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Polyakov-loop拓展的夸克介子模型中的Roberge-Weiss相变研究

张啟玥 张昭

张啟玥, 张昭. Polyakov-loop拓展的夸克介子模型中的Roberge-Weiss相变研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
引用本文: 张啟玥, 张昭. Polyakov-loop拓展的夸克介子模型中的Roberge-Weiss相变研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
Qiyue ZHANG, Zhao ZHANG. Roberge-Weiss Transition in the Polyakov-loop Extended Quark-meson Model[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
Citation: Qiyue ZHANG, Zhao ZHANG. Roberge-Weiss Transition in the Polyakov-loop Extended Quark-meson Model[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35

Polyakov-loop拓展的夸克介子模型中的Roberge-Weiss相变研究

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11875127, 11275069)
详细信息
    作者简介:

    张啟玥(1992–),女,江西于都人,硕士,从事理论物理研究;E-mail:qiyuezhang@ncepu.edu.cn

    通讯作者: 张昭,E-mail:zhaozhang@pku.org.cn
  • 这里把Polyakov-loop当作退禁闭相变的序参量。
  • 这将确保配分函数满足\begin{document}$Z(\theta) = Z(\theta+2k\pi/3)$\end{document}(k为整数)。
  • 严格讲,传统的做法把纯规范势中的\begin{document}$T_0 = 270\;{\rm{MeV}}$\end{document}简单替换成较小的\begin{document}$T_0{\sim}200\;{\rm{MeV}}$\end{document},也可理解为粗略地考虑了部分夸克效应。
  • 本文采用文献[19]的方案,忽略了夸克的真空贡献。我们已确认,夸克的真空贡献不影响本文的主要结论。
  • 中图分类号: O572.21+1

Roberge-Weiss Transition in the Polyakov-loop Extended Quark-meson Model

Funds: National Natural Science Foundation of China(11875127, 11275069)
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-31
  • 修回日期:  2020-05-13
  • 网络出版日期:  2020-12-25

Polyakov-loop拓展的夸克介子模型中的Roberge-Weiss相变研究

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
    基金项目:  国家自然科学基金资助项目(11875127, 11275069)
    作者简介:

    张啟玥(1992–),女,江西于都人,硕士,从事理论物理研究;E-mail:qiyuezhang@ncepu.edu.cn

    通讯作者: 张昭,E-mail:zhaozhang@pku.org.cn
  • 这里把Polyakov-loop当作退禁闭相变的序参量。
  • 这将确保配分函数满足\begin{document}$Z(\theta) = Z(\theta+2k\pi/3)$\end{document}(k为整数)。
  • 严格讲,传统的做法把纯规范势中的\begin{document}$T_0 = 270\;{\rm{MeV}}$\end{document}简单替换成较小的\begin{document}$T_0{\sim}200\;{\rm{MeV}}$\end{document},也可理解为粗略地考虑了部分夸克效应。
  • 本文采用文献[19]的方案,忽略了夸克的真空贡献。我们已确认,夸克的真空贡献不影响本文的主要结论。
  • 中图分类号: O572.21+1

摘要: ${\mathbb{Z}}_3$-QCD是具有严格中心对称性的类QCD理论,研究其在特殊条件下的性质有助于理解QCD退禁闭相变。本文应用三种味道的Polyakov-loop拓展的夸克介子模型作为${\mathbb{Z}}_3$-QCD的低能有效理论,研究了不同中心对称性破缺模式下的Rorberge-Weiss(RW)相变。为保证RW周期性,本文采用味道依赖的虚化学势$(\mu_{\rm{u}},\mu_{\rm{d}},\mu_{\rm{s}})={\rm{i}}T(\theta-2C\pi/3,\theta,\theta+2C\pi/3)$,其中$0\!\leqslant\!{C}\!\leqslant1$。传统的和夸克反馈效应改进的两种不同Polyakov-loop势被分别用于相应的计算。研究表明,当$N_{\rm{f}}\!=\!3$$C\!\ne\!1$时,RW相变出现在$\theta=\pi/3$(mod $2\pi/3$)处,其强度随$C$值的减小而加强;当$C\!=\!1$$N_{\rm{f}}\!=\!2\!+\!1$时,RW相变位置出现反常,变为$\theta=2\pi/3$(mod $2\pi/3$);而当$C\!=\!1$$N_{\rm{f}}\!=\!1\!+\!2$时,RW相变点又返回$\theta\!=\!\pi/3$(mod $2\pi/3$)。上述几种情形的RW相变端点均为三相点。研究发现,夸克反馈效应使得RW相变强度减弱,退禁闭相变温度变低,但并未改变前述的定性结论。

pn1这里把Polyakov-loop当作退禁闭相变的序参量。
pn2这将确保配分函数满足$Z(\theta) = Z(\theta+2k\pi/3)$(k为整数)。
pn3严格讲,传统的做法把纯规范势中的$T_0 = 270\;{\rm{MeV}}$简单替换成较小的$T_0{\sim}200\;{\rm{MeV}}$,也可理解为粗略地考虑了部分夸克效应。
pn4本文采用文献[19]的方案,忽略了夸克的真空贡献。我们已确认,夸克的真空贡献不影响本文的主要结论。

English Abstract

张啟玥, 张昭. Polyakov-loop拓展的夸克介子模型中的Roberge-Weiss相变研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
引用本文: 张啟玥, 张昭. Polyakov-loop拓展的夸克介子模型中的Roberge-Weiss相变研究[J]. 原子核物理评论. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
Qiyue ZHANG, Zhao ZHANG. Roberge-Weiss Transition in the Polyakov-loop Extended Quark-meson Model[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
Citation: Qiyue ZHANG, Zhao ZHANG. Roberge-Weiss Transition in the Polyakov-loop Extended Quark-meson Model[J]. Nuclear Physics Review. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC35
    • 勾绘量子色动力学(QCD)的相图是中高能核物理研究的前沿和热点。作为第一性原理,格点量子色动力学(LQCD)是研究QCD相图的非常重要的方法。但因费米子符号问题[1],LQCD在有限化学势时的应用具有很大的局限性。为绕过这一问题,物理学家先后提出了多种不同的方法[1]。其中一种有效方法是选取虚化学势,这时费米子行列式变成实的,从而可以规避符号问题。这种方法通常先模拟得到虚化学势域的结果,然后再将其解析延拓到实化学势域[28]

      Roberge等[9]发现,引入虚夸克化学势$\mu_I\!=\! {\rm{i}}T\theta$后的QCD热力学势满足$\Omega_{{\rm{QCD}}}(\theta) \!= \!\Omega_{{\rm{QCD}}}(\theta\!+\!2\pi/3)$,即所谓的RW周期性。因动力学夸克使得${\mathbb{Z}}_3$对称性明显破缺,当温度高于某临界值$T_{{\rm{RW}}}$时,三个原本简并的${\mathbb{Z}}_3$真空有效热力学势$\Omega_\phi$($\phi\! =\! 0,\pm2\pi/3$) 不再简并。作为$\theta$的函数,这三个解的周期均为$2\pi$,且其中任意思个可通过左右平移$2\pi/3$而得到另外两个;而确定$\theta$下的物理热力学势则对应这三个解的最小值。这就导致热力学势在$\theta \!=\! \pi/3$(mod $2\pi/3$)处有尖峰,即${\rm{d}}\varOmega_{{\rm{QCD}}}/{\rm{d}}\theta$不连续,相应的相变被称为Roberge-Weiss(RW)相变[9]。需要强调的是,RW相变是和${\mathbb{Z}}_2$对称性相对应的真实相变,夸克虚密度及Polyakov-loop的相因子均可作为序参量。

      LQCD研究发现,RW端点的性质与夸克质量关系密切[1013]:当夸克质量取值较大或者较小时,RW端点是三相点(三个一级相变线交汇);而中间质量区域的RW端点为临界点(CEP)。最新的LQCD模拟显示取物理质量时的RW端点是二级相变点[14]。研究RW端点的性质和质量的关系有助于理解手征对称性(轻夸克域)和中心对称性(重夸克域)对QCD相变的影响。但目前LQCD的计算结果对算法及格距都比较敏感。除LQCD外,QCD的有效模型也可用以研究RW相变。要得到正确的RW周期,低能有效模型除具有手征对称性外,还需满足所谓扩展的${\mathbb{Z}}_3$对称性[15]。Polyakov-loop拓展的Nambu-Jona-Lasinio(PNJL)模型和Polyakov-loop拓展的夸克介子(PQM)模型就满足该条件,是该类模型的优点之一。

      新近研究发现,若味道质量简并且$N_{\rm{f}} = N_{\rm{c}}$,味道编号为${\rm{f}}$的夸克场满足扭曲边界条件

      $$ q_{\rm{f}}(x,\beta = 1/T) = -{\rm{e}}^{-{\rm{i}}\theta_{\rm f}}q_{\rm{f}}(x,0), $$ (1)

      其中

      $$ \theta_{\rm{f}} = 2f\pi/N_{\rm{c}}(f = 1,\cdots, N_{\rm{c}}), $$ (2)

      则相应的SU(${N_{\rm{c}}}$)规范理论亦具有严格的${\mathbb{Z}}_{N_{\rm{c}}}$中心对称性[15-16]。这里味道依赖的扭曲边界条件(1)等效于引入虚化学势$\mu_{\rm{f}}\! =\! {\rm{i}}T\theta_{\rm{f}}$但保持物理的反对称边界条件不变。满足上述扭曲边界条件的$N_{\rm{c}}\! =\! 3$的类QCD理论被称为${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD[15, 17]。不同于QCD,在${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD中Polyakov-loop是中心对称性的严格序参量。研究${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD的热力学性质及相变性质有助于揭示QCD退禁闭相变和中心对称性间的微妙关系。

      ${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD理论的一个优点是可用于研究RW及退禁闭相变对中心对称性破缺模式及破缺程度的依赖关系。如前所述,RW相变的前提是中心对称性必须明显破缺。而味道和颜色数的差异、质量非简并以及味道相关的虚化学势对公差为$2\pi/{N_{\rm c}}$等差数列的偏离均可导致${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD的中心对称性明显破缺。最近,本文作者之一及合作者,选取味道依赖的虚化学势$(\mu_{\rm{u}},\mu_{\rm{d}},\mu_{\rm{s}}) = {\rm{i}}T(\theta-2C\pi/3,\theta,\theta+2C\pi/3)$($0\leqslant{C}\leqslant1$)[18],采用三个味道的PNJL作为${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD的有效模型,分别研究了几种不同中心对称性破缺模式下的RW及退禁闭相变[17]。研究发现,当味道质量简并但$C\ne1$时,在$\theta = \pi/3$(mod $2\pi/3$)处存在RW相变,其强度随着$C$减小而增强;当$C=1$$N_{\rm{f}} = 2+1$(两轻一重)时,RW相变发生在$\theta = 2\pi/3$(mod $2\pi/3$)处,而$N_{\rm{f}} = 1+2$(一轻两重)时,RW相变点又回到$\theta = \pi/3$(mod $2\pi/3$)处。在上述几种情形,RW相变端点均保持为三相点。

      需强调的是,文献[17]的结论基于传统的PNJL模型,即采用由纯规范理论得到的Polyakov-loop有效势来模拟QCD的胶子势。传统PNJL忽略了夸克对胶子势的反馈作用,原因在于如何在Polyakov-loop势中计及夸克效应是个很困难的问题。近来,基于泛函重整化群方法,文献[19]提出用一种改进的、考虑了单圈夸克效应的QCD胶子势来替代基于纯规范的Polyakov-loop势,并用以研究QCD相变。本文拟把基于这种改进的胶子势的Polyakov-loop拓展的夸克介子模型(PQM)当作${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD的有效理论,来研究不同中心对称破缺模式下的RW及退禁闭相变。我们将采用味道相关的虚化学势,并与文献[17]的结果进行比较。本文主要目的一是检验文献[17]所得的主要结论是否与模型相关;二是考察夸克反馈效应对RW及退禁闭相变的影响。

      本文第二部分将给出平均场近似下、虚化学势情形的PQM模型热力学势。第三部分给出几种中心对称性破缺模式下的RW及退禁闭相变的数值解。第四部分是结论。

    • PQM模型是当前流行的QCD低能有效理论之一,被广泛用于QCD相变的研究。相对于PNJL模型,PQM模型具有可重整化的优势。三种味道情形PQM模型的拉氏量为[20]

      $$ \begin{split} {\cal{L}} =& {{\bar{q}_{\rm{f}}}}[{\rm{i}}\gamma_{\mu}\partial_\mu-gT_a(\sigma_a+{\rm{i}}\gamma_5\pi_a)]q_{\rm{f}}+{\rm{Tr}}(\partial_\mu\phi^{\dagger}\partial^\mu\phi)-\\ & m^2{\rm{Tr}}(\phi^{\dagger}\phi)-\lambda_1[{\rm{Tr}}(\phi^{\dagger}\phi)]^2-\lambda_2{\rm{Tr}}(\phi^{\dagger}\phi)^2+\\ & c(\det\phi+\det\phi^{\dagger})+{\rm{Tr}}[H(\phi+\phi^{\dagger})]-{\cal{U}}(\Phi,\bar{\Phi};T), \end{split} $$ (3)

      式中$\phi$是由标量$\sigma_a$介子和赝标量$\pi_a$介子定义的$3\times3$矩阵,$T_a = \lambda_a/2$($a = 0,\cdots,8$)是$U(3)$对称群的九个生成元,$\lambda_a$是色空间的Gell-Mann矩阵。仅考虑同位旋对称的问题,而不考虑上夸克部分与下夸克部分的区别,则手征对称性的序参量为轻夸克凝聚$\sigma$和奇异夸克凝聚$\sigma_{\rm{s}}$。在平均场近似下,忽略介子的量子涨落和热涨落,保留夸克/反夸克作为量子场,单位体积的热力学势可表示为

      $$ \begin{split} \Omega(\sigma,\sigma_{\rm{s}},\Phi,\bar{\Phi};T,\mu_{\rm{f}}) =& \Omega_{{\rm{q\bar{q}}}}(\sigma,\sigma_{\rm{s}},\Phi,\bar{\Phi};T,\mu_{\rm{f}})+\\ &U(\sigma,\sigma_{\rm{s}})+{\cal{U}}(\Phi,\bar{\Phi};T), \end{split} $$ (4)

      其中轻夸克凝聚为$\sigma = \langle\bar{\rm{{u}u}}\rangle = \langle\bar{{\rm{d}d}}\rangle$,奇异夸克凝聚为$\sigma_{\rm{s}} = \langle\bar{{\rm{s}s}}\rangle$。式(4)右侧第一项第三项为组分夸克的贡献;第二项是能产生手征对称性自发破缺的介子势;第三项是胶子部分对应的Polyakov-loop势。

      式(4)中的最后一项组分夸克贡献来源于单圈近似为夸克圈的QCD流方程,其形式为

      $$ \begin{split} &\Omega_{{\rm{q\bar{q}}}} (\sigma_{\rm{u}},\sigma_{\rm{d}},\sigma_{\rm{s}},\Phi,\bar{\Phi};T,\mu_{\rm{f}})\\ =& -2T\sum\limits_{f = {\rm{u,d,s}}}\int\frac{{\rm{d}}^3p}{(2\pi)^3}{\big[\ln(1+F)+\ln(1+F^*)\big]}, \end{split} $$ (5)

      其中

      $$\begin{split} F =& 3(\Phi+\bar{\Phi}{\rm e}^{-(E_{\rm{f}}-\mu_{\rm{f}})/T}){\rm e}^{-(E_{\rm{f}}-\mu_{\rm{f}})/T}+\\&{\rm e}^{-3(E_{\rm{f}}-\mu_{\rm{f}})/T} {\text{。}}\end{split}$$ (6)

      上式中夸克的色散关系为$E_{\rm{f}} = \sqrt{p^2+m_{\rm{f}}^2}$,其中轻夸克质量和奇异夸克质量分别为

      $$ m = \frac{g}{2}\sigma , \;\;\;\;\;\; m_{\rm s} = \frac{g}{\sqrt{2}}\sigma_{\rm{s}}{\text{。}} $$

      本文统一选取Yukawa耦合常数$g = 6.5$

      若考虑两个轻夸克和一个奇异夸克($N_{\rm{f}} = 2+1$),介子势的形式如下[20-21]

      $$ \begin{split} U_{2+1}(\sigma,\sigma_{\rm{s}}) =& \frac{m^2}{2}(\sigma^2+\sigma_{\rm{s}}^2)-h\sigma-h_{\rm{s}}\sigma_{\rm{s}}+\\ &\frac{\lambda_1}{2}\sigma^2\sigma_{\rm{s}}^2+\frac{1}{8}(2\lambda_1+\lambda_2)\sigma^4+\\ &\frac{1}{4}(\lambda_1+\lambda_2)\sigma_{\rm{s}}^4-\frac{c}{2\sqrt{2}}\sigma^2\sigma_{\rm{s}}, \end{split} $$ (7)

      其中参数$h$$h_{\rm{s}}$分别对应轻夸克和奇异夸克。若模型中有一个轻夸克和两个奇异夸克($N_{\rm{f}} = 1+2$),则对应介子势的形式为

      $$ \begin{split} U_{1+2}(\sigma,\sigma_{\rm{s}}) =& \frac{m^2}{2}(\frac{\sigma^2}{2}+2\sigma_{\rm{s}}^2)-\frac{h}{2}\sigma-2h_{\rm{s}}\sigma_{\rm{s}}+\\&\frac{\lambda_1}{2}\sigma^2\sigma_{\rm{s}}^2+\frac{1}{16}(\lambda_1+\lambda_2)\sigma^4+\\&\frac{1}{2}(2\lambda_1+\lambda_2)\sigma_{\rm{s}}^4)-\frac{c}{2}\sigma\sigma_{\rm{s}}^2{\text{。}} \end{split} $$ (8)

      当模型中三个夸克均为轻夸克($N_{\rm{f}} = 3$),则相应的介子势变为

      $$ U_3(\sigma) = \frac{3m^2}{4}\sigma^2-\frac{3h}{2}\sigma+\frac{3}{16}(3\lambda_1+\lambda_2)\sigma^4-\frac{c}{2}\sigma^3{\text{。}} $$ (9)

      热力学势的介子部分有六个参数,分别是耦合常数$m^2$$\lambda_1$$\lambda_2$$c$以及明显的手征对称性破缺项$h$$h_{\rm{s}}$。若选取的介子质量不同,对应的6个参数值也不一样。本文取介子质量$m_\sigma = 500$ MeV,6个参数相应的取值由表1给出[20-21]

      表 1  介子势中的参数值

      $m^2$/MeV$\lambda_1$$\lambda_2$$c$/MeV$h$/MeV$h_{\rm{s}}$/MeV
      $(434.56)^2$–2.746.484807.84$(120.73)^3$$(336.41)^3$

      式(4)中的第三项通常选用纯规范下的胶子势。这种传统Polyakov-loop势有多项式形式和对数形式两种常用模型。从文献[19]可知,当PQM模型选取对数形式的Polyakov-loop势时,模拟结果与LQCD结果更相符。因此,本文将采用对数形式的Polyakov-loop势,其形式为

      $$ \begin{split} \frac{{\cal{U}}(\Phi,\bar{\Phi};T)}{T^4} =& -\frac{a(t)}{2}\Phi\bar{\Phi}+b(t){\rm{ln}}[1-6\Phi\bar{\Phi}+\\ &4(\Phi^3+\bar{\Phi}^3)-3(\Phi\bar{\Phi})^2], \end{split} $$ (10)

      其中,与温度相关的参数分别为

      $$\begin{split} a(t) =& a_0+ \frac{a_1}{1+t}+\frac{a_2}{(1+t)^2},\\ b(t) =& \frac{b_0}{(1+t)^3},\\ t =& \frac{T-T_{\rm{c}}}{T_{\rm{c}}}, \end{split}$$

      $T_{\rm{c}}$表示的是临界温度。根据文献[19],当介子质量$m_\sigma = 500$ MeV时,$T_{\rm{c}}$取210 MeV结果与LQCD的数据更接近。Polyakov-loop势中的参数是通过LQCD中的数据[22]确定,具体取值见表2

      表 2  对数形式Polyakov-loop势中的参数值

      $ a_0$ $ a_1$ $ a_2$ $ b_0$
      3.51 –2.47 15.2 –1.75

      传统的Polyakov-loop势并没有考虑夸克的反馈作用(方便起见,本文用$U_{{\rm{YM}}}$表示传统的Polyakov-loop势)。为了使有效模型的研究更加接近真实的QCD,文献[19]利用泛函重整化群方法,对Polyakov-loop势进行了改进。通过对比有效势的纯胶子部分和Yang-Mills势,文献[19]中得出下面的关系式

      $$ t_{\rm YM}(t_{{\rm{glue}}})\approx0.57t_{{\rm{glue}}}, $$ (11)

      即对传统的Polyakov-loop势中的变量做替换$t\to0.57t$。这时,Polyakov-loop势不再是纯规范势,而是包含了夸克的部分反馈作用(方便起见,本文用$U_{{\rm{glue}}}$表示改进的Polyakov-loop势)。这种改进使得PQM模型更加接近真实的QCD。文献[2326]均采用了这种改进的势,且文献[26]在这一基础上进行了进一步的改进,将临界温度表示成温度的函数。本文将分别采用传统的和改进的Polyakov-loop势进行计算,并特别关注夸克反馈效应的影响。

      当给定温度$T$和虚化学势$\mu_{\rm{f}}$时,变量$X \!=\! \sigma,\sigma_{\rm{s}},\Phi, \bar{\Phi}$由下列的平衡条件给出

      $$ \frac{\partial\varOmega}{\partial{X}} = 0, $$ (12)

      再将平衡条件的解X,代入式(4),就可以得到热力学势的解${\varOmega}$

      对三种味道质量简并的PQM模型,如果引入味道相关的虚化学势并使对应的$\theta_{\rm{f}}$之间保持$2\pi/3$的等比关系,则该模型将具有严格的中心对称性。我们可将其称之为${\mathbb{Z}}_{3}$-PQM模型。${\mathbb{Z}}_{3}$-PQM可看作${\mathbb{Z}}_{3}$-QCD的有效模型,可用来研究不同中心对称性破缺模式下的RW相变和退禁闭相变。

    • 同文献[17],我们采用味道依赖的虚化学势$(\mu_{\rm{u}},\mu_{\rm{d}},\mu_{\rm{s}}) = {\rm{i}}T(\theta-2C\pi/3,\theta,\theta+2C\pi/3)$进行计算。本文仅限讨论三种中心对称性破缺模式:(1)$N_{\rm{f}} = 3$ (三个味道质量简并),$C\ne1$;(2)$N_{\rm{f}} \!=\! 2+1$(两个质量简并的轻夸克和一个奇异夸克),$C \!=\! 1$;(3)$N_{\rm{f}} \!=\! 1+2$(一个轻夸克和两个质量简并的奇异夸克),$C \!=\! 1$。在这三种模式下,热力学势总满足$\varOmega(\theta) = \varOmega(-\theta)$(证明见文献[17])。我们采用PQM模型研究这三种对称性破缺模式下的RW和退禁闭相变,并特别关注夸克反馈效应的影响。

      模式(1)中夸克质量简并,${\mathbb{Z}}_3$对称性的破缺源于三个味道的化学势不满足特定的等差关系(即$C\ne1$)。固定$T \!=\! 250$ MeV,我们选取几个不同的$C$值分别计算并做比较。图1展示的是$C\! =\! 0$$0.5$$0.9$几种情形的热力学势$\varOmega_{\phi}$($\phi\!= \!0,\pm2\pi/3$)随角度$\theta$变化的曲线。其中图(a)、(c)、(e)是基于传统Polyakov-loop势的结果,而图(b)、(d)、(f)为基于改进的胶子势的结果。图1显示作为$\theta$的函数,每个热力学势的解$\varOmega_{\textit{ø}}$($\phi \!= \!0, \pm2\pi/3$)都具有$2\pi$的周期;而物理的热力学势(对应三个解中的全局最小值)周期是$2\pi/3$,恰满足RW周期性。由图1可以看到,对每一个$C\!\ne\!1$,物理的热力学势都在$\theta \!=\! \pi/3$(mod $2\pi/3$)处形成尖峰,即该处存在RW相变。左侧三个图和右侧三个图均显示RW相变随着$C$值减小而增强,即中心对称性破缺愈强,RW相变强度愈强。另外,当$C$值较小时,热力学势解$\varOmega_{\textit{ø}}$$\theta$的某个范围内变得无解;且$C$越小,$\varOmega_{\textit{ø}}$的无解区域越大。上述这些特点和变化趋势与传统PNJL模型计算给出的结论[17]在定性上完全一致。

      图  1  (在线彩图)$N_{\rm{f}} = 3$$C\ne1$时,平均场近似下PQM的热力学势解$\varOmega_\phi$($\phi = 0,\pm2\pi/3$)随$\theta$的变化

      图1表明,在中心对称性破缺模式(1),两种Polyakov-loop势给出的RW相变点位置及其强度随$C$值的变化趋势是一致的。夸克的反馈效应使得RW相变强度略微减弱;另外,数值计算同时表明,夸克的反馈效应使得RW及退禁闭相变的临界温度变低。

      模式(2)中三种味道的化学势保持特定的等差关系,中心对称性明显破缺由夸克的质量差异导致。文献[17]首先得到这种破缺模式下的RW相变点出现在$\theta \!=\! 2\pi/ 3$(mod $2\pi/3$)。图2显示PQM模型给出了同样的结论。同模式(1),图2显示夸克的反馈作用使得RW相变的强度减弱。图3是PQM模型在模式(2)的$\theta$-T平面相图。其中黑色实线表示RW相变线,绿色点线和蓝色短-点结合线分别表示不考虑和考虑夸克反馈作用后的退禁闭相变线。计算表明,这三条线均为一级相变线;即不论是否考虑夸克的反馈作用,RW相变线的端点都是三相点。这说明在模式(2),由夸克质量差异导致的中心对称性破缺程度相对较弱。这一点也和传统PNJL模型给出的结果[17]一致。从图3可知,考虑夸克的反馈作用后,退禁闭相变的温度和RW相变的临界温度都明显降低。

      图  2  (在线彩图)$N_{\rm{f}} = 2+1$$C = 1$情形PQM模型在$T = 250$ MeV时的热力学势$\varOmega$$\theta$变化的曲线

      图  3  (在线彩图)$N_{\rm{f }}\!=\! 2+1$$C \!=\! 1$情形PQM模型给出的$\theta{\text -}T$平面相图

      同模式(2),在模式(3)中,夸克的质量差异导致中心对称性明显破缺。不同于模式(2),文献[17]首先得到这种破缺模式下的RW相变点出现在$\theta = \pi/3$(mod $2\pi/3$)。图4显示PQM模型给出了同样的结论;而夸克的反馈作用使得RW相变强度略微减弱。图5是PQM模型在模式(3)的$\theta$-T平面相图。图中各线的意义同图3。计算同样表明,实线、点线和短-点结合线均为一级相变线;即不论是否考虑夸克的反馈作用,RW相变线的端点都是三相点。这说明同模式(2),模式(3)中由夸克质量差异导致的中心对称性破缺程度也相对较弱。这一点同样和传统PNJL模型给出的结果[17]相一致。从图5可知,考虑夸克的反馈作用后,退禁闭相变的温度和RW相变的临界温度都明显降低。

      图  4  (在线彩图)$N_{\rm{f}} = 1+2$$C = 1$情形PQM模型在$T = 250$ MeV时的热力学势$\varOmega$$\theta$变化的曲线

      图  5  (在线彩图)$N_{\rm{f }}\!=\! 1+2$$C \!=\! 1$情形PQM模型给出的$\theta{\text -}T$平面相图

      上述三种模式下RW相变点在$\theta$轴的位置及相变强度随中心对称性破缺程度变化的趋势在PNJL和PQM模型中的一致性表明这些结论可能是普适的。关于这些结论的详细物理解释可参阅文献[17]。这些结论对夸克反馈作用不很敏感,进一步支持了文献[17]给出的相关物理解释。我们的研究表明,夸克反馈作用对RW相变及退禁闭相变的临界温度具有很重要的影响。

    • 本文以三种味道的PQM模型作为${\mathbb{Z}}_3$-QCD的低能有效理论,分别采用传统的和夸克效应改进的Polyakov-loop势,对满足$\varOmega(\theta) \!= \!\varOmega(-\theta)$的三种不同中心对称性破缺模式下的RW及退禁闭相变进行了研究。

      两种Polyakov-loop势均给出如下结论:(1)当$N_{\rm{f}} \!=\! 3$$C\!\ne\!1$时,RW相变出现在$\theta\! =\! \pi/3$(mod $2\pi/3$)处,相变强度随$C$值的减小而加强;(2)当$N_{\rm{f}}\! =\! 2+1$$C \!=\! 1$时,在$\theta \!=\! 2\pi/3$(mod $2\pi/3$)处发生RW相变;(3)当$N_{\rm{f}}\! =\! 2\!+\!1$$C = 1$时,RW相变点又返回$\theta \!=\! \pi/3$(mod $2\pi/3$);(4)若保持$C \!=\! 1$,在$N_{\rm{f}} \!=\! 2\!+\!1$$N_{\rm{f}} \!=\! 1\!+\!2$两种情形中,退禁闭相变在整个$\theta$区域内均为一级相变,即RW相变端点均为三相点。这些结果也和采用传统Polyakov-loop势的PNJL模型结论[17]一致,表明上述情形RW相变点沿$\theta$轴的位置主要由夸克质量的简并情况决定,而和胶子势的细节关联不大。

      考虑夸克的反馈作用后,几种中心对称破缺模式下的RW相变强度都有不同程度的减弱,且退禁闭相变的温度也相应降低。表明RW相变点沿温度轴的位置及相变强度和胶子势的细节相关。但定性上来讲,上述几种情形的RW端点均仍保持为三相点,不因夸克的反馈效应而改变。

      因模型局限性,本文及文献[17]得到的结果仅适用于轻夸克系统。有重夸克参与且和${\mathbb{Z}}_3$-QCD相关的不同中心对称破缺模式下的RW相变及退禁闭相变的研究需应用LQCD或者微扰QCD。

参考文献 (26)

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