ - \gamma + \sqrt {{\gamma ^2} - 4(\varOmega _0^2 + k_u)} }}{2}t}} +\\& {C_{{{2}}}}{{{\rm{e}}}^{\frac{{ - \gamma - \sqrt {{\gamma ^2} - 4(\varOmega _0^2 + k_u)} }}{2}t}} + {Q_m}) = {Q_m} {\text{,}}\end{split} $$ (6) 其中:x为腔体电压信号;γ为阻尼系数;Ω0为腔体谐振频率;k为参数;C1、C2为系数;Qm是原非齐次线性微分方程的一个非齐次特解,指数函数项为原微分方程的齐次通解。
结合式(6),由vr = x–vin,可以得到高频谐振腔反射信号的函数表达式。其中,vr为腔体反射电压信号,vin为腔体入射信号。解得当输入信号为连续信号时,高频谐振腔反射信号关于u和时间的函数后,由辅助角公式,可以得到腔体反射电压信号幅度为
$$ {v_{{{\rm{rc,\, amp}}}}} = {V_{{{\rm{fc}}}}}\sqrt {\frac{{\dfrac{{2\Omega _{{{\rm{ic}}}}^{{{2}}}}}{{{Z_0}C}}\left(\dfrac{2}{{{Z_0}C}} - 2\gamma \right)}}{{\Omega _{{{\rm{ic}}}}^2{\gamma ^2} + {{(\Omega _0^2 + k_u - \Omega _{{{\rm{ic}}}}^2)}^2}}} + 1} {\text{,}} $$ (7) 其中:Vfc为输入连续信号的幅度;Ωic为输入连续信号的频率;Z0为腔体等效电路输入阻抗;C为腔体等效电路电容值。由式(7)可见,调谐目标为寻找控制参数u,使得
$\varOmega _0^2 + k_u - \varOmega _{{{\rm{ic}}}}^{{{2}}}$ 为零。此时有腔体反射电压信号幅度vrc, amp=0。结合式(7),进行基于滑模极值搜索算法的SSC-LINAC RFQ腔体频率稳定系统的软件仿真。 -
在MATLAB 2018b软件中进行仿真,利用滑模极值搜索算法改变控制参数u,记录腔体反射电压信号幅度和控制参数随时间的变化。设定仿真参数如表2所列,结合式(7),进行当输入为连续信号时,基于滑模极值搜索算法的仿真。
表 2 仿真参数设置
参数 数值 Ωic/MHz 53.667 Ω0/MHz 53.55 Z0C 1.418 4×10-4 γ(1/RC + 1/Z0C) 14 100 k 1×1012 Vf/kV 70 u/(kHz)2 495 ε 2 ρ 10 g(0) 0 ku 0.000 01 设腔体初始谐振频率为53.55 MHz。进行仿真,得到仿真结果如图4所示。
由仿真结果可见,随着迭代次数增加,腔体反射电压信号幅度趋于极小值。控制参数u的变化量收敛于极小值,代表调谐杆趋于目标位置。Δu趋于极小值,代表调谐杆速率趋于零。三种情况的频率稳定度仿真结果如图5所示。
腔体反射电压信号幅度在算法滑动段的收敛速度由
$ |\dot {g(t)} | $ 决定,增大β会导致$ |\dot {g(t)} | $ 减小。由图4和图5可见,增大β会降低腔体反射电压信号幅度的收敛速度。结合图5,计算在迭代次数超过60次后三种情况的频率稳定度,当β=10,ku=0.000 05时,频率稳定度保持在3.435 7×10–9以内。当β=10.164,ku=0.000 05时,频率稳定度保持在3.559 4×10–9以内。当β=10,ku=0.000 03时,频率稳定度保持在1.879 9×10–9以内。可见降低ku会导致收敛速度变慢,但调谐精度明显提高。在不触发高频发射机保护机制的前提下,选择较小的β和较小的ku可以使得收敛过程较快且调谐精度较高。
Design and Testing of SSC-LINAC RFQ Tuning System Based on Extremum Seeking Algorithm with Sliding Mode
-
摘要: 将滑模极值搜索算法引入基于腔体反射信号的SSC-LINAC射频四极场加速器(Radio Frequency Quadrupole, RFQ)腔体频率稳定系统设计中,结合Lyapunov稳定性理论和SSC-LINAC RFQ高频系统的特点,对滑模极值搜索算法的控制增益和参考信号进行改进;通过求解微分方程,得到腔体反射信号关于时间和调谐杆位置的函数。通过软件仿真和设计硬件系统,对基于滑模极值搜索算法的调谐过程进行仿真与实际测试,结果显示,所设计的频率稳定系统能够在较短时间内实现SSC-LINAC RFQ腔体功率自动馈入过程且频率稳定度满足设计指标要求,通过了长时间稳定性试验。证明了将滑模极值搜索算法应用于高频谐振腔调谐工作的可行性。Abstract: Extremum seeking algorithm with sliding mode is presented for design of automatic tuning control system of SSC-LINAC RFQ(Radio Frequency Quadrupole) based on the cavity reflected signal. Combined with the Lyapunov stability theory and the characteristics of SSC-LINAC RFQ radio frequency system, the control gain and reference signal of the sliding mode algorithm are improved. By solving the differential equation, the functions of the cavity reflected signal with respect to time and the position of the tuning rod are obtained. Through software simulation and hardware system design, the tuning process based on extremum seeking algorithm with slidig mode is simulated and tested. The results show that the designed frequency stabilization system can realize the automatic power feeding process of SSC-LINAC RFQ cavity in a short time, and the frequency stability meets the design index requirements, and has passed the long-time stability test. The feasibility of applying the extremum seeking algorithm with sliding mode to the tuning of high frequency resonator is proved.
-
Key words:
- RF cavity /
- RFQ /
- extremum seeking with sliding mode /
- SSC-LINAC
-
表 1 SSC-LINAC RFQ腔体主要参数
参数 数值 工作频率/MHz 53.667 设计粒子 238U34+ 输入能量/(keV/u) 3.728 输出能量/(keV/u) 143 腔体电压/kV 70 传输效率/% 94.1 结构长度/cm 250.846 功率消耗/kW 30 表 2 仿真参数设置
参数 数值 Ωic/MHz 53.667 Ω0/MHz 53.55 Z0C 1.418 4×10-4 γ(1/RC + 1/Z0C) 14 100 k 1×1012 Vf/kV 70 u/(kHz)2 495 ε 2 ρ 10 g(0) 0 ku 0.000 01 -
[1] 张小虎. HIRFL重离子直线注入器的动力学设计与研究 [D]. 中国科学院研究生院(近代物理研究所), 2014. ZHANG Xiaohu. Beam Dynamics Design and Research of the Linac Injectors in HIRFL [D]. Lanzhou: Institute of Modern Physics, Chinese Academy of Sciences, 2014. (in chinese) [2] LIU G, LU Y R, HE Y, et al. Nucl Instr and Meth A, 2013, 701: 186. doi: 10.1016/j.nima.2012.11.017 [3] 王静, 黄建龙, 张小奇, 等. 原子核物理评论, 2016, 33(04): 437. doi: 10.11804/NuclPhysRev.33.04.437 WANG Jing, HUANG Jianlong, ZHANG Xiaoqi, et al. Nuclear Physics Review, 2016, 33(04): 437. (in Chinese) doi: 10.11804/NuclPhysRev.33.04.437 [4] YIN X, YUAN Y J, XIA J W, et al. Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams, 2016, 19: 010402. doi: 10.1103/PhysRevAccelBeams.19.010402 [5] 李钟汕. 重离子射频四极场直线加速器的物理设计与实验研究 [D]. 兰州: 中国科学院近代物理研究所, 2017. LI Zhongshan. Theoretical Design and Experimental Studies of Heavy Ion Radiofrequency Quadrupole Linac [D]. Lanzhou: Institute of Modern Physics, Chinese Academy of Sciences, 2017. (in chinese) [6] ZHU K, LU Y R, YIN X J, et al. The Beam Commissioning of a CW High Charge State Heavy ion RFQ. Nucl Instr and Meth A, 2015, 794: 113. doi: 10.1016/j.nima.2015.05.012 [7] 任红文. 加速器高频自动频率调谐系统的设计与实现 [D]. 兰州: 兰州大学, 2010. REN Hongwen. Design and Implementation of The Accelerator Transmitter Tune System[D]. Lanzhou: Lanzhou University, 2010. (in chinese) [8] 丛岩, 许少凡, 李世龙, 等. 原子核物理评论, 2019, 36(01): 55. doi: 10.11804/NuclPhysRev.36.01.055 CONG Yan, XU Shaofan, LI Shilong, et al. Nuclear Physics Review, 2019, 36(01): 55. (in Chinese) doi: 10.11804/NuclPhysRev.36.01.055 [9] 马腾飞, 薛鹏, FONG K, 等. 原子核物理评论, 2018, 35(03): 294. doi: 10.11804/NuclPhysRev.35.03.294 MA Tengfei, XUE Peng, FONG K, et al. Nuclear Physics Review, 2018, 35(03): 294. (in Chinese) doi: 10.11804/NuclPhysRev.35.03.294 [10] SHAHRIARI Z, LEEWE R, MOALLEM M, et al. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2017, 23(1): 311. doi: 10.1109/TMECH.2017.2772183 [11] LEEWE R, SHAHRIARI Z, FONG K, et al. Nucl Instr and Meth A, 2018, 902: 70. doi: 10.1016/j.nima.2018.06.003R [12] 许哲, 石爱民, 王春晓, 等. 强激光与粒子束, 2005, 10(10): 139. doi: CNKI:SUN:QJGY.0.2005-10-029 XU Zhe, SHI Aimin, WANG Chunxiao, et al. High Power Laser and Particle Beams, 2005, 10(10): 139. (in Chinese) doi: CNKI:SUN:QJGY.0.2005-10-029 [13] KOROVIN S K, UTKIN V I. Automatica, 1974, 10(5): 525. doi: 10.1016/0005-1098(74)90053-3 [14] 左斌, 胡云安, 施建洪. 海军航空工程学院学报, 2006, 06: 611. doi: 10.3969/j.issn.1673-1522.2006.06.003 ZUO Bin, HU Yunan, SHI Jianhong. Journal of Naval Aeronautical Engineering Institute, 2006, 06: 611. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1673-1522.2006.06.003 [15] 孙正宜. 二阶滑模极值搜索控制一般化设计方法及应用研究 [D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2019. SUN Zhengyi. General Design Method and Application of Second-order Sliding Mode Extremum Seeking Control[D]. Harbin : Harbin Institute of Technology, 2019. (in chinese) [16] PAN Y, OZGÜNER Ü, ACARMAN T. International Journal of Control, 2003, 76(9-10): 968. doi: 10.1080/0020717031000099100 [17] LEEWE R, MOALLEM M, FONG K. Control of RF Cavity Resonance Frequency Using Reflected Power Measurements [C] // Conference of the IEEE Industrial Electronics Society. New York: IEEE, 2013. [18] LEEWE R, MOALLEM M, FONG K. System Modeling and Control of Resonance Frequency for an RF Cavity Using Reflected Power Measurements [C]//IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics. New York: IEEE, 2014. [19] 王强, 应浩. 兵工自动化, 2020, 39(06): 45. WANG Qiang, YING Hao. Ordnance Industry Automation, 2020, 39(06): 45. (in Chinese) [20] 张小虎, 原有进, 夏佳文, 等. 原子核物理评论, 2015, 32(01): 50. doi: 10.11804/NuclPhysRev.32.01.050 ZHANG Xiaohu, YUAN Youjin, XIA Jiawen, et al. Nuclear Physics Review, 2015, 32(01): 50. (in Chinese) doi: 10.11804/NuclPhysRev.32.01.050