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UrQMD模型包括初始化、势修正、碰撞项等几个部分。随着模型的不断改进,现在的版本在势修正部分引入了Skyrme势能密度泛函,在碰撞项部分对两体碰撞截面考虑了介质修正,以及在输运模型的后期碎片重构模式中采用了同位旋依赖性的处理[28-29]。经过这些改进后,该模型能够很好地解释中能区重离子碰撞中的大量实验数据[30]。
在UrQMD模型中,粒子被看做是有一定宽度的高斯波包,其坐标
$ {\boldsymbol r}_{i} $ 和动量$ {\boldsymbol p}_{i} $ 随时间的演化由哈密顿运动方程来描述:$$ {\boldsymbol{r}}_{i} = \frac {\partial H} {\partial {\boldsymbol{p}}_{i}},\; \; {\boldsymbol{p}}_{i} = -\frac {\partial H} {\partial {\boldsymbol{r}}_{i}}, $$ (1) 其中哈密顿量
$ H $ 由动能和相互作用势能组成。势能可以采用Skyrme势能密度泛函形式来描述[30]。除此之外,还考虑了动量相关项和库仑势[31]。通过选取不同的势能参数就可以给出不同的状态方程[31]。本文所采用的参数有两组,一组给出的核物质不可压缩系数$ K_0 = $ $ 9\rho^2\left(\frac{\partial ^2E/A} {\partial \rho^2}\right)\big|_{\rho = \rho_{0}} = 9\left(\frac{\partial {P}} {\partial \rho}\right)\big|_{\rho = \rho_{0}} = 200 $ MeV,称为“软”的状态方程(简写:SM);另一组为$ K_0 = 380 $ MeV,称为“硬”的状态方程(简写:HM)。图1显示的是根据这两组参数计算出的每核子能量(a)和压强(b)随约化密度(其中$ \rho_{0} $ 为核物质饱和密度)的变化情况。该图表明,在高于饱和密度$ (\rho/\rho_{0} > 1) $ 的区域,这两组状态方程给出的结果有明显差异。本文选取了入射能量在每核子0.4 GeV的Au与Au碰撞来研究状态方程软硬对重离子碰撞过程的影响。为进一步探究不同碰撞参数下的情况,选取了
$ b = 0 $ 和5 fm这两种情况进行模拟。对末态质子数的横动量$ p_{\rm t} = $ $ \sqrt{p_x^2+p_y^2} $ 和约化快度$ y_{0} = y_z/y_{\rm pro} $ (其中$ y_{z} = \frac{1}{2}\ln[\frac{E+p_{z}}{E-p_{z}}] $ 是粒子在质心系下的快度,$ y_{\rm pro} $ 为入射弹核的快度)分布进行分析。选取的范围为:$ 0\leqslant p_{\rm t}\leqslant 1 $ GeV/c和$ -2\leqslant $ $ y_{0} \leqslant2 $ 。在本文采用的入射能量下,上述范围能够包含99%以上的质子数目。如果将$ p_{\rm t} $ 划分为20个区间、$ y_{0} $ 划分为40个区间,这样就可以获得一张“像素”为$ 20\times $ $ 40 $ 的图片,并将这张图片的数据作为神经网络的输入量。经测试发现,当像素的取值在一个合理的范围内时,不会对结果的准确度造成太大的影响。一方面,如果像素选取的太小,即每个像素点对应的$ y_{0} $ 和$ p_{\rm t} $ 的范围较大,将很容易丢失质子数随$ y_{0} $ 和$ p_{\rm t} $ 分布的一些细节信息;另一方面,如果像素选取的太大,每个像素点对应的$ y_{0} $ 和$ p_{\rm t} $ 的范围就很小,每次碰撞对应到某个像素点的质子数目就会有较大差异,即有较大涨落。这种涨落容易掩盖由不同状态方程所引起的质子数分布差异。图2显示了随机挑选的五个事件的末态质子(用不同颜色的小球表示)的
$ y_{0} $ -$ p_{\rm t} $ 分布情况。因为输运过程中有很多随机的核子-核子碰撞以及初始化时原子核涨落的存在,不同事件给出的末态分布都很不相同。对比不同状态方程给出的结果,肉眼很难发现其本质区别。其次,碰撞参数为0 fm的质子分布主要集中在中心快度区域,而碰撞参数为5 fm时其分布主要集中在$ y_{0} = \pm1 $ 处。这是因为$ b = 0 $ fm 时,大多数粒子的纵向运动被阻止,所以粒子的快度集中在中心快度附近,而$ b = $ $ 5 $ fm时,大多数粒子经历的碰撞次数很少,更容易保持最初的快度值($ \pm1 $ )。通常情况下,模拟上万次事件后,求某些量的平均值,就可以明显减弱随机涨落所带来对结果的影响,显现出不同状态方程的影响。在本次研究中,首先试图从单个或者几十个事件观测量中观察不同状态方程的影响。下面,就随机挑选20个事件叠加成一个样本,来进一步观察末态质子分布的情况。图3是碰撞参数为5 fm时,20个事件叠加后得到的质子的
$ y_{0} $ -$ p_{\rm t} $ 分布。经过叠加后,尽管不同样本之间的涨落有所减弱,但是不同状态方程给出的结果差异仍然不易观察到。在图4中进一步显示了在不同横动量区间质子的快度分布。每个图中显示了20个样本的结果。虽然,很明显在不同横动量区其产额的快度分布各不相同,但是,从每一个样本(均是20个事件的叠加)不同横动量区的结果看,仍然很难观察到状态方程的影响差异。通过对图2~4的观察,可以发现,不管是单事件还是20个事件叠加后得到的样本,状态方程对其末态质子分布的影响差异都很难区分。 -
在实际的训练过程中,训练集的数据量相较测试集而言会比较多,因此通常会将训练集数据划分出一部分作为验证集。这样划分目的在于能够充分利用数据的同时,还可以通过训练集和验证集的交叉验证的方式获得稳定可靠的模型。再将训练获得的模型在测试集上进行测试,测试集的准确度作为评价模型的指标之一。为了更符合真实的数据集分布,我们对此次的数据集进行了如下处理:每种状态方程我们模拟了40万次的碰撞获得80万个单事件的质子分布数据。对于单事件数据集,我们从两种状态方程中各自随机抽取20万事件(共40万)组成训练集,在训练集中又随机抽取其中的20%组成验证集进行交叉验证,从剩下的40万事件中各自抽取10万个事件(共20万个事件)组成测试集。对于20个事件叠加后的样本数据集,经过叠加处理以后从80万个单事件样本中获得了4万个样本,因此划分3万个样本组成训练集,随机抽取其中20%组成验证集,剩下的1 万个样本组成测试集。划分好数据集之后,我们将对数据集进行训练。
首先,我们采用单事件结果作为数据集,对碰撞参数为0和5 fm两种情况分别进行训练(见图6)。从图中可以看出,因为交叉验证的存在,使得每一次的训练都会获得对应的训练集和验证集的准确度。训练一定次数以后,训练集上的准确度超过了验证集,这种过拟合现象的出现表明训练可以停止。最后将训练好的模型在测试集进行测试,记录其准确度作为评价模型指标之一(见表1)。与此同时,我们也采用了20个事件叠加得到的样本作为数据集进行了训练。同样也将训练好的模型在测试集上进行测试并且记录(见表1)。
表 1 状态方程测试的准确度
类别 方法 $b=0$fm $b=5$fm 单事件 CNN $\approx80{\%}$ $\approx85{\%}$ LightGBM $\approx83{\%}$ $\approx85{\%}$ 20事件叠加 CNN $>96{\%}$ $>96{\%}$ LightGBM $>96{\%}$ $>96{\%}$ 在表1中,我们分别记录了CNN和LightGBM两种方法的测试结果。不难看出,不论是单事件还是叠加事件的结果,CNN与LightGBM两种方法所给出的测试结果类似。仅相对于碰撞参数为0 fm的测试结果,LightGBM方法有些许的提高。从表中我们还可以观察到碰撞参数为5 fm时,比0 fm有更高的准确度,表明在5 fm时,两种方法对于状态方程软硬的探测更加敏感一些。综上而言,对于本次的训练和测试,两种方法基本可以实现从末态质子分布来区分核物质状态方程的软硬。并且使用多事件叠加后的样本训练,可以得到更高的准确度,这是因为多事件叠加有助于减少涨落信号从而增强状态方程的影响。
此外,近些年,机器学习与深度学习模型的可解释性成为了研究的热点问题。对于可解释性的研究有助于我们更好的理解这些机器学习模型是如何从数据中提取有效的信息,做出决策的。其中深度学习中为了解决CNN可视化与可解释性问题,提出了一种预测差异分析(PDA,Prediction Different Analysis)方法[36]。PDA是通过对输入数据进行局部掩盖形成新的数据样本,用CNN训练保存下来的模型进行预测。根据预测结果的差异给出局部特征重要性,通过逐个替换就可以获得全局的重要特征图。而LightGBM中的重要特征筛选,通过对每一个特征值相关性的分析,对特征值的重要程度进行评估,也能够获得重要特征图。
图7和图8分别是我们利用这两种方法对碰撞参数
$ b = 5 $ fm时末态质子的$ y_{0} $ -$ p_{\rm t} $ 分布进行分析的结果。值得一提的是,PDA通过对不同状态方程的分析,能够给出不同状态方程各自所关注的重要特征区域。而通过LightGBM的重要特征筛选,能够给出不同状态方程共同关注的重要特征区域。从图7和图8中,我们可以看到PDA给出快度的绝对值在0.5到1、横动量在0.05到0.2 GeV/c的区域对区分状态方程最敏感。LightGBM的重要特征筛选给出的敏感区域在快度的绝对值在$ 1\pm0.5 $ 、横动量在0到0.2 GeV/c。我们发现这两者给出的重要特征区域基本一致,主要集中在弹靶快度及低横动量区域。这一点我们在图3和图4中也发现了,在该区域内,质子不仅分布较为集中而且产额也较大。这是由于在碰撞时,该区域内的质子受涨落影响较小,能够提供的初态粒子信息较为稳定。这些高敏感区域可以作为实验上重点关注的窗口,为开展相关更高要求精度的实验提供帮助。
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摘要: 对核物质状态方程的研究将有助于人们更好地了解原子核的性质以及宇宙和星体的演化过程等基本问题。重离子碰撞能产生高温高密核物质,利用输运模型的模拟结合相关实验数据的比较是研究核物质状态方程最常用方法之一。本文利用深度学习中的卷积神经元网络(CNN)方法对不同核物质状态方程给出的末态质子横动量和快度分布进行学习,使神经元网络具有从末态粒子信息来判断核物质状态方程软硬的能力。利用预测差异分析方法(Prediction Different Analysis),可以找到横动量和快度分布中对状态方程最敏感的区域。此外,还测试了一种基于决策树的梯度提升算法(LightGBM),发现得到的准确度和CNN方法类似。Abstract: The equation of state (EOS) of nuclear matter is essential for studying the properties of nuclei and the evolution of universe and astro-objects. Heavy-ion collisions at intermediate energies permit creating nuclear matter with high density and temperature, by comparing transport model simulations with the corresponding experimental data offers one of the most important way to study the nuclear EOS. Unfortunately, different models do not always give the same results. In this work, a deep convolutional neural network (CNN) is used to identify the nuclear EOS from the spectra in transverse momentum and rapidity of protons. It is found that the network can be taken as a useful decoder to extract the nuclear EOS from the transverse momentum and rapidity distribution of protons. By using the Prediction Difference Analysis method, the most sensitive region of the transverse momentum and rapidity distribution to the nuclear EOS can be found out, which may offer an alternative strategy for experimental and theoretical studies of heavy-ion collisions. In addition, a gradient boosting framework (LightGBM) that uses tree based learning algorithms is also applied, and it is found that the accuracy obtained with the LightGBM is similar to that with CNN.
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表 1 状态方程测试的准确度
类别 方法 $b=0$fm $b=5$fm 单事件 CNN $\approx80{\%}$ $\approx85{\%}$ LightGBM $\approx83{\%}$ $\approx85{\%}$ 20事件叠加 CNN $>96{\%}$ $>96{\%}$ LightGBM $>96{\%}$ $>96{\%}$ -
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